पूर्ण निरंतरता

कलन में, पूर्ण निरंतरता फलन (गणित) का एक सहज (गणित) गुण है जो निरंतरता और समान निरंतरता से अधिक मजबूत है। पूर्ण निरंतरता की धारणा किसी को कलन-व्युत्पन्न और अभिन्न के दो केंद्रीय कार्यों के बीच संबंधों के सामान्यीकरण को प्राप्त करने की अनुमति देती है। रीमैन एकीकरण की रूपरेखा में (कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा) चित्रित किया जाता है, लेकिन पूर्ण निरंतरता के साथ इसे लेबेसेग एकीकरण के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। वास्तविक मूल्यांकित फलन के लिए वास्तविक रेखा पर, दो परस्पर संबंधित धारणाएँ फलन की पूर्ण निरंतरता और उपायों की पूर्ण निरंतरता दिखाई देती हैं। इन दो धारणाओं को अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत किया जाता है। फलन का सामान्य व्युत्पन्न एक माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न , या घनत्व से संबंधित है।हमारे पास वास्तविक रेखा के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर फलन के लिए निम्नलिखित अनुक्रम हैं:

पूर्णतः निरंतर ⊆ समान रूप से निरंतर $=$ निरंतर कार्य

और, एक संक्षिप्त अंतराल के लिए,

निरंतर अवकलनीय ⊆ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊆ पूर्णतः निरंतर ⊆ परिबद्ध भिन्नता ⊆ अवकलनीय फलन लगभग हर जगह।

कार्यों की पूर्ण निरंतरता

एक निरंतर कार्य पूरी तरह से निरंतर होने में विफल रहता है यदि यह समान रूप से निरंतर होने में विफल रहता है, जो तब हो सकता है जब फ़ंक्शन का डोमेन कॉम्पैक्ट न हो - उदाहरण हैं tan(x) over [0, π/2), एक्स² संपूर्ण वास्तविक रेखा पर, और sin(1/x) ऊपर (0, 1]। लेकिन एक निरंतर कार्य f एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर भी पूरी तरह से निरंतर होने में विफल हो सकता है। यह लगभग हर जगह भिन्न नहीं हो सकता है ( वीयरस्ट्रैस समारोह की तरह, जो कहीं भी भिन्न नहीं है)। या यह लगभग हर जगह अलग-अलग कार्य हो सकता है और इसका व्युत्पन्न f ' Lebesgue एकीकरण हो सकता है, लेकिन f ' का अभिन्न अंग f की वृद्धि से भिन्न होता है (कितना f एक अंतराल पर बदलता है ) यह उदाहरण के लिए कैंटर समारोह के साथ होता है। सामान्यतः

परिभाषा

होने देना $I$ वास्तविक रेखा में एक अंतराल (गणित) हो $\mathbb {R}$. एक समारोह $f\colon I\to \mathbb {R}$ बिल्कुल चालू है $I$ अगर हर सकारात्मक संख्या के लिए $\varepsilon$, एक सकारात्मक संख्या है $\delta$ ऐसा कि जब भी जोड़ीदार का एक परिमित क्रम उप-अंतरालों को अलग करता है $(x_{k},y_{k})$ का $I$ साथ $x_{k}<y_{k}\in I$ संतुष्ट

$\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta$

तब

$\sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

पर सभी पूर्णतः निरंतर कार्यों का संग्रह $I$ निरूपित किया जाता है $\operatorname {AC} (I)$.

समतुल्य परिभाषाएं

एक कॉम्पैक्ट अंतराल [ए, बी] पर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एफ पर निम्न स्थितियां समकक्ष हैं:

1. f पूर्णतया सतत है;
2. f का व्युत्पन्न f ' लगभग हर जगह है, व्युत्पन्न Lebesgue पूर्णांक है, और
   $$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt$$
   [ए, बी] पर सभी एक्स के लिए;
3. [a,b] पर एक Lebesgue integrable function g मौजूद है जैसे कि
   $$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt$$
   [ए, बी] में सभी एक्स के लिए।

यदि ये समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं तो अनिवार्य रूप से g = f ' लगभग हर जगह।

(1) और (3) के बीच समानता को लेबेसेग के कारण 'लेबेस्ग इंटीग्रल कैलकुस के मौलिक प्रमेय' के रूप में जाना जाता है। उपायों के संदर्भ में समतुल्य परिभाषा के लिए खंड देखें #संबंध पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच।

