इकाई वलय पर तर्कसंगत बिंदुओं का समूह

पायथागॉरियन ट्रिपल (4,3,5) यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत बिंदु (4/5,3/5) से जुड़ा है।

गणित में, इकाई वृत्त पर परिमेय बिंदु वे बिंदु होते हैं (x, y) जैसे कि x और y दोनों परिमेय संख्याएँ (अंश) हैं और को संतुष्ट करते हैं एक्स² + और² = 1. ऐसे बिंदुओं का सेट आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल से निकटता से संबंधित है। एक आदिम समकोण त्रिभुज पर विचार करें, अर्थात्, पूर्णांक भुजाओं की लंबाई a, b, c के साथ, कर्ण c के साथ, जैसे कि भुजाओं में 1 से बड़ा कोई सामान्य कारक नहीं है। फिर इकाई वृत्त पर परिमेय बिंदु (a/c) मौजूद होता है। , b/c), जो, जटिल तल में, बस a/c + ib/c है, जहां i काल्पनिक इकाई है। इसके विपरीत, यदि (x, y) प्रथम कार्तीय समन्वय प्रणाली#Quadrants और निर्देशांक प्रणाली के अष्टक (यानी x > 0, y > 0) में यूनिट सर्कल पर एक परिमेय बिंदु है, तो पक्षों के साथ एक आदिम समकोण त्रिभुज मौजूद है xc, yc, c, जहाँ c x और y के हरों का लघुत्तम समापवर्तक है। x-y तल में बिंदु (a, b) और जटिल तल में बिंदु a + ib के बीच एक पत्राचार है जिसका उपयोग नीचे किया गया है।

समूह संचालन

यूनिट सर्कल पर परिमेय बिंदुओं का समुच्चय, इस लेख में G को छोटा करके, रोटेशन के तहत एक एबेलियन समूह#अनंत एबेलियन समूह बनाता है। पहचान तत्व बिंदु (1, 0) = 1 + i0 = 1 है। समूह संचालन, या उत्पाद (x, y) * (t, u) = (xt − uy, xu + yt) है। यह उत्पाद x = [[cosine]] (A) और y = sine (A) के बाद से कोण जोड़ है, जहां A वह कोण है जो वेक्टर (x, y) वेक्टर (1,0) के साथ बनाता है, जिसे वामावर्त मापा जाता है। तो (x, y) और (t, u) क्रमशः (1, 0) के साथ कोण A और B बनाते हैं, उनका गुणनफल (xt − uy, xu + yt) कोण A बनाने वाले इकाई वृत्त पर केवल परिमेय बिंदु है + B (1, 0) के साथ। समूह संचालन जटिल संख्याओं के साथ अधिक आसानी से व्यक्त किया जाता है: बिंदुओं (x, y) और (t, u) को क्रमशः x+iy और t+iu के साथ पहचानना, उपरोक्त समूह उत्पाद केवल सामान्य जटिल संख्या गुणन (x+iy) है )(t + iu) = xt − yu + i(xu + yt), जो उपरोक्त बिंदु (xt − uy, xu + yt) के अनुरूप है।

उदाहरण

3/5 + 4/5i और 5/13 + 12/13i (जो दो सबसे प्रसिद्ध पायथागॉरियन ट्रिपल (3,4,5) और (5,12,13) ​​के अनुरूप हैं) यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत बिंदु हैं जटिल तल, और इस प्रकार जी के तत्व हैं। उनका समूह उत्पाद -33/65 +56/65i है, जो पायथागॉरियन ट्रिपल (33,56,65) से मेल खाता है। अंश 33 और 56 के वर्गों का योग 1089 + 3136 = 4225 है, जो हर 65 का वर्ग है।

समूह का वर्णन करने के अन्य तरीके

$G\cong \mathrm {SO} (2,\mathbb {Q} ).$

तर्कसंगत प्रविष्टियों के साथ सभी 2×2 ओर्थोगोनल का सेट जी के साथ मेल खाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि सर्कल समूह $S^{1}$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$, और यह तथ्य कि उनके परिमेय बिंदु मेल खाते हैं।

समूह संरचना

जी की संरचना चक्रीय समूहों का एक अनंत योग है। चलो जी₂ बिंदु द्वारा उत्पन्न G के उपसमूह को निरूपित करें 0 + 1i. जी₂ क्रम 4 का एक चक्रीय उपसमूह है। 4k + 1 के अभाज्य p के लिए, मान लीजिए G_p हर p वाले तत्वों के उपसमूह को निरूपित करेंⁿ जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। जी_p एक अनंत चक्रीय समूह है, और बिंदु (a^{2</सुप> − ख2)/p + (2ab/p)i, G का जनरेटर है_p. इसके अलावा, G के एक तत्व के हर का गुणनखण्ड करके, यह दिखाया जा सकता है कि G, G का प्रत्यक्ष योग है₂ और जी_p. वह है:}

$G\cong G_{2}\oplus \bigoplus _{p\,\equiv \,1\,({\text{mod }}4)}G_{p}.$

चूंकि यह प्रत्यक्ष उत्पाद के बजाय एक प्रत्यक्ष योग है, G में केवल बहुत से मान हैं_pएस शून्य नहीं हैं।

उदाहरण

G को अनंत प्रत्यक्ष योग के रूप में देखते हुए, तत्व ({0}; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) पर विचार करें जहां पहला निर्देशांक 0 चक्रीय समूह में है|C₄और अन्य निर्देशांक (ए) की शक्तियां देते हैं^{2</सुप> − ख2)/p(r) + i 2ab/b(r), जहां p(r) फॉर्म 4k + 1 की nवीं अभाज्य संख्या है। फिर यह G में, परिमेय बिंदु (3/ 5 + i4/5)2 · (8/17 + i15/17)1 = −416/425 + i87/425। हर 425, हर 5 का दो बार और हर 17 का एक बार गुणनफल है, और पिछले उदाहरण की तरह, अंश -416 का वर्ग और अंश 87 का वर्ग, हर 425 के वर्ग के बराबर है। यह यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि समझ को बनाए रखने में मदद करने के लिए एक कनेक्शन के रूप में, कि भाजक 5 = p(1) फॉर्म 4k + 1 का पहला अभाज्य है, और भाजक 17 = p(3) फॉर्म 4k + 1 का तीसरा प्रधान है .}

इकाई अतिपरवलय का तर्कसंगत बिंदुओं का समूह

यूनिट हाइपरबोला पर इस समूह और ऊपर चर्चा किए गए समूह के बीच घनिष्ठ संबंध है। अगर ${\frac {a+ib}{c}}$ यूनिट सर्कल पर एक तर्कसंगत बिंदु है, जहां ए/सी और बी/सी कम अंश हैं, फिर (सी/ए, बी/ए) यूनिट हाइपरबोला पर एक तर्कसंगत बिंदु है, क्योंकि $(c/a)^{2}-(b/a)^{2}=1,$ यूनिट हाइपरबोला के लिए समीकरण को संतुष्ट करना। यहाँ समूह संचालन है $(x,y)\times (u,v)=(xu+yv,xv+yu),$और समूह की पहचान ऊपर के समान बिंदु (1, 0) है। इस समूह में अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन और अतिशयोक्तिपूर्ण साइन के साथ घनिष्ठ संबंध है, जो उपरोक्त यूनिट सर्कल समूह में कोसाइन और साइन के साथ संबंध के समानांतर है।

एक बड़े समूह के अंदर कॉपी

समीकरण द्वारा दिए गए चार-आयामी अंतरिक्ष में एबेलियन किस्म पर तर्कसंगत बिंदुओं के समूह के उपसमूह (और ज्यामितीय वस्तुओं के रूप में) दोनों समूहों की आइसोमोर्फिक प्रतियां हैं। $w^{2}+x^{2}-y^{2}+z^{2}=0.$ ध्यान दें कि यह विविधता 0 के बराबर मूल के सापेक्ष मिन्कोव्स्की मीट्रिक के साथ बिंदुओं का सेट है। इस बड़े समूह में पहचान (1, 0, 1, 0) है, और समूह संचालन है $(a,b,c,d)\times (w,x,y,z)=(aw-bx,ax+bw,cy+dz,cz+dy).$ यूनिट सर्कल पर समूह के लिए, उपयुक्त उपसमूह फॉर्म के बिंदुओं का उपसमूह है (w, x, 1, 0), के साथ $w^{2}+x^{2}=1,$ और इसका तत्समक अवयव (1, 0, 1, 0) है। यूनिट हाइपरबोला समूह फॉर्म के बिंदुओं (1, 0, y, z) से मेल खाता है $y^{2}-z^{2}=1,$ और फिर से तत्समक (1, 0, 1, 0) है। (बेशक, चूँकि वे बड़े समूह के उपसमूह हैं, उन दोनों में एक ही पहचान तत्व होना चाहिए।)

यह भी देखें

• मंडल समूह

संदर्भ

• The Group of Rational Points on the Unit Circle[1], Lin Tan, Mathematics Magazine Vol. 69, No. 3 (June, 1996), pp. 163–171
• The Group of Primitive Pythagorean Triangles[2], Ernest J. Eckert, Mathematics Magazine Vol 57 No. 1 (January, 1984), pp 22–26
• ’’Rational Points on Elliptic Curves’’ Joseph Silverman