नियमित प्रतिनिधित्व

For regular irreducible representations of a finite group, see Gelfand–Graev representation.

गणित में, और विशेष रूप से समूह अभ्यावेदन के सिद्धांत में, समूह 'जी' का नियमित प्रतिनिधित्व अनुवाद (समूह सिद्धांत) द्वारा स्वयं पर 'जी' के समूह क्रिया (गणित) द्वारा वहन किया जाने वाला रैखिक प्रतिनिधित्व है।

एक बाएं अनुवाद द्वारा दिए गए बाएं नियमित प्रतिनिधित्व λ और दाएं अनुवाद के व्युत्क्रम द्वारा दिए गए सही नियमित प्रतिनिधित्व ρ को अलग करता है।

परिमित समूह

See also: Representation theory of finite groups § Left- and right-regular representation

एक परिमित समूह जी के लिए, बाएं नियमित प्रतिनिधित्व λ (एक क्षेत्र (गणित) के पर) वेक्टर अंतरिक्ष पर एक रैखिक प्रतिनिधित्व है | के-वेक्टर अंतरिक्ष वी स्वतंत्र रूप से जी के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, i। इ। उन्हें V के आधार (रैखिक बीजगणित) से पहचाना जा सकता है। g ∈ G, λ दिया गया है_g जी द्वारा बाएं अनुवाद के आधार पर इसकी क्रिया द्वारा निर्धारित रैखिक मानचित्र है, अर्थात

$\lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ for all }}h\in G.$

सही नियमित प्रतिनिधित्व ρ के लिए, एक प्रतिनिधित्व के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए एक व्युत्क्रम होना चाहिए। विशेष रूप से, दिया गया g ∈ G, ρ_g वी पर रैखिक नक्शा जी द्वारा सही अनुवाद के आधार पर इसकी क्रिया द्वारा निर्धारित किया गया है^-1, यानी

$\rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ for all }}h\in G.\$

वैकल्पिक रूप से, इन अभ्यावेदन को सभी कार्यों के K-वेक्टर स्थान W पर परिभाषित किया जा सकता है G → K. यह इस रूप में है कि नियमित प्रतिनिधित्व टोपोलॉजिकल समूहों जैसे झूठ समूहों के लिए सामान्यीकृत होता है।

W के संदर्भ में विशिष्ट परिभाषा इस प्रकार है। एक समारोह दिया f : G → K और एक तत्व g ∈ G,

$(\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)$

और

$(\rho _{g}f)(x)=f(\rho _{g}^{-1}(x))=f(xg).$

किसी समूह के नियमित प्रतिनिधित्व का महत्व

प्रत्येक समूह G अनुवाद द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। यदि हम इस क्रिया को क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व के रूप में मानते हैं तो इसे एकल कक्षा (समूह सिद्धांत) और समूह क्रिया (गणित) जी के पहचान उपसमूह {ई} के रूप में वर्णित किया जाता है। किसी दिए गए क्षेत्र के लिए जी का नियमित प्रतिनिधित्व, है K पर एक सदिश स्थान के आधार वैक्टर के एक सेट के रूप में इस क्रमचय प्रतिनिधित्व को ले कर बनाया गया रैखिक प्रतिनिधित्व। महत्व यह है कि जबकि क्रमचय प्रतिनिधित्व विघटित नहीं होता है - यह समूह क्रिया (गणित) है - सामान्य रूप में नियमित प्रतिनिधित्व टूट जाता है छोटे अभ्यावेदन। उदाहरण के लिए, यदि G एक परिमित समूह है और K जटिल संख्या क्षेत्र है, तो नियमित प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित हो जाता है, प्रत्येक अपघटनीय प्रतिनिधित्व अपघटन में बहुलता के साथ प्रकट होता है। इन इरेड्यूसिबल्स की संख्या जी के संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर है।

उपरोक्त तथ्य को चरित्र सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकता है। याद रखें कि नियमित प्रतिनिधित्व का चरित्र χ(g) नियमित प्रतिनिधित्व V पर अभिनय करने वाले g के निश्चित बिंदुओं की संख्या है। इसका मतलब है कि निश्चित बिंदुओं की संख्या χ(g) शून्य है जब g आईडी नहीं है और |G| अन्यथा। माना V का अपघटन ⊕a है_iV_i जहां वी_iजी और ए के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं_iकी संगत गुणक हैं। चरित्र सिद्धांत द्वारा, बहुलता ए_i रूप में परिकलित किया जा सकता है

