डायाडिक्स

गणित में, विशेष रूप से बहुरेखीय बीजगणित, डाइएडिक या डायाडिक टेंसर दूसरा टेन्सर (आंतरिक परिभाषा) # परिभाषा है जो वेक्टर स्पेस टेन्सर के टेंसर उत्पादों के माध्यम से होता है, जो संकेतन में लिखा जाता है जो वेक्टर बीजगणित के साथ फिट बैठता है।

दो यूक्लिडियन सदिशों को गुणा करने के अनेक तरीके हैं। डॉट उत्पाद दो वैक्टर लेता है और क्रॉस उत्पाद के दौरान स्केलर (भौतिकी) देता है pseudovector लौटाता है। इन दोनों की विभिन्न महत्वपूर्ण ज्यामितीय व्याख्याएँ हैं और इनका व्यापक रूप से गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। डाइएडिक उत्पाद दो वैक्टर लेता है और इस संदर्भ में 'डाइडिक' नामक दूसरे क्रम का टेंसर लौटाता है। डाइडिक का उपयोग भौतिक या ज्यामितीय जानकारी को शामिल करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि सामान्य तौर पर इसकी ज्यामितीय व्याख्या करने का कोई सीधा तरीका नहीं है।

डाइएडिक गुणन सदिश जोड़ पर वितरणात्मक गुण है, और अदिश गुणन के साथ साहचर्य है। इसलिए, युग्मक गुणनफल इसके दोनों संकार्यों में रैखिक होता है। सामान्य तौर पर, दो डाइएडिक्स को और डाइएडिक प्राप्त करने के लिए जोड़ा जा सकता है, और डायाडिक को स्केल करने के लिए संख्याओं द्वारा स्केलर गुणा किया जा सकता है। हालांकि, उत्पाद विनिमेय नहीं है; सदिशों के क्रम को बदलने के परिणामस्वरूप भिन्न द्विगुणित होता है।

डायाडिक बीजगणित की औपचारिकता सदिश बीजगणित का विस्तार है जिसमें सदिशों के डाइएडिक उत्पाद शामिल हैं। डाइएडिक उत्पाद डॉट और क्रॉस उत्पादों के साथ अन्य वैक्टरों के साथ भी जुड़ा हुआ है, जो डॉट, क्रॉस और डाइएडिक उत्पादों को अन्य स्केलर, वैक्टर या डाइएडिक्स प्राप्त करने के लिए संयोजित करने की अनुमति देता है।

इसमें मैट्रिक्स बीजगणित के कुछ पहलू भी हैं, क्योंकि वैक्टर के संख्यात्मक घटकों को पंक्ति और स्तंभ वैक्टर में व्यवस्थित किया जा सकता है, और स्क्वायर मैट्रिक्स में दूसरे क्रम के टेंसरों को। साथ ही, डॉट, क्रॉस और डायाडिक उत्पाद सभी को मैट्रिक्स रूप में व्यक्त किया जा सकता है। डायाडिक अभिव्यक्तियां मैट्रिक्स समकक्षों के समान हो सकती हैं।

एक वेक्टर के साथ डाइएडिक का डॉट उत्पाद और वेक्टर देता है, और इस परिणाम का डॉट उत्पाद लेने से डायाडिक से प्राप्त स्केलर मिलता है। किसी दिए गए डायाडिक का अन्य सदिशों पर पड़ने वाला प्रभाव अप्रत्यक्ष भौतिक या ज्यामितीय व्याख्या प्रदान कर सकता है।

डाइएडिक संकेतन पहली बार 1884 में योशिय्याह विलार्ड गिब्स द्वारा स्थापित किया गया था। संकेतन और शब्दावली आज अपेक्षाकृत अप्रचलित हैं। भौतिकी में इसके उपयोग में सातत्य यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व शामिल हैं।

इस लेख में, अपर-केस बोल्ड वेरिएबल्स डायाडिक्स (डाइड्स सहित) को दर्शाते हैं जबकि लोअर-केस बोल्ड वेरिएबल्स वैक्टर को दर्शाते हैं। वैकल्पिक संकेतन क्रमशः डबल और सिंगल ओवर- या अंडरबार्स का उपयोग करता है।

परिभाषाएं और शब्दावली

डायाडिक, बाहरी और टेंसर उत्पाद

एक रंगद टेन्सर क्रम दो और टेंसर रैंक का टेन्सर है, और दो यूक्लिडियन वैक्टर (सामान्य रूप से जटिल वैक्टर) का डायाडिक उत्पाद है, जबकि डाइएडिक टेंसर क्रम दो का सामान्य टेन्सर है (जो पूर्ण रैंक हो सकता है या नहीं) .

