लीजेंड्रे बहुपद

For Legendre's Homogeneous equation, see Legendre's equation.

पहले छह लीजेंड्रे बहुपद

गणित में, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1782) के नाम पर लिजेंड्रे बहुपद, गणितीय गुणों की बड़ी संख्या और कई अनुप्रयोगों के साथ पूर्ण और ऑर्थोगोनल बहुपदों की प्रणाली है। उन्हें कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, और विभिन्न परिभाषाएँ विभिन्न पहलुओं को उजागर करती हैं और साथ ही विभिन्न गणितीय संरचनाओं और भौतिक और संख्यात्मक अनुप्रयोगों के लिए सामान्यीकरण और कनेक्शन का सुझाव देती हैं।

लिजेन्ड्रे बहुपदों से निकटता से संबंधित लिजेन्ड्रे बहुपदों, लिजेन्ड्रे फ़ंक्शंस, दूसरी तरह के लेजेंड्रे समारोह, और संबंधित लेजेन्ड्रे फ़ंक्शंस हैं।

== ऑर्थोगोनल सिस्टम == के रूप में निर्माण द्वारा परिभाषा इस दृष्टिकोण में, बहुपदों को वजन समारोह के संबंध में ऑर्थोगोनल प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है $w(x)=1$ अंतराल पर $[-1,1]$. वह है, $P_{n}(x)$ डिग्री का बहुपद है $n$, ऐसा है कि

$$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.$$

अतिरिक्त मानकीकरण शर्त के साथ $P_{n}(1)=1$, सभी बहुपद विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जा सकते हैं। फिर हम निर्माण प्रक्रिया शुरू करते हैं: $P_{0}(x)=1$ डिग्री 0 का एकमात्र सही ढंग से मानकीकृत बहुपद है। $P_{1}(x)$ के लिए ओर्थोगोनल होना चाहिए $P_{0}$, के लिए अग्रणी $P_{1}(x)=x$, और $P_{2}(x)$ ऑर्थोगोनलिटी की मांग करके निर्धारित किया जाता है $P_{0}$ और $P_{1}$, और इसी तरह। $P_{n}$ सभी के लिए रूढ़िवादिता की मांग करके तय किया गया है $P_{m}$ साथ $m<n$. यह देता है $n$ शर्तें, जो, मानकीकरण के साथ $P_{n}(1)=1$ सब ठीक करता है $n+1$ में गुणांक $P_{n}(x)$. काम के साथ, प्रत्येक बहुपद के सभी गुणांकों को व्यवस्थित रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जिससे की शक्तियों में स्पष्ट प्रतिनिधित्व होता है $x$ नीचे दिया गया।

यह परिभाषा $P_{n}$सबसे सरल है। यह अंतर समीकरणों के सिद्धांत के लिए अपील नहीं करता है। दूसरा, बहुपदों की पूर्णता घात 1 की पूर्णता के तुरंत बाद आती है, $x,x^{2},x^{3},\ldots$. अंत में, परिमित अंतराल पर सबसे स्पष्ट वजन समारोह के संबंध में उन्हें ऑर्थोगोनलिटी के माध्यम से परिभाषित करके, यह तीन शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों में से के रूप में लीजेंड्रे बहुपद स्थापित करता है। अन्य दो लैगुएरे बहुपद हैं, जो आधी रेखा पर ओर्थोगोनल हैं $[0,\infty )$, और हर्मिट बहुपद, पूर्ण रेखा पर ओर्थोगोनल $(-\infty ,\infty )$, वजन कार्यों के साथ जो सबसे प्राकृतिक विश्लेषणात्मक कार्य हैं जो सभी अभिन्नताओं के अभिसरण को सुनिश्चित करते हैं।

समारोह पैदा करने के माध्यम से परिभाषा

लीजेंड्रे बहुपदों को की शक्तियों में औपचारिक विस्तार में गुणांक के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $t$ जनरेटिंग फलन का

$${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.$$

(2)

का गुणांक $t^{n}$ में बहुपद है $x$ डिग्री का $n$ साथ $|x|\leq 1$. तक बढ़ा रहा है $t^{1}$ देता है

$$P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.$$

उच्च क्रम में विस्तार तेजी से बोझिल हो जाता है, लेकिन व्यवस्थित रूप से करना संभव है, और फिर से नीचे दिए गए स्पष्ट रूपों में से की ओर जाता है।

उच्च प्राप्त करना संभव है $P_{n}$हालांकि, टेलर श्रृंखला के प्रत्यक्ष विस्तार का सहारा लिए बिना। सम।2 के संबंध में विभेदित है t दोनों पक्षों पर और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित

$${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.$$

Eq में इसकी परिभाषा के साथ वर्गमूल के भागफल को बदलना।2, और की शक्तियों के गुणांकों की बराबरी करना t परिणामी विस्तार में बोनट का पुनरावर्तन सूत्र देता है

$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.$$

यह संबंध, पहले दो बहुपदों के साथ P₀ और P₁, बाकी सभी को पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

जनरेटिंग फलन दृष्टिकोण सीधे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में मल्टीपोल विस्तार से जुड़ा हुआ है, जैसा कि नीचे बताया गया है, और यह है कि 1782 में लीजेंड्रे द्वारा बहुपदों को पहली बार कैसे परिभाषित किया गया था।

अंतर समीकरण के माध्यम से परिभाषा

लीजेंड्रे के अंतर समीकरण के समाधान के संदर्भ में तीसरी परिभाषा है:

$$(1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$$

(1)

इस अंतर समीकरण में नियमित एकवचन बिंदु हैं x = ±1 इसलिए यदि मानक फ्रोबेनियस विधि या पावर श्रृंखला विधि का उपयोग करके समाधान की मांग की जाती है, तो उत्पत्ति के बारे में श्रृंखला केवल अभिसरण करेगी |x| < 1 सामान्य रूप में। कब n पूर्णांक है, समाधान P_n(x) जो नियमित है x = 1 पर भी नियमित है x = −1, और इस समाधान के लिए श्रृंखला समाप्त हो जाती है (अर्थात यह बहुपद है)। इन समाधानों की रूढ़िवादिता और पूर्णता को स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा देखा जाता है। हम डिफरेंशियल इक्वेशन को आइगेनवैल्यू प्रॉब्लम के रूप में फिर से लिखते हैं,

$${\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,$$

आइगेनवैल्यू के साथ $\lambda$ के एवज $n(n+1)$. अगर हम मांग करते हैं कि समाधान नियमित रूप से हो $x=\pm 1$, बायीं ओर अवकल संकारक हर्मिटियन है। आइगेनवैल्यू फॉर्म के पाए जाते हैं

n(n + 1), साथ $n=0,1,2,\ldots$ और ईजेनफंक्शन हैं $P_{n}(x)$. समाधानों के इस सेट की रूढ़िवादिता और पूर्णता स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के बड़े ढांचे से तुरंत अनुसरण करती है।

विभेदक समीकरण अन्य, गैर-बहुपद समाधान को स्वीकार करता है, लेजेंड्रे फलन#लेजेंड्रे फलन दूसरी तरह का (Qn) $Q_{n}$. दो-पैरामीटर सामान्यीकरण (Eq।1) को लिजेन्ड्रे का सामान्य अवकल समीकरण कहा जाता है, जिसे एसोसिएटेड लैजेन्ड्रे बहुपदों द्वारा हल किया जाता है। लेजेंड्रे कार्य करता है गैर-पूर्णांक मापदंडों के साथ लीजेंड्रे आंशिक विभेदक समीकरण (सामान्यीकृत या नहीं) के समाधान हैं।

भौतिक सेटिंग में, लीजेंड्रे का विभेदक समीकरण स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होता है जब कोई लाप्लास के समीकरण (और संबंधित आंशिक अवकल समीकरण) को गोलीय निर्देशांकों में चरों के पृथक्करण द्वारा हल करता है। इस दृष्टिकोण से, लाप्लासियन ऑपरेटर के कोणीय भाग के eigenfunctions गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, जिनमें से लीजेंड्रे बहुपद (गुणात्मक स्थिरांक तक) सबसेट हैं जो ध्रुवीय अक्ष के बारे में घुमावों द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। बहुपद के रूप में दिखाई देते हैं $P_{n}(\cos \theta )$ कहाँ $\theta$ ध्रुवीय कोण है। लीजेंड्रे बहुपदों के लिए यह दृष्टिकोण घूर्णी समरूपता के लिए गहरा संबंध प्रदान करता है। उनके कई गुण जो श्रमपूर्वक विश्लेषण के तरीकों के माध्यम से पाए जाते हैं - उदाहरण के लिए जोड़ प्रमेय - समरूपता और समूह सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके अधिक आसानी से पाए जाते हैं, और गहरा भौतिक और ज्यामितीय अर्थ प्राप्त करते हैं।

रूढ़िवादिता और पूर्णता

मानकीकरण $P_{n}(1)=1$ लीजेंड्रे बहुपदों के सामान्यीकरण को ठीक करता है (एल 2-मानदंड के संबंध मेंL² अंतराल पर मानदंड −1 ≤ x ≤ 1). चूंकि वे ही मानदंड, दो बयानों के संबंध में ऑर्थोगोनल फलन भी हैं को समीकरण में जोड़ा जा सकता है,

$$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},$$

(कहाँ δ_mn क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है, जो 1 if के बराबर है m = n और 0 अन्यथा)। यह सामान्यीकरण सबसे आसानी से नीचे दिए गए रोड्रिग्स के फार्मूले को लागू करके पाया जाता है।

बहुपद पूर्ण होने का अर्थ निम्नलिखित है। किसी भी टुकड़े के निरंतर कार्य को देखते हुए $f(x)$ अंतराल में निश्चित रूप से कई विच्छिन्नता के साथ [−1, 1], रकम का क्रम

$$f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)$$

के मध्य में परिवर्तित हो जाता है $f(x)$ जैसा $n\to \infty$, बशर्ते हम लें

$$a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.$$

यह पूर्णता संपत्ति इस लेख में चर्चा किए गए सभी विस्तारों को रेखांकित करती है, और अक्सर इसे रूप में कहा जाता है

$$\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),$$

साथ −1 ≤ x ≤ 1 और −1 ≤ y ≤ 1.