गुण

• दो पूर्णतः सतत फलनों का योग और अंतर भी पूर्णतया सतत होता है। यदि दो फलन परिबद्ध संवृत्त अंतराल पर परिभाषित हैं, तो उनका गुणनफल भी पूर्णतः संतत होता है।
• यदि एक परिबद्ध बंद अंतराल पर एक बिल्कुल निरंतर कार्य परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम बिल्कुल निरंतर है।
• हर पूर्णतया सतत कार्य (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत कार्य। प्रत्येक (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर कार्य (गणित) बिल्कुल निरंतर है।
• यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
• यदि f: [ए, बी] → 'आर' बिल्कुल निरंतर है, तो इसे [ए, बी] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते बिल्कुल निरंतर कार्यों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
• यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो इसमें लूज़िन एन गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) $N\subseteq [a,b]$ ऐसा है कि $\lambda (N)=0$, यह मानता है $\lambda (f(N))=0$, कहाँ $\lambda$ R पर Lebesgue माप के लिए खड़ा है)।
• एफ: आई → आर बिल्कुल निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन एन संपत्ति है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।
• यदि f: I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और g: 'R' → 'R' विश्व स्तर पर Lipschitz continuity|Lipschitz-continuity है, तो रचना g ∘ f बिल्कुल निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फ़ंक्शन g के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक बिल्कुल निरंतर फ़ंक्शन f मौजूद है जैसे कि g∘ f बिल्कुल निरंतर नहीं है।

उदाहरण

निम्नलिखित कार्य समान रूप से निरंतर हैं लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं हैं:

• कैंटर फ़ंक्शन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं है);
• कार्यक्रम
  $$f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$$
  मूल युक्त एक परिमित अंतराल पर।

निम्नलिखित कार्य बिल्कुल निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:

• फ़ंक्शन f(x) = x^β [0, c] पर, किसी के लिए भी 0 < β < α < 1

निम्नलिखित कार्य पूरी तरह से निरंतर हैं और होल्डर कंडीशन|α-होल्डर निरंतर लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतरता नहीं:

• फलन f(x) =√x [0, c] पर, α ≤ 1/2 के लिए।

सामान्यीकरण

चलो (एक्स, डी) एक मीट्रिक स्थान हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतराल (गणित) हो। एक समारोह f: I → X, I पर 'बिल्कुल निरंतर' है यदि प्रत्येक सकारात्मक संख्या के लिए $\epsilon$, एक सकारात्मक संख्या है $\delta$ ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरालों का एक परिमित क्रम होता है [x_k, और_k] मैं संतुष्ट करता हूं

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$

तब

$\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .$

I से X तक सभी पूर्ण निरंतर कार्यों का संग्रह एसी (I; X) को दर्शाता है।

एक और सामान्यीकरण अंतरिक्ष एसी है^p(I; X) घटता f: I → X ऐसा है कि

$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I$

एलपी स्पेस में कुछ मीटर के लिए | एल^{पी</सुप> स्पेस एलपी(आई).}

इन सामान्यीकरणों के गुण

• हर पूर्णतया सतत कार्य (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत कार्य। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर कार्य (गणित) बिल्कुल निरंतर है।
• यदि f: [a,b] → X बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
• एफ ∈ एसी के लिए^p(I; X), f का मीट्रिक व्युत्पन्न λ-लगभग हर समय I में मौजूद है, और मीट्रिक डेरिवेटिव सबसे छोटा m ∈ L है^p(I; 'R') ऐसा कि
  $$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.$$

उपायों की पूर्ण निरंतरता

परिभाषा

एक उपाय (गणित) $\mu$ वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है $\lambda$ यदि प्रत्येक के लिए $\lambda$-मापने योग्य सेट $A,$ $\lambda (A)=0$ तात्पर्य $\mu (A)=0.$ इसे इस प्रकार लिखा जाता है $\mu \ll \lambda .$ हम कहते हैं $\mu$ का बोलबाला है $\lambda .$ अधिकांश अनुप्रयोगों में, यदि वास्तविक रेखा पर एक माप को पूरी तरह से निरंतर कहा जाता है - यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस अन्य उपाय के संबंध में बिल्कुल निरंतर है - तो लेबेसेग माप के संबंध में पूर्ण निरंतरता का मतलब है।

के बोरेल सबसेट पर उपायों के लिए भी यही सिद्धांत लागू होता है $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$

समतुल्य परिभाषाएं

परिमित माप पर निम्नलिखित शर्तें $\mu$ वास्तविक रेखा के बोरेल उपसमुच्चय समतुल्य हैं:

1. $\mu$ बिल्कुल निरंतर है;
2. हर सकारात्मक संख्या के लिए $\varepsilon$ एक सकारात्मक संख्या है $\delta >0$ ऐसा है कि $\mu (A)<\varepsilon$ सभी बोरेल सेट के लिए $A$ Lebesgue माप से कम है $\delta ;$
3. एक Lebesgue पूर्णांक समारोह मौजूद है $g$ वास्तविक रेखा पर ऐसा है
   $$\mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda$$
   सभी बोरेल सबसेट के लिए $A$ वास्तविक रेखा का।