$a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _{i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},$

जिसका अर्थ है कि प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की बहुलता इसका आयाम है।

समूह की अंगूठी ्स पर लेख परिमित समूहों के लिए नियमित प्रतिनिधित्व को स्पष्ट करता है, साथ ही यह भी दिखाता है कि मॉड्यूल (गणित) के रूप में नियमित प्रतिनिधित्व को कैसे लिया जा सकता है।

मॉड्यूल सिद्धांत दृष्टिकोण

निर्माण को और अधिक अमूर्त रूप से रखने के लिए, समूह रिंग K[G] को स्वयं के ऊपर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है। (यहाँ बाईं-क्रिया या दाईं-क्रिया का एक विकल्प है, लेकिन संकेतन के अलावा यह महत्वपूर्ण नहीं है।) यदि G परिमित है और K की विशेषता (बीजगणित) विभाजित नहीं होती है |G|, यह एक अर्धसरल है रिंग और हम इसके बाएं (दाएं) रिंग आदर्शों को देख रहे हैं। इस सिद्धांत का गहन अध्ययन किया गया है। यह विशेष रूप से ज्ञात है कि नियमित प्रतिनिधित्व के प्रत्यक्ष योग अपघटन में K के ऊपर G के अलघुकरणीय रैखिक निरूपण के प्रत्येक समरूपता वर्ग का एक प्रतिनिधि होता है। आप कह सकते हैं कि इस मामले में, प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए नियमित प्रतिनिधित्व व्यापक है। मॉड्यूलर मामला, जब K की विशेषता विभाजित होती है | G |, मुख्य रूप से कठिन होता है क्योंकि K [G] अर्ध-सरल नहीं होने के कारण, प्रत्यक्ष योग के रूप में विभाजन के बिना एक प्रतिनिधित्व अलघुकरणीय होने में विफल हो सकता है।

परिमित चक्रीय समूहों के लिए संरचना

ऑर्डर एन के जी द्वारा उत्पन्न एक चक्रीय समूह सी के लिए, के [सी] के एक तत्व का मैट्रिक्स फॉर्म के [सी] पर गुणन द्वारा कार्य करता है, एक विशिष्ट रूप लेता है जिसे मैट्रिक्स की परिक्रमा के रूप में जाना जाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति एक बदलाव है उपरोक्त के दाईं ओर (चक्रीय क्रम में, यानी बाईं ओर दिखाई देने वाले सबसे दाएं तत्व के साथ), जब प्राकृतिक आधार को संदर्भित किया जाता है

1, जी, जी², ..., जीⁿ⁻¹.

जब फ़ील्ड K में एकता का एक आदिम n-th मूल होता है, तो सभी n × n परिसंचारी के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र एक साथ eigenvectors लिखकर विकर्ण मैट्रिक्स को C का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। वास्तव में यदि ζ एकता, तत्व का कोई n-वाँ मूल है

1 + ζg + ζ^{2</सुप>जी2 + ... + जीn−1gn−1}

eigenvalue के साथ गुणन द्वारा g की क्रिया के लिए एक eigenvector है

जी^-1

और इसलिए g की सभी शक्तियों और उनके रैखिक संयोजनों का एक आइजनवेक्टर भी।

अमूर्त परिणाम के इस मामले में यह स्पष्ट रूप है कि एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड K (जैसे कि जटिल संख्या) पर G का नियमित प्रतिनिधित्व पूरी तरह से कम हो जाता है, बशर्ते कि K की विशेषता (यदि यह एक अभाज्य संख्या p है) जी के क्रम को विभाजित नहीं करता है। इसे मस्कके प्रमेय कहा जाता है। इस मामले में विशेषता पर स्थिति एक आदिम एन-वें मूल की एकता के अस्तित्व से निहित है, जो कि प्रधान विशेषता पी विभाजन एन के मामले में नहीं हो सकती है।

सर्कुलेंट निर्धारक पहली बार उन्नीसवीं शताब्दी के गणित में सामने आए थे, और उनके विकर्णीकरण का परिणाम तैयार किया गया था। अर्थात्, एक सर्कुलेंट का निर्धारक ऊपर वर्णित एन ईजेनवेक्टरों के लिए एन आइगेनवैल्यू का उत्पाद है। समूह अभ्यावेदन पर फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस का मूल कार्य किसी भी परिमित जी के लिए 'समूह निर्धारकों' के अनुरूप कारक खोजने की प्रेरणा से शुरू हुआ; अर्थात्, के [जी] के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाले मनमाना मैट्रिक्स के निर्धारक जी में जी द्वारा दिए गए आधार तत्वों पर गुणन द्वारा कार्य करते हैं। जब तक जी एबेलियन समूह नहीं होता है, तब तक गुणनखंड में गैर-रैखिक कारक शामिल होने चाहिए जो डिग्री के जी के अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व के अनुरूप हों। > 1।

टोपोलॉजिकल ग्रुप केस

एक टोपोलॉजिकल ग्रुप जी के लिए, उपरोक्त अर्थों में नियमित प्रतिनिधित्व को जी पर कार्यों के उपयुक्त स्थान से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसमें जी अनुवाद द्वारा कार्य करता है। कॉम्पैक्ट जगह केस के लिए पीटर-वेइल प्रमेय देखें। यदि G एक लाई समूह है, लेकिन कॉम्पैक्ट या एबेलियन समूह नहीं है, तो यह हार्मोनिक विश्लेषण का एक कठिन मामला है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन केस पोंट्रीगिन द्वैत सिद्धांत का हिस्सा है।

गाल्वा सिद्धांत में सामान्य आधार

गैल्वा सिद्धांत में यह दिखाया गया है कि एक क्षेत्र एल के लिए, और एल के automorphism के एक परिमित समूह जी, जी के निश्चित क्षेत्र के में [एल: के] = |जी | है। वास्तव में हम और कह सकते हैं: एल को के [जी] -मॉड्यूल के रूप में देखा जाना नियमित प्रतिनिधित्व है। यह सामान्य आधार प्रमेय की सामग्री है, एक 'सामान्य आधार' L का एक तत्व x है जैसे कि G में g के लिए g(x) K पर L के लिए एक सदिश स्थान आधार है। ऐसा x मौजूद है, और हर एक देता है एक K[G]-समरूपता L से K[G] तक। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से सामान्य अभिन्न आधारों का अध्ययन करना रुचिकर है, जहां हम एल और के को बीजगणितीय पूर्णांकों के छल्ले से बदलने की कोशिश करते हैं। गॉसियन पूर्णांकों के मामले में पहले से ही देखा जा सकता है कि ऐसे आधार मौजूद नहीं हो सकते हैं: a + bi और a - bi कभी भी 'Z' [i] का 'Z'-मॉड्यूल आधार नहीं बना सकते हैं क्योंकि 1 एक पूर्णांक संयोजन नहीं हो सकता है। गाल्वा मापांक सिद्धांत में कारणों का गहराई से अध्ययन किया गया है।

अधिक सामान्य बीजगणित

एक समूह वलय का नियमित प्रतिनिधित्व ऐसा है कि बाएं हाथ और दाएं हाथ के नियमित प्रतिनिधित्व आइसोमोर्फिक मॉड्यूल देते हैं (और हमें अक्सर मामलों में अंतर करने की आवश्यकता नहीं होती है)। एक फ़ील्ड ए पर एक बीजगणित को देखते हुए, ए के बीच बाएं-मॉड्यूल के रूप में और दाएं-मॉड्यूल के रूप में संबंध के बारे में पूछने का तुरंत अर्थ नहीं होता है। समूह के मामले में, के [जी] के आधार तत्वों जी पर मैपिंग उलटा तत्व ले कर परिभाषित किया गया है, इसके विपरीत रिंग में के [जी] का एक समरूपता देता है। एक सामान्य के लिए, ऐसी संरचना को फ्रोबेनियस बीजगणित कहा जाता है। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, इन्हें उन्नीसवीं शताब्दी में फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियन बीजगणित पेश किया गया था। कोबोर्डिज्म परिकल्पना के एक विशेष उदाहरण द्वारा उन्हें टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से 1 + 1 आयामों में संबंधित दिखाया गया है।

यह भी देखें

• मौलिक प्रतिनिधित्व
• क्रमचय प्रतिनिधित्व
• अर्ध नियमित प्रतिनिधित्व

संदर्भ

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.