रोड्रिग्स का सूत्र और अन्य स्पष्ट सूत्र

लीजेंड्रे बहुपदों के लिए विशेष रूप से संक्षिप्त व्यंजक रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया है:

$$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.$$

यह सूत्र बड़ी संख्या में गुणों की व्युत्पत्ति को सक्षम बनाता है $P_{n}$'एस। इनमें स्पष्ट अभ्यावेदन जैसे हैं

$${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}.\end{aligned}}$$

तीसरे प्रतिनिधित्व में, ⌊n/2⌋ फर्श समारोह n/2 के लिए है। अंतिम प्रतिनिधित्व, जो पुनरावर्तन सूत्र से भी तत्काल है, लेजेंड्रे बहुपदों को सरल मोनोमियल्स द्वारा व्यक्त करता है और द्विपद गुणांक # सामान्यीकरण और द्विपद श्रृंखला से संबंध शामिल करता है।

पहले कुछ लीजेंड्रे बहुपद हैं:

$n$	$P_{n}(x)$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}$
10	${\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}$

इन बहुपदों के रेखांकन (तक n = 5) नीचे दिखाए गए हैं:

लीजेंड्रे बहुपदों के अनुप्रयोग

1/r क्षमता का विस्तार

लीजेंड्रे बहुपदों को पहली बार 1782 में एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे द्वारा पेश किया गया था न्यूटोनियन क्षमता के विस्तार में गुणांक के रूप में

$${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),$$

कहाँ r और r′ सदिशों की लंबाई हैं x और x′ क्रमशः और γ उन दो सदिशों के बीच का कोण है। श्रृंखला कब अभिसरित होती है r > r′. अभिव्यक्ति बिंदु द्रव्यमान से जुड़ी गुरुत्वाकर्षण क्षमता या बिंदु आवेश से जुड़ी कूलम्ब क्षमता देती है। लेजेंड्रे बहुपदों का उपयोग करने वाला विस्तार उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, इस अभिव्यक्ति को निरंतर द्रव्यमान या चार्ज वितरण पर एकीकृत करते समय।

लीजेंड्रे बहुपद लाप्लास के स्थिर विद्युत क्षमता के समीकरण के समाधान में होते हैं, ∇² Φ(x) = 0, चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए अंतरिक्ष के चार्ज-मुक्त क्षेत्र में, जहां सीमा स्थितियों में अक्षीय समरूपता होती है (दिगंश पर कोई निर्भरता नहीं)। कहाँ ẑ समरूपता की धुरी है और θ पर्यवेक्षक की स्थिति और के बीच का कोण है ẑ अक्ष (आंचलिक कोण), विभव का हल होगा

$$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.$$

A_l और B_l प्रत्येक समस्या की सीमा स्थिति के अनुसार निर्धारित किया जाना है। केंद्रीय बल के लिए श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करते समय भी वे दिखाई देते हैं।

बहुध्रुव विस्तार में लेजेंड्रे बहुपद

लिजेन्ड्रे बहुपद भी फॉर्म के विस्तार कार्यों में उपयोगी होते हैं (यह पहले जैसा ही है, थोड़ा अलग तरीके से लिखा गया है):

$${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),$$

जो मल्टीपोल विस्तार में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। समीकरण के बाईं ओर लेजेंड्रे बहुपदों के लिए जनक फलन है।

उदाहरण के रूप में, विद्युत क्षमता Φ(r,θ) (गोलीय निर्देशांक में) पर स्थित बिंदु आवेश के कारण z-अक्ष पर z = a (दाईं ओर आरेख देखें) भिन्न होता है

$$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.$$

यदि त्रिज्या {{math|r}अवलोकन बिंदु के } P से बड़ा है a, लीजेंड्रे बहुपदों में क्षमता का विस्तार किया जा सकता है

$$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),$$

जहां हमने परिभाषित किया है η = a/r < 1 और x = cos θ. इस विस्तार का उपयोग सामान्य मल्टीपोल विस्तार को विकसित करने के लिए किया जाता है।

इसके विपरीत, यदि त्रिज्या {{math|r}अवलोकन बिंदु के } P की तुलना में छोटा है a, जैसा कि ऊपर बताया गया है, लिजेंड्रे बहुपदों में अभी भी क्षमता का विस्तार किया जा सकता है, लेकिन इसके साथ a और r का आदान-प्रदान किया। यह विस्तार आंतरिक मल्टीपोल विस्तार का आधार है।

त्रिकोणमिति में लीजेंड्रे बहुपद

त्रिकोणमितीय कार्य cos nθ, जिसे चेबीशेव बहुपद भी कहा जाता है T_n(cos θ) ≡ cos nθ, लीजेन्ड्रे बहुपदों द्वारा बहुध्रुव का विस्तार भी किया जा सकता है P_n(cos θ). पहले कई आदेश इस प्रकार हैं:

$${\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).$$