इस उत्पाद के लिए कई समतुल्य शब्द और संकेत हैं:

• दो सदिशों का 'डाइडिक गुणनफल' $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\mathbf {a} \mathbf {b}$ (जुड़े हुए; कोई प्रतीक नहीं, गुणन चिह्न, क्रॉस, बिंदु, आदि)
• दो कॉलम वेक्टर का बाहरी उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ के रूप में निरूपित और परिभाषित किया गया है $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ या $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$, कहाँ ${\mathsf {T}}$ मतलब खिसकाना करना,
• दो वैक्टर का टेंसर उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ निरूपित किया जाता है $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$,

डायाडिक संदर्भ में उन सभी की ही परिभाषा और अर्थ है, और समानार्थक रूप से उपयोग किया जाता है, हालांकि टेन्सर उत्पाद शब्द के अधिक सामान्य और अमूर्त उपयोग का उदाहरण है।

डिराक का ब्रा-केट संकेतन डाईएड्स और डाइएडिक्स के उपयोग को सहज रूप से स्पष्ट करता है, #काहिल|काहिल (2013) देखें।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

समतुल्य उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें | त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान, मान लें:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}$

दो वैक्टर बनें जहां i, j, k (ई को भी निरूपित किया जाता है₁, यह है₂, यह है₃) इस वेक्टर अंतरिक्ष में मानक आधार वैक्टर हैं (कार्टेशियन निर्देशांक भी देखें)। फिर ए और बी के डायडिक उत्पाद को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}$

या पंक्ति और स्तंभ सदिशों से विस्तार द्वारा, 3×3 मैट्रिक्स (ए और बी के बाहरी उत्पाद या टेन्सर उत्पाद का परिणाम भी):

$\mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.$

एक रंजक डायाडिक (राशि का एकपद या समतुल्य रूप से मैट्रिक्स की प्रविष्टि) का घटक है - संख्या द्वारा आधार वैक्टर स्केलर गुणन की जोड़ी का डायाडिक उत्पाद।

जिस प्रकार मानक आधार (और इकाई) सदिश 'i', 'j', 'k', का निरूपण है:

${\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

(जिसे स्थानांतरित किया जा सकता है), मानक आधार (और इकाई) रंगों का प्रतिनिधित्व है:

${\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

मानक आधार में साधारण संख्यात्मक उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

यदि यूक्लिडियन स्थान एन-आयामी है, और

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}$

जहां ई_i और ई_j N-आयामों में मानक आधार सदिश हैं ('e' पर सूचकांक i_i विशिष्ट सदिश का चयन करता है, सदिश का घटक नहीं जैसा कि a में है_i), तो बीजगणितीय रूप में उनका द्विगुणित गुणनफल है:

$\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.$

इसे डायाडिक के नॉनियन रूप के रूप में जाना जाता है। मैट्रिक्स रूप में उनका बाहरी/टेंसर उत्पाद है:

$\mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.$

एक डाइएडिक बहुपद 'ए', जिसे डायाडिक के रूप में जाना जाता है, कई वैक्टर 'ए' से बनता है_i और बी_j:

$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots$

एक युग्मक जिसे N रंजक से कम के योग में कम नहीं किया जा सकता है, पूर्ण कहा जाता है। इस मामले में, बनाने वाले वैक्टर गैर-कोपलानर हैं, देखें #चेन|चेन (1983)।

वर्गीकरण

निम्न तालिका डाइएडिक्स को वर्गीकृत करती है:

	Determinant	Adjugate	Matrix and its rank
Zero	= 0	= 0	= 0; rank 0: all zeroes
Linear	= 0	= 0	≠ 0; rank 1: at least one non-zero element and all 2 × 2 subdeterminants zero (single dyadic)
Planar	= 0	≠ 0 (single dyadic)	≠ 0; rank 2: at least one non-zero 2 × 2 subdeterminant
Complete	≠ 0	≠ 0	≠ 0; rank 3: non-zero determinant

पहचान

निम्नलिखित सर्वसमिका टेंसर उत्पाद की परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम हैं:

1. Compatible with scalar multiplication:

   $(\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )$

   for any scalar $\alpha$.
2. Distributive over vector addition:

   ${\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}$

डायडिक बीजगणित

=== डाइएडिक और वेक्टर === का उत्पाद

एक सदिश पर परिभाषित चार संक्रियाएँ हैं और सदिशों पर परिभाषित उत्पादों से निर्मित डाईडिक।

	Left	Right
Dot product	$\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$
Cross product	$\mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)$

युग्मक और युग्मक का उत्पाद

एक युग्मक से दूसरे युग्मक के लिए पाँच संक्रियाएँ हैं। मान लीजिए a, b, c, d वास्तविक सदिश हैं। तब:

		Dot	Cross
Dot	Dot product ${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}$	Double-dot product ${\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}$ and $\mathbf {ab} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$	Dot–cross product $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$
Cross		क्रॉस-डॉट उत्पाद $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)$	डबल क्रॉस उत्पाद $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$

दे

$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}$

दो सामान्य युग्मक बनें, हमारे पास:

		Dot	Cross
Dot	Dot product $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}$	Double dot product ${\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}$ and ${\begin{aligned}\mathbf {A} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\end{aligned}}$	Dot–cross product $\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$
Cross		क्रॉस-डॉट उत्पाद $\mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)$	डबल क्रॉस उत्पाद $\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$

डबल-डॉट उत्पाद

डबल-डॉट उत्पाद की पहली परिभाषा फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद है,

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}$

इसके अलावा, चूंकि,

${\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}$

हमें वह मिलता है,

$\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}$

इसलिए डबल-डॉट उत्पाद की दूसरी संभावित परिभाषा दूसरे डायाडिक पर अतिरिक्त ट्रांसपोजिशन के साथ पहली है। इन कारणों से, डबल-डॉट उत्पाद की पहली परिभाषा को प्राथमिकता दी जाती है, हालांकि कुछ लेखक अभी भी दूसरे का उपयोग करते हैं।

डबल-क्रॉस उत्पाद

हम देख सकते हैं कि, दो सदिशों a और b से बनने वाले किसी भी रंग के लिए, इसका दोहरा क्रॉस गुणनफल शून्य होता है।

$\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0$

हालांकि, परिभाषा के अनुसार, डाइएडिक डबल-क्रॉस उत्पाद अपने आप में आम तौर पर गैर-शून्य होगा। उदाहरण के लिए, छह अलग-अलग सदिशों से बना युग्मक A

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}$

का गैर-शून्य स्व-डबल-क्रॉस उत्पाद है

$\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]$

टेंसर संकुचन

Main article: Tensor contraction

सदिशों के डॉट उत्पाद द्वारा प्रत्येक डायाडिक उत्पाद को प्रतिस्थापित करके समन्वय के आधार पर डाइएडिक के औपचारिक विस्तार से प्रेरणा या विस्तार कारक उत्पन्न होता है:

${\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}$

इंडेक्स नोटेशन में यह डाइएडिक पर इंडेक्स का संकुचन है:

$|\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}$

केवल तीन आयामों में, प्रत्येक डाईडिक उत्पाद को क्रॉस उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित करके रोटेशन कारक उत्पन्न होता है

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}$

इंडेक्स नोटेशन में यह लेवी-Civita टेंसर के साथ ए का संकुचन है

$\langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.$

यूनिट डाइडिक

एक इकाई युग्मक मौजूद है, जिसे I द्वारा निरूपित किया जाता है, जैसे कि, किसी भी सदिश a के लिए,

$\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a}$

दोहरे आधार पर 3 सदिशों a, b और c का आधार दिया है ${\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}$, इकाई डाइएडिक द्वारा व्यक्त किया जाता है

$\mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}$

मानक के आधार पर,

$\mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk}$

स्पष्ट रूप से, इकाई dyadic के दायीं ओर डॉट उत्पाद है

${\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}$

और बाईं ओर

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}$

संबंधित मैट्रिक्स है

$\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

टेंसर उत्पादों की भाषा का उपयोग करके इसे और अधिक सावधान नींव पर रखा जा सकता है (यह समझाते हुए कि जक्सटापोजिंग नोटेशन की तार्किक सामग्री का क्या मतलब हो सकता है)। यदि V परिमित-आयामी सदिश स्थान है, तो V पर युग्मक टेंसर V के टेंसर उत्पाद में इसकी दोहरी जगह के साथ प्रारंभिक टेंसर है।

V और इसके दोहरे स्थान का टेन्सर उत्पाद V से V तक के रैखिक मानचित्रों के स्थान के लिए समरूपी है: डायडिक टेंसर vf केवल रैखिक नक्शा है जो V में f(w)v को कोई भी w भेज रहा है। जब वी यूक्लिडियन एन-स्पेस है, तो हम वी के साथ दोहरी जगह की पहचान करने के लिए आंतरिक उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो वैक्टरों के प्राथमिक टेन्सर उत्पाद को डायडिक टेन्सर बना सकते हैं।

इस अर्थ में, यूनिट डायडिक 'आईजे' 3-स्पेस से स्वयं को भेजने का कार्य है₁मैं + ए₂जे + ए₃के से ए₂i, और jj इस राशि को a को भेजता है₂जे। अब यह पता चला है कि किस (सटीक) अर्थ में ii + jj + kk पहचान है: यह a भेजता है₁मैं + ए₂जे + ए₃k स्वयं के लिए क्योंकि इसका प्रभाव प्रत्येक इकाई वेक्टर को उस आधार पर वेक्टर के गुणांक द्वारा बढ़ाए गए मानक आधार पर योग करना है।

यूनिट डाइएडिक्स के गुण

${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}$

जहाँ tr ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है।

उदाहरण

वेक्टर प्रक्षेपण और अस्वीकृति

एक शून्येतर सदिश a को हमेशा दो लंब घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इकाई सदिश n की दिशा के समानांतर (‖), और लंब (⊥) इसके लिए;

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }$

सदिश प्रक्षेपण द्वारा समांतर घटक पाया जाता है, जो डायाडिक एनएन के साथ डॉट उत्पाद के बराबर है,

$\mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}$

और लम्बवत घटक सदिश अस्वीकृति से पाया जाता है, जो युग्मक के साथ a के डॉट उत्पाद के समतुल्य है I − nn,

$\mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}$

रोटेशन डाईडिक

Further information: Axis–angle representation

2d घुमाव

द डाइडिक

$\mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

2डी में 90° एंटीक्लॉकवाइज रोटेशन ऑपरेटर (वेक्टर स्पेस) है। इसे सदिश उत्पन्न करने के लिए सदिश r = xi + yj के साथ बाएँ-बिंदीदार बनाया जा सकता है,

$(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,$

सारांश

$\mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }$

या मैट्रिक्स नोटेशन में

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.$

किसी भी कोण θ के लिए, समतल में वामावर्त घूर्णन के लिए 2d घूर्णन युग्मक है

$\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}$

जहाँ I और J उपरोक्तानुसार हैं, और किसी भी 2d सदिश a = a का घूर्णन_x मैं + ए_yजे है

$\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a}$

3डी घुमाव

इकाई सदिश ω की दिशा में अक्ष के बारे में सदिश a का सामान्य 3डी घूर्णन और θ कोण के माध्यम से घड़ी की विपरीत दिशा में, रॉड्रिक्स के घूर्णन सूत्र का उपयोग युग्मक रूप में किया जा सकता है।

$\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,$

जहां रोटेशन डाइडिक है

$\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,$

और ω की कार्तीय प्रविष्टियाँ भी डाइएडिक की प्रविष्टियाँ बनाती हैं

${\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,$

a पर Ω का प्रभाव क्रॉस उत्पाद है

${\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a}$

जो कॉलम वेक्टर के साथ क्रॉस उत्पाद मैट्रिक्स का डायाडिक रूप है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

विशेष आपेक्षिकता में, इकाई सदिश 'n' की दिशा में गति v के साथ लोरेंत्ज़ बूस्ट को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)$

$\mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t$

कहाँ

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

लोरेंत्ज़ कारक है।

संबंधित शर्तें

कुछ लेखक डियाडिक शब्द से संबंधित शब्दों त्रैमासिक, टेट्राडिक और पॉलीएडिक से सामान्यीकरण करते हैं।

यह भी देखें

• क्रोनकर उत्पाद
• बायवेक्टर
• पॉलीडिक बीजगणित
• इकाई वेक्टर
• मल्टीवेक्टर
• विभेदक रूप
• चतुष्कोण
• क्षेत्र (गणित)

संदर्भ

• P. Mitiguy (2009). "Vectors and dyadics" (PDF). Stanford, USA. Chapter 2
• Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector analysis, Schaum's outlines. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
• A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Dyadics and other vector operators", Methods of theoretical physics, Volume 1, New York: McGraw-Hill, pp. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, MR 0059774.
• Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis. Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Physical Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

बाहरी संबंध

• Vector Analysis, a Text-Book for the use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Advanced Field Theory, I.V.Lindel
• Vector and Dyadic Analysis
• Introductory Tensor Analysis
• Nasa.gov, Foundations of Tensor Analysis for students of Physics and Engineering with an Introduction to the Theory of Relativity, J.C. Kolecki
• Nasa.gov, An introduction to Tensors for students of Physics and Engineering, J.C. Kolecki