ग्रेडियेंट

This article is about एक बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का सामान्यीकृत व्युत्पन्न. For गणित में एक और प्रयोग, see ढलान. For कोण की एक समान वर्तनी वाली इकाई, see ग्रेडियन. For अन्य उपयोग, see ग्रेडियेंट (disambiguation).

नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया ग्रेडिएंट, स्केलर फ़ंक्शन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फ़ंक्शन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।

सदिश कलन में, कई वैरिएबल(variable) के एक अदिश-मूल्यवान अलग-अलग फलन f का प्रवणता सदिश क्षेत्र (या सदिश-मूल्यवान फलन) है $\nabla f$ जिसका मूल्य एक बिंदु पर है $p$ सदिश है जिनके घटक के आंशिक व्युत्पन्न हैं $f$ पर $p$. वह इसके लिए $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, इसकी प्रवणता है $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ n-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के रूप में

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

नाबला प्रतीक $\nabla$,एक उल्टा त्रिभुज के रूप में लिखा गया है और "डेल" का उच्चारण किया गया है, सदिश विभेदक ऑपरेटर को दर्शाता है।

प्रवणता सदिश की व्याख्या "सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर" के रूप में की जा सकती है। यदि किसी फ़ंक्शन का प्रवणता एक बिंदु p पर गैर-शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें फ़ंक्शन p से सबसे जल्दी बढ़ जाता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ा पूर्ण दिशात्मक व्युत्पन्न। इसके अलावा, एक बिंदु जहां प्रवणता शून्य सदिश है, एक स्थिर बिंदु के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार प्रवणता अनुकूलन सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है, जहां इसका उपयोग ग्रेडिएंट एसेंट द्वारा एक फ़ंक्शन को अधिकतम करने के लिए किया जाता है

प्रवणता कुल व्युत्पन्न के लिए दोहरी है $df$: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा सदिश है - प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश; जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटेंज सदिश है - वैक्टर पर एक रैखिक कार्यात्मक। वे संबंधित हैं कि के प्रवणता के डॉट उत्पाद f एक बिंदु पर p एक और स्पर्शरेखा सदिश के साथ v के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है f पर p समारोह के साथ v; वह है,

${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$.ग्रेडिएंट कई सामान्यीकरणों को कई गुना अधिक सामान्य कार्यों के लिए स्वीकार करता है; देखना § Generalizations.

प्रेरणा

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहां तापमान एक अदिश क्षेत्र, T द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु (x, y, z) पर तापमान समय से स्वतंत्र T(x, y, z) होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर, उस बिंदु पर T का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान सबसे तेज़ी से बढ़ता है, (x, y, z) से दूर जा रहा है। प्रवणता का परिमाण निर्धारित करेगा कि उस दिशा में तापमान कितनी तेजी से बढ़ता है।

एक सतह पर विचार करें जिसकी समुद्र तल से ऊंचाई बिंदु (x, y) पर H(x, y) है। एक बिंदु पर H का ग्रेडिएंट एक समतल सदिश है जो उस बिंदु पर सबसे तेज ढलान या ग्रेड की दिशा में इंगित करता है। उस बिंदु पर ढलान की स्थिरता प्रवणता सदिश के परिमाण द्वारा दी जाती है।

ग्रेडिएंट का उपयोग यह मापने के लिए भी किया जा सकता है कि एक स्केलर क्षेत्र अन्य दिशाओं में कैसे बदलता है, न कि केवल सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा में, एक डॉट उत्पाद लेकर। मान लीजिए कि एक पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है। सीधे ऊपर की ओर जाने वाली सड़क का ढलान 40% है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क का ढलान उथला होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क ऊपर की दिशा से 60° के कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है), तो सड़क के साथ ढलान सड़क के साथ ग्रेडिएंट सदिश और यूनिट सदिश के बीच डॉट उत्पाद होगा। , अर्थात् 60° की कोज्या का 40% गुना, या 20%।

अधिक आम तौर पर, यदि पहाड़ी ऊंचाई फ़ंक्शन H अलग-अलग है, तो यूनिट सदिश के साथ बिंदीदार H की प्रवणता सदिश की दिशा में पहाड़ी की ढलान देती है, यूनिट सदिश के साथ H का दिशात्मक व्युत्पन्न।

संकेतन

बिंदु $a$ पर फ़ंक्शन $f$ का ग्रेडिएंट आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है $\nabla f(a)$. इसे निम्नलिखित में से किसी के द्वारा भी दर्शाया जा सकता है:

• ${\vec {\nabla }}f(a)$ : परिणाम की सदिश प्रकृति पर जोर देने के लिए।
• grad f
• $\partial _{i}f$ तथा $f_{i}$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा

फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² निचले तल पर एक प्रक्षेपित सदिश क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।

स्केलर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (या ग्रेडिएंट सदिश क्षेत्र) f(x₁, x₂, x₃, …, x_n) निरूपित है ∇f या ∇→f कहाँ पे ∇ (नाबला प्रतीक) सदिश डिफरेंशियल ऑपरेटर, डेल को दर्शाता है। संकेतन grad f आमतौर पर प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है। का प्रवणता f अद्वितीय सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद किसी भी यूक्लिडियन सदिश के साथ है v प्रत्येक बिंदु पर x का दिशात्मक व्युत्पन्न है f साथ-साथ v. वह है,

एक अदिश फलन f(x₁, x₂, x₃, …, x_n) की प्रवणता (या प्रवणता सदिश क्षेत्र) को ∇f या →$f$ से निरूपित किया जाता है, जहां ∇ (नाबला) सदिश अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। ग्रेडिएंट का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रेड एफ का भी आमतौर पर उपयोग किया जाता है। $f$ के ग्रेडिएंट को अद्वितीय सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी सदिश v के साथ v के साथ $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,

${\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)$

जहां दाहिनी ओर का हाथ दिशात्मक व्युत्पन्न है और इसका प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न ग्रेडिएंट के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें।

जब कोई फ़ंक्शन समय जैसे पैरामीटर पर भी निर्भर करता है, तो ग्रेडिएंट अक्सर केवल इसके स्थानिक डेरिवेटिव के सदिश को संदर्भित करता है (स्थानिक ग्रेडिएंट देखें)।

ग्रेडिएंट सदिश की परिमाण और दिशा विशेष समन्वय प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र होती है।

कार्तीय निर्देशांक

यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रवणता, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$

जहाँ i, j, k क्रमशः x, y और z निर्देशांकों की दिशा में मानक इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट

$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$

है

$\nabla f=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$

कुछ अनुप्रयोगों में यह एक आयताकार समन्वय प्रणाली में अपने घटकों के एक पंक्ति सदिश या स्तंभ सदिश के रूप में प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रथागत है; यह लेख ग्रेडिएंट के कॉलम सदिश होने की परंपरा का अनुसरण करता है, जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति सदिश है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

Main article: बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल

एक यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ बेलनाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

$\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$

जहाँ पे ρ अक्षीय दूरी है, φ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, z अक्षीय निर्देशांक है, और e_ρ, e_φ और e_z निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई सदिश हैं।

गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

$\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },$

जहाँ r रेडियल दूरी है, φ अज़ीमुथल कोण है और θ ध्रुवीय कोण है, और e_r, e_θ तथा e_φ फिर से स्थानीय इकाई सदिश हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।

अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में ग्रेडिएंट के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में डिफरेंशियल ऑपरेटर्स) देखें।

सामान्य निर्देशांक

हम सामान्य निर्देशांक पर विचार करते हैं, जिन्हें हम लिखते हैं x¹, …, xⁱ, …, xⁿ, जहां n डोमेन के आयामों की संख्या है। यहां, ऊपरी सूचकांक समन्वय या घटक की सूची में स्थिति को संदर्भित करता है, इसलिए x² दूसरे घटक को संदर्भित करता है-मात्रा x वर्ग नहीं। सूचकांक चर i एक मनमाना तत्व xⁱ को संदर्भित करता है। आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, प्रवणता को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}$$

(ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है ${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$),

कहाँ पे $\mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}$ तथा $\mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}$ असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें#सहसंयोजक और contravariant आधार क्रमशः, $g^{ij}$ मीट्रिक टेंसर # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।

यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में प्रवणता (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ तथा ${\hat {\mathbf {e} }}^{i}$, पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है) $h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert$ :

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}$$

(तथा ${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$),

जहां हम आइंस्टीन संकेतन का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक सूचकांकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है। ऊपरी और निचले सूचकांकों के उपयोग के बावजूद, $\mathbf {\hat {e}} _{i}$, $\mathbf {\hat {e}} ^{i}$, तथा $h_{i}$ न तो विरोधाभासी हैं और न ही सहसंयोजक।

उत्तरार्द्ध अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक के लिए ऊपर दिए गए भावों का मूल्यांकन करती है।

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है $df$: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वैक्टर में $\mathbb {R} ^{n}$ कॉलम वैक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोसदिश (रैखिक मानचित्र .) $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$) पंक्ति वैक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं, प्रवणता $\nabla f$ और व्युत्पन्न $df$ एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति सदिश के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};$

$df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट सदिश होता है, एक रैखिक रूप (कोसदिश) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (सदिश) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, ग्रेडिएंट एक स्पर्शरेखा सदिश है, जो (सदिश) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, $\nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}$, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, $df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। सदिश स्पेस के साथ $\mathbb {R} ^{n}$ स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी सदिश स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ कोसदिशों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक सदिश के बारे में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$, न केवल एक स्पर्शरेखा सदिश के रूप में।

कम्प्यूटेशनल रूप से, एक स्पर्शरेखा सदिश दिया जाता है, सदिश को व्युत्पन्न (मैट्रिस के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि ग्रेडिएंट के साथ डॉट उत्पाद लेने के बराबर है:

$(df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v$

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

एक बिंदु पर x में Rⁿ से एक रैखिक नक्शा है Rⁿ प्रति R जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है df_x या Df(x) और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है f पर x. कार्यक्रम df, कौन सा नक्शा x प्रति df_x, को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है f और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।

जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, कई चरों में एक फ़ंक्शन का दिशात्मक व्युत्पन्न सदिश की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है

$(\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)$

किसी के लिए v ∈ Rⁿ, कहाँ पे $\cdot$ डॉट उत्पाद है: ग्रेडिएंट के साथ सदिश का डॉट उत्पाद लेना सदिश के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।

यदि Rⁿ (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है n) कॉलम वैक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है df घटकों के साथ पंक्ति सदिश के रूप में

$\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),$

ताकि df_x(v) मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए Rⁿ, ग्रेडिएंट तब संबंधित कॉलम सदिश होता है, अर्थात,

$(\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.$

एक फ़ंक्शन के लिए रैखिक सन्निकटन

किसी फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (गणित) f यूक्लिडियन अंतरिक्ष से Rⁿ प्रति R किसी विशेष बिंदु पर x₀ में Rⁿ सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है f पर x₀. सन्निकटन इस प्रकार है:

$f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})$

के लिये x के करीब x₀, कहाँ पे (∇f )_x0 का प्रवणता है f पर गणना की गई x₀, और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है Rⁿ. यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में f पर x₀.

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

होने देना U में एक खुला सेट बनें Rⁿ. यदि समारोह f : U → R अवकलनीय है, तो का अंतर f फ्रेचेट का व्युत्पन्न है f. इस प्रकार ∇f से एक समारोह है U अंतरिक्ष के लिए Rⁿ ऐसा है कि

$$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,$$

जहां · डॉट उत्पाद है।

एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:

रैखिकता

ग्रेडिएंट इस अर्थ में रैखिक है कि यदि f तथा g बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं a ∈ Rⁿ, तथा α तथा β दो अचर हैं, तो αf + βg पर भिन्न है a, और इसके अलावा

$$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).$$

प्रॉडक्ट नियम

यदि f तथा g वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं a ∈ Rⁿ, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद fg पर भिन्न है a, तथा

$$\nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).$$

श्रृंखला नियम

मान लो कि f : A → R एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है A का Rⁿ, और कि f एक बिंदु पर अवकलनीय है a. ग्रेडिएंट पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फ़ंक्शन g एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक समारोह g : I → Rⁿ एक सबसेट को मैप करता है I ⊂ R में Rⁿ. यदि g एक बिंदु पर अवकलनीय है c ∈ I ऐसा है कि g(c) = a, फिर

$$(f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),$$

जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

अधिक सामान्यतः, यदि इसके बजाय I ⊂ R^k, तो निम्नलिखित धारण करता है:

$$\nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},$$

कहाँ पे (Dg)^T ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि h : I → R एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है I का R, और कि h बिंदु पर भिन्न है f(a) ∈ I. फिर

$$\nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).$$

आगे के गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

See also: Level set § Level sets versus the gradient

एक स्तर की सतह, या आइसोसुरफेस, उन सभी बिंदुओं का समूह है जहां कुछ फ़ंक्शन का एक निश्चित मान होता है।

यदि f अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद (∇f )_x ⋅ v एक बिंदु पर प्रवणता का x एक सदिश के साथ v का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है f पर x दिशा में v. यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता f के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है f. उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है F(x, y, z) = c. का प्रवणता F फिर सतह के लिए सामान्य है।

अधिक आम तौर पर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी एम्बेडेड सबमनिफोल्ड हाइपरसर्फेस को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है F(P) = 0 ऐसा है कि dF शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता F फिर हाइपरसर्फेस के लिए सामान्य है।

इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है F(x₁, ..., x_n) = 0, कहाँ पे F एक बहुपद है। का प्रवणता F हाइपरसर्फेस के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य सदिश है।

रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

Main article: Gradient theorem

किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट को ग्रेडिएंट क्षेत्र कहा जाता है। ए (निरंतर) प्रवणता क्षेत्र हमेशा एक रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा अभिन्न केवल पथ के अंत बिंदुओं पर निर्भर करती है, और प्रवणता प्रमेय (लाइन इंटीग्रल के लिए कैलकुस का मौलिक प्रमेय) द्वारा मूल्यांकन किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक (निरंतर) रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र हमेशा एक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट होता है।

सामान्यीकरण

जैकोबियन

Main article: Jacobian matrix and determinant

जैकोबियन मैट्रिक्स कई चर के सदिश-मूल्यवान कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच अलग-अलग मानचित्रों या अधिक आम तौर पर कई गुना है। Banach रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन के लिए एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट व्युत्पन्न है।

मान लीजिए f : Rⁿ → R^m एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है ℝⁿ. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स f एक के रूप में परिभाषित किया गया है m×n मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया $\mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )$ या केवल $\mathbf {J}$. (i,j))}}वीं प्रविष्टि है $\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$. स्पष्ट रूप से

$$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$$

एक सदिश क्षेत्र का प्रवणता

See also: Covariant derivative

चूँकि सदिश क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न सदिशों से सदिशों तक एक रेखीय मानचित्रण है, यह एक टेंसर मात्रा है।

आयताकार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र की प्रवणता f = ( f¹, f², f³) द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},$

(जहां आइंस्टीन योग संकेतन का उपयोग किया जाता है और वैक्टर का टेंसर उत्पाद होता है e_i तथा e_k एक डाइडिक टेंसर प्रकार (2,0)) है। कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के बराबर है:

${\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.$

वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, प्रवणता में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक शामिल होते हैं:

$\nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},$

कहाँ पे g^jk व्युत्क्रम मीट्रिक टेंसर के घटक हैं और e_i निर्देशांक आधार वैक्टर हैं।

अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक सदिश क्षेत्र का प्रवणता f Levi-Civita कनेक्शन और मीट्रिक टेंसर द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$\nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},$

कहाँ पे ∇_c कनेक्शन है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

किसी भी सुचारू कार्य के लिए f रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर (M, g), का प्रवणता f सदिश क्षेत्र है ∇f ऐसा है कि किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए X,

$g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,$

वह है,

$g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),$

कहाँ पे g_x( , ) स्पर्शरेखा वैक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है x मीट्रिक द्वारा परिभाषित g तथा ∂_X f वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है x ∈ M के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए f दिशा में X, पर मूल्यांकन किया गया x. दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में φ के एक खुले उपसमुच्चय से M के एक खुले उपसमुच्चय के लिए Rⁿ, (∂_X f )(x) द्वारा दिया गया है:

$\sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},$

कहाँ पे X^j दर्शाता है jका वां घटक X इस समन्वय चार्ट में।

तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:

$\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.$

मामले का सामान्यीकरण M = Rⁿ, किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि

$(\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).$

अधिक सटीक, प्रवणता ∇f अंतर 1-रूप से जुड़ा सदिश क्षेत्र है df संगीत समरूपता का उपयोग करना

$\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM$

(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित g. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट के बीच संबंध Rⁿ इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।

यह भी देखें

• कर्ल (गणित)
• विचलन
• चार प्रवणता
• हेसियन मैट्रिक्स
• तिरछा प्रवणता

संदर्भ

• Bachman, David (2007), Advanced Calculus Demystified, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-148121-2
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Downing, Douglas, Ph.D. (2010), Barron's E-Z Calculus, New York: Barron's, ISBN 978-0-7641-4461-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1991). Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
• "McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
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• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
• Schey, H. M. (1992). Div, Grad, Curl, and All That (2nd ed.). W. W. Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561.
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• Swokowski, Earl W.; Olinick, Michael; Pence, Dennis; Cole, Jeffery A. (1994), Calculus (6th ed.), Boston: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5

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• कमी चौड़ाई
• छोटा संकेत
• एकदिश धारा
• सामान्य आधार
• लोगारित्म
• इलेक्ट्रोस्टैटिक-संवेदनशील डिवाइस
• आयनीकरण विकिरण

अग्रिम पठन

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. pp. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.

बाहरी संबंध

• "Gradient". Khan Academy.
• Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Gradient", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Weisstein, Eric W. "Gradient". MathWorld.