लेजेंड्रे फलन

For the most common case of integer degree, see Legendre polynomials and associated Legendre polynomials.

भौतिक विज्ञान और गणित में, लीजेंड्रे कार्य करता है P_λ, Q_λ और संबंधित लिजेंड्रे कार्य करता है P^μ
_λ, Q^μ
_λ, और दूसरी तरह के लीजेंड्रे फ़ंक्शन, Q_n, लीजेंड्रे अवकल समीकरण के सभी हल हैं। लीजेंड्रे बहुपद और संबंधित लेजेंड्रे बहुपद भी विशेष मामलों में अंतर समीकरण के समाधान हैं, जो बहुपद होने के कारण, बड़ी संख्या में अतिरिक्त गुण, गणितीय संरचना और अनुप्रयोग हैं। इन बहुपद समाधानों के लिए, अलग विकिपीडिया लेख देखें।

एसोसिएटेड लीजेंड्रे बहुपद वक्र के लिए λ = l = 5.

लीजेंड्रे का अवकल समीकरण

सामान्य लीजेंड्रे समीकरण पढ़ता है

$$\left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,$$

जहां नंबर λ और μ जटिल हो सकता है, और क्रमशः प्रासंगिक कार्य की डिग्री और क्रम कहा जाता है। बहुपद समाधान जब λ एक पूर्णांक है (निरूपित n), और μ = 0 लीजेंड्रे बहुपद हैं P_n; और जब

λ एक पूर्णांक है (निरूपित n), और μ = m भी एक पूर्णांक है |m| < n संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं। के अन्य सभी मामले λ और μ पर एक के रूप में चर्चा की जा सकती है, और समाधान लिखे गए हैं Pμ
λ, Qμ
λ. अगर μ = 0, सुपरस्क्रिप्ट को छोड़ दिया जाता है, और एक बस लिखता है Pλ, Qλ. हालाँकि, समाधान Qλ कब λ एक पूर्णांक है जिसे अक्सर लेजेंड्रे के दूसरे प्रकार के कार्य के रूप में अलग से चर्चा की जाती है, और निरूपित किया जाता है Qn.

यह तीन नियमित एकवचन बिंदुओं के साथ एक दूसरे क्रम का रैखिक समीकरण है (पर 1, −1, और ∞). ऐसे सभी समीकरणों की तरह, इसे चर के परिवर्तन से एक हाइपरज्यामितीय अवकल समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसके समाधान को हाइपरज्यामितीय कार्यों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

अंतर समीकरण के समाधान

चूँकि अवकल समीकरण रैखिक, सजातीय (दाहिने हाथ की ओर = शून्य) है और दूसरे क्रम का है, इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, जो दोनों को हाइपरज्यामितीय फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, $_{2}F_{1}$. साथ $\Gamma$ गामा समारोह होने के नाते, पहला समाधान है

$$P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2$$

और दूसरा है,

$$Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.$$

फ़ाइल: एन = के साथ दूसरी तरह के क्यू एन (एक्स) के लेजेंड्रे फ़ंक्शन का प्लॉट0.5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the Legendre function of the second kind Q n(x) जटिल विमान में n=0.5 के साथ -2-2i से 2+2i तक मैथेमेटिका 13.1 फ़ंक्शन के साथ बनाए गए रंगों के साथ ComplexPlot3D|thumb|N=0.5 के साथ दूसरी तरह के Q n(x) के लेजेंड्रे फ़ंक्शन का प्लॉट गणित 13.1 फ़ंक्शन ComplexPlot3D के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2-2i से 2+2i तक जटिल विमान इन्हें आम तौर पर पहले और दूसरे प्रकार के गैर-पूर्णांक डिग्री के लीजेंड्रे कार्यों के रूप में जाना जाता है, अतिरिक्त क्वालीफायर 'जुड़े' के साथ यदि μ शून्य नहीं है। के बीच एक उपयोगी संबंध है P और Q समाधान व्हिपल सूत्र है | व्हिपल का सूत्र।

सकारात्मक पूर्णांक क्रम

सकारात्मक पूर्णांक के लिए $\mu =m\in \mathbb {N} ^{+}$ का मूल्यांकन $P_{\lambda }^{\mu }$ उपरोक्त में एकवचन शर्तों को रद्द करना शामिल है। हम के लिए मान्य सीमा पा सकते हैं $m\in \mathbb {N} _{0}$ जैसा

$$P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),$$

साथ $(\lambda )_{n}$ थे (राइजिंग) पोछाम्मेर सिंबल.

दूसरी तरह के लेजेंड्रे कार्य (Q_n)

दूसरी तरह के पहले पांच लीजेंड्रे कार्यों का प्लॉट।

पूर्णांक डिग्री के विशेष मामले के लिए गैर-बहुपद समाधान $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$, और $\mu =0$, अक्सर अलग से चर्चा की जाती है।

द्वारा दिया गया है

$$Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)$$

यह समाधान अनिवार्य रूप से विलक्षणता (गणित) है जब $x=\pm 1$.

लेजेंड्रे के दूसरे प्रकार के कार्यों को भी पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है लेजेंड्रे पॉलीनॉमियल्स#परिभाषा जनरेटिंग फ़ंक्शन के माध्यम से | बोनट का पुनरावर्तन सूत्र

$$Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}$$

संबद्ध लीजेंड्रे दूसरी तरह के कार्य

पूर्णांक डिग्री के विशेष मामले के लिए गैर-बहुपद समाधान $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$, और $\mu =m\in \mathbb {N} _{0}$ द्वारा दिया गया है

$$Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.$$

अभिन्न प्रतिनिधित्व

लीजेंड्रे कार्यों को समोच्च समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,

$$P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt$$

जहां बिंदुओं के चारों ओर समोच्च हवाएं होती हैं 1 और z सकारात्मक दिशा में और चारों ओर हवा नहीं करता है −1. वास्तव में x, अपने पास

$$P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}$$

लीजेंड्रे पात्रों के रूप में कार्य करते हैं

का वास्तविक अभिन्न प्रतिनिधित्व $P_{s}$ पर हार्मोनिक विश्लेषण के अध्ययन में बहुत उपयोगी हैं $L^{1}(G//K)$ कहाँ $G//K$ का सजातीय स्थान है $SL(2,\mathbb {R} )$ (आंचलिक गोलाकार कार्य देखें)। दरअसल फूरियर चालू हो जाता है $L^{1}(G//K)$ द्वारा दिया गया है

$$L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}$$

कहाँ

$${\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0$$

यह भी देखें

• फेरर्स समारोह

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 8". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publisher, Inc.
• Dunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "लेजेंड्रे फलन", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Snow, Chester (1952) [1942], Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office, hdl:2027/mdp.39015011416826, MR 0048145
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963), A Course in Modern Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

बाहरी संबंध

• Legendre function P on the Wolfram functions site.
• Legendre function Q on the Wolfram functions site.
• Associated Legendre function P on the Wolfram functions site.
• Associated Legendre function Q on the Wolfram functions site.