कार्यों के संदर्भ में समकक्ष परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग #Relation देखें।

कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है $g$ लगभग हर जगह। इस तरह के एक समारोह को बिल्कुल निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है $\mu .$ (1), (2) और (3) के बीच समानता भी लागू होती है $\mathbb {R} ^{n}$ सभी के लिए $n=1,2,3,\ldots .$ इस प्रकार, बिल्कुल निरंतर उपाय $\mathbb {R} ^{n}$ ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व कार्य होते हैं।

सामान्यीकरण

अगर $\mu$ और $\nu$ एक ही मापने योग्य स्थान पर दो माप (गणित) हैं $(X,{\mathcal {A}}),$ $\mu$ बताया गयाabsolutely continuous इसके संबंध में $\nu$अगर $\mu (A)=0$ हर सेट के लिए $A$ जिसके लिए $\nu (A)=0.$ इसे इस प्रकार लिखा जाता है$\mu \ll \nu$. वह है:

$$\mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).$$

कब $\mu \ll \nu ,$ तब $\nu$ बताया गयाdominating $\mu .$ उपायों की पूर्ण निरंतरता रिफ्लेक्टिव संबंध और सकर्मक संबंध है, लेकिन एंटीसिमेट्रिक संबंध नहीं है, इसलिए यह आंशिक आदेश के बजाय एक पूर्व आदेश है। इसके बजाय, अगर $\mu \ll \nu$ और $\nu \ll \mu ,$ उपाय $\mu$ और $\nu$ तुल्यता (माप सिद्धांत) कहा जाता है। इस प्रकार पूर्ण निरंतरता ऐसे तुल्यता वर्गों के आंशिक क्रम को प्रेरित करती है।

अगर $\mu$ एक हस्ताक्षरित माप या जटिल उपाय है, ऐसा कहा जाता है $\mu$ के संबंध में बिल्कुल निरंतर है $\nu$ अगर इसकी भिन्नता है $|\mu |$ संतुष्ट $|\mu |\ll \nu ;$ समकक्ष, अगर हर सेट $A$ जिसके लिए $\nu (A)=0$ है $\mu$-शून्य सेट।

रैडॉन-निकोडिम प्रमेय बताता है कि अगर $\mu$ के संबंध में बिल्कुल निरंतर है $\nu ,$ और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब $\mu$ के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है $\nu ,$ जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है $\nu$-मापने योग्य समारोह $f$ मान लेना $[0,+\infty ),$ द्वारा चिह्नित $f=d\mu /d\nu ,$ ऐसा कि किसी के लिए $\nu$-मापने योग्य सेट $A$ अपने पास

$$\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .$$

एकवचन उपाय

लेबेस्ग अपघटन प्रमेय के लिए, प्रत्येक σ-परिमित माप को एक पूर्णतया सतत माप और एक अन्य σ-सीमित माप के संबंध में एक विलक्षण माप के योग में विघटित किया जा सकता है। उन मापों के उदाहरणों के लिए एकवचन माप देखें जो बिल्कुल निरंतर नहीं हैं।

पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध

वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु कार्य करता है

$F(x)=\mu ((-\infty ,x])$

एक बिल्कुल निरंतर वास्तविक कार्य है। अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतराल पर) बिल्कुल निरंतर अगर और केवल अगर इसका वितरण व्युत्पन्न एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है।

यदि पूर्ण निरंतरता बनी रहती है तो μ का रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एफ के व्युत्पन्न के लगभग हर जगह बराबर होता है। अधिक आम तौर पर, माप μ को स्थानीय रूप से परिमित (परिमित के बजाय) माना जाता है और F(x) को μ((0,x]) के रूप में परिभाषित किया जाता है x > 0, 0 के लिए x = 0, और -μ((x,0]) के लिए x < 0. इस मामले में μ Lebesgue-Stieltjes एकीकरण है | Lebesgue-Stiltjes उपाय F द्वारा उत्पन्न किया गया है। पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध अभी भी कायम है।

संदर्भ

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• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Bruckner, A. M.; Bruckner, J. B.; Thomson, B. S. (1997), Real Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-134-58886-X
• Fichtenholz, Grigorii (1923). "Note sur les fonctions absolument continues". Matematicheskii Sbornik. 31 (2): 286–295.
• Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA
• Nielsen, Ole A. (1997), An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, H.L. (1988), Real Analysis (third ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

बाहरी संबंध

• Absolute continuity at Encyclopedia of Mathematics
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl