पूर्ण निरंतरता

कलन में, पूर्ण निरंतरता फलन (गणित) का एक सहज (गणित) गुण है जो निरंतरता और समान निरंतरता से अधिक मजबूत है। पूर्ण निरंतरता की धारणा किसी को कलन-व्युत्पन्न और अभिन्न के दो केंद्रीय फलन के बीच संबंधों के सामान्यीकरण को प्राप्त करने की अनुमति देती है। रीमैन पूर्णांक की रूपरेखा में (कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा) चित्रित किया जाता है, लेकिन पूर्ण निरंतरता के साथ इसे लेबेसेग पूर्णांक के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। वास्तविक मूल्यांकित फलन के लिए वास्तविक रेखा पर, दो परस्पर संबंधित धारणाएँ फलन की पूर्ण निरंतरता और उपायों की पूर्ण निरंतरता दिखाई देती हैं। इन दो धारणाओं को अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत किया जाता है। फलन का सामान्य व्युत्पन्न एक माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न , या घनत्व से संबंधित है। हमारे पास वास्तविक रेखा के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर फलन के लिए निम्नलिखित अनुक्रम हैं:

पूर्णतः निरंतर ⊆ समान रूप से निरंतर $=$ निरंतर फलन

और, एक संक्षिप्त अंतर के लिए,

निरंतर अवकलनीय ⊆ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊆ पूर्णतः निरंतर ⊆ परिबद्ध भिन्नता ⊆ अवकलनीय फलन लगभग हर जगह है।

फलन की पूर्ण निरंतरता

एक निरंतर फलन पूरी तरह से निरंतर होने में विफल रहता है यदि यह समान रूप से निरंतर होने में विफल रहता है, जो तब हो सकता है जब फलन का डोमेन कॉम्पैक्ट न हो - उदाहरण हैं tan(x) over [0, π/2), x² संपूर्ण वास्तविक रेखा पर, और sin(1/x) over (0, 1] है। लेकिन एक निरंतर फलन f एक कॉम्पैक्ट अंतर पर भी पूरी तरह से निरंतर होने में विफल हो सकता है। यह लगभग हर जगह ( वीयरस्ट्रैस फलन की तरह, जो कहीं भी भिन्न नहीं है) भिन्न नहीं हो सकता है। या यह लगभग हर जगह अलग-अलग फलन हो सकता है और इसका व्युत्पन्न f ' लेबेस्ग पूर्णांक हो सकता है, लेकिन f ' का अभिन्न अंतर f की वृद्धि से भिन्न होता है (कितना f एक अंतर पर बदलता है ) यह उदाहरण के लिए कैंटर फलन के साथ होता है।

परिभाषा

मान ले कि $I$ वास्तविक रेखा में एक अंतर (गणित) $\mathbb {R}$ हो, एक फलन $f\colon I\to \mathbb {R}$ पूर्णतः निरंतर है $I$ अगर धनात्मक संख्या के लिए $\varepsilon$, एक धनात्मक संख्या है $\delta$ ऐसा है कि जब भी एक परिमित अनुक्रम जोड़ीवार संयुक्त उप-अंतर $(x_{k},y_{k})$ का $I$ साथ $x_{k}<y_{k}\in I$ को अलग करता है।

$\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta$

तब

$\sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

पर सभी पूर्णतः निरंतर फलन का संग्रह $I$ को $\operatorname {AC} (I)$ से निरूपित किया जाता है।

समतुल्य परिभाषाएं

एक कॉम्पैक्ट अंतर [a,b] पर वास्तविक-मूल्यवान फलन f पर निम्न स्थितियां समान हैं:

1. f पूर्णतया सतत है;
2. f का व्युत्पन्न f ' लगभग हर जगह व्युत्पन्न लेब्सग पूर्णांक है, और
   $$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt$$
   [ए, बी] पर सभी एक्स के लिए;
3. [a,b] पर एक Lebesgue integrable function g मौजूद है जैसे कि
   $$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt$$
   [a,b] में सभी x के लिए है।

यदि इन समान स्थितियों का समाधान हो जाता है तो अनिवार्य रूप से g = f ′ लगभग हर जगह है।

(1) और (3) के बीच समानता को लेबेसेग के कारण 'लेबेस्ग अविभाज्य कलन के मौलिक प्रमेय' के रूप में जाना जाता है।

माप के संदर्भ में एक समान परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग संबंध देखें।

गुण

• दो पूर्णतः सतत फलनों का योग और अंतर भी पूर्णतया सतत होता है। यदि दो फलन परिबद्ध संवृत्त अंतर पर परिभाषित हैं, तो उनका गुणनफल भी पूर्णतः संतत होता है।
• यदि एक परिबद्ध बंद अंतर पर एक पूर्णतः निरंतर फलन परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम पूर्णतः निरंतर है।
• प्रत्येक पूर्णतया सतत फलन (संहत अंतराल पर) समान रूप से सतत होता है और इसलिए निरंतर होता है। प्रत्येक (वैश्विक स्तर पर) लिपशिट्ज-निरंतर फलन पूर्णतः निरंतर है।
• यदि f: [a,b] → 'R' पूर्णतः निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
• यदि f: [a,b] → 'R' पूर्णतः निरंतर है, तो इसे [a,b] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते पूर्णतः निरंतर फलन के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
• यदि f: [a,b] → 'R' पूर्णतः निरंतर है, तो इसमें लूज़िन N गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) $N\subseteq [a,b]$ ऐसा है कि $\lambda (N)=0$, यह मानता है $\lambda (f(N))=0$, जहाँ $\lambda$ R पर लेबेस्ग माप के लिए खड़ा है)।
• f: I → R पूर्णतः निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन N गुण है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।
• यदि f: I → 'R' पूर्णतः निरंतर है और g: R → R विश्व स्तर पर लिपशिट्ज-निरंतर है, तो रचना g ∘ f पूर्णतः निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फलन g के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक पूर्णतः निरंतर फलन f मौजूद है जैसे कि g ∘ f पूर्णतः निरंतर नहीं है।

उदाहरण

निम्नलिखित फलन समान रूप से निरंतर हैं लेकिन पूर्णतः निरंतर नहीं हैं:

• कैंटर फलन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन पूर्णतः निरंतर नहीं है);
• फलनक्रम
  $$f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$$
  मूल युक्त एक परिमित अंतर पर।

निम्नलिखित फलन पूर्णतः निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:

• फलन f(x) = x^β [0, c] पर, किसी के लिए भी 0 < β < α < 1

निम्नलिखित फलन पूरी तरह से निरंतर हैं और होल्डर कंडीशन|α-होल्डर निरंतर लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतरता नहीं:

• फलन f(x) =√x [0, c] पर, α ≤ 1/2 के लिए।

सामान्यीकरण

चलो (एक्स, डी) एक मीट्रिक स्थान हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतर (गणित) हो। एक फलन f: I → X, I पर 'पूर्णतः निरंतर' है यदि प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए $\epsilon$, एक धनात्मक संख्या है $\delta$ ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरों का एक परिमित क्रम होता है [x_k, और_k] मैं संतुष्ट करता हूं

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$

तब

$\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .$

I से X तक सभी पूर्ण निरंतर फलन का संग्रह एसी (I; X) को दर्शाता है।

एक और सामान्यीकरण अंतरिक्ष एसी है^p(I; X) घटता f: I → X ऐसा है कि

$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I$

एलपी स्पेस में कुछ मीटर के लिए | एल^{पी</सुप> स्पेस एलपी(आई).}

इन सामान्यीकरणों के गुण

• हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतर पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) पूर्णतः निरंतर है।
• यदि f: [a,b] → X पूर्णतः निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
• एफ ∈ एसी के लिए^p(I; X), f का मीट्रिक व्युत्पन्न λ-लगभग हर समय I में मौजूद है, और मीट्रिक डेरिवेटिव सबसे छोटा m ∈ L है^p(I; 'R') ऐसा कि
  $$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.$$

उपायों की पूर्ण निरंतरता

परिभाषा

एक उपाय (गणित) $\mu$ वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर Lebesgue माप के संबंध में पूर्णतः निरंतर है $\lambda$ यदि प्रत्येक के लिए $\lambda$-मापने योग्य सेट $A,$ $\lambda (A)=0$ तात्पर्य $\mu (A)=0.$ इसे इस प्रकार लिखा जाता है $\mu \ll \lambda .$ हम कहते हैं $\mu$ का बोलबाला है $\lambda .$ अधिकांश अनुप्रयोगों में, यदि वास्तविक रेखा पर एक माप को पूरी तरह से निरंतर कहा जाता है - यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस अन्य उपाय के संबंध में पूर्णतः निरंतर है - तो लेबेसेग माप के संबंध में पूर्ण निरंतरता का मतलब है।

के बोरेल सबसेट पर उपायों के लिए भी यही सिद्धांत लागू होता है $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$

समतुल्य परिभाषाएं

परिमित माप पर निम्नलिखित शर्तें $\mu$ वास्तविक रेखा के बोरेल उपसमुच्चय समतुल्य हैं:

1. $\mu$ पूर्णतः निरंतर है;
2. हर धनात्मक संख्या के लिए $\varepsilon$ एक धनात्मक संख्या है $\delta >0$ ऐसा है कि $\mu (A)<\varepsilon$ सभी बोरेल सेट के लिए $A$ Lebesgue माप से कम है $\delta ;$
3. एक Lebesgue पूर्णांक फलन मौजूद है $g$ वास्तविक रेखा पर ऐसा है
   $$\mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda$$
   सभी बोरेल सबसेट के लिए $A$ वास्तविक रेखा का।

फलन के संदर्भ में समकक्ष परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग #Relation देखें।

कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है $g$ लगभग हर जगह। इस तरह के एक फलन को पूर्णतः निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है $\mu .$ (1), (2) और (3) के बीच समानता भी लागू होती है $\mathbb {R} ^{n}$ सभी के लिए $n=1,2,3,\ldots .$ इस प्रकार, पूर्णतः निरंतर उपाय $\mathbb {R} ^{n}$ ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व फलन होते हैं।

सामान्यीकरण

अगर $\mu$ और $\nu$ एक ही मापने योग्य स्थान पर दो माप (गणित) हैं $(X,{\mathcal {A}}),$ $\mu$ बताया गयाabsolutely continuous इसके संबंध में $\nu$अगर $\mu (A)=0$ हर सेट के लिए $A$ जिसके लिए $\nu (A)=0.$ इसे इस प्रकार लिखा जाता है$\mu \ll \nu$. वह है:

$$\mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).$$

कब $\mu \ll \nu ,$ तब $\nu$ बताया गयाdominating $\mu .$ उपायों की पूर्ण निरंतरता रिफ्लेक्टिव संबंध और सकर्मक संबंध है, लेकिन एंटीसिमेट्रिक संबंध नहीं है, इसलिए यह आंशिक आदेश के बजाय एक पूर्व आदेश है। इसके बजाय, अगर $\mu \ll \nu$ और $\nu \ll \mu ,$ उपाय $\mu$ और $\nu$ तुल्यता (माप सिद्धांत) कहा जाता है। इस प्रकार पूर्ण निरंतरता ऐसे तुल्यता वर्गों के आंशिक क्रम को प्रेरित करती है।

अगर $\mu$ एक हस्ताक्षरित माप या जटिल उपाय है, ऐसा कहा जाता है $\mu$ के संबंध में पूर्णतः निरंतर है $\nu$ अगर इसकी भिन्नता है $|\mu |$ संतुष्ट $|\mu |\ll \nu ;$ समकक्ष, अगर हर सेट $A$ जिसके लिए $\nu (A)=0$ है $\mu$-शून्य सेट।

रैडॉन-निकोडिम प्रमेय बताता है कि अगर $\mu$ के संबंध में पूर्णतः निरंतर है $\nu ,$ और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब $\mu$ के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है $\nu ,$ जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है $\nu$-मापने योग्य फलन $f$ मान लेना $[0,+\infty ),$ द्वारा चिह्नित $f=d\mu /d\nu ,$ ऐसा कि किसी के लिए $\nu$-मापने योग्य सेट $A$ अपने पास

$$\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .$$

एकवचन उपाय

लेबेस्ग अपघटन प्रमेय के लिए, प्रत्येक σ-परिमित माप को एक पूर्णतया सतत माप और एक अन्य σ-सीमित माप के संबंध में एक विलक्षण माप के योग में विघटित किया जा सकता है। उन मापों के उदाहरणों के लिए एकवचन माप देखें जो पूर्णतः निरंतर नहीं हैं।

पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध

वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में पूर्णतः निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु फलन करता है

$F(x)=\mu ((-\infty ,x])$

एक पूर्णतः निरंतर वास्तविक फलन है। अधिक आम तौर पर, एक फलन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतर पर) पूर्णतः निरंतर अगर और केवल अगर इसका वितरण व्युत्पन्न एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में पूर्णतः निरंतर है।

यदि पूर्ण निरंतरता बनी रहती है तो μ का रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एफ के व्युत्पन्न के लगभग हर जगह बराबर होता है। अधिक आम तौर पर, माप μ को स्थानीय रूप से परिमित (परिमित के बजाय) माना जाता है और F(x) को μ((0,x]) के रूप में परिभाषित किया जाता है x > 0, 0 के लिए x = 0, और -μ((x,0]) के लिए x < 0. इस मामले में μ Lebesgue-Stieltjes पूर्णांक है | Lebesgue-Stiltjes उपाय F द्वारा उत्पन्न किया गया है। पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध अभी भी कायम है।

संदर्भ

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Bruckner, A. M.; Bruckner, J. B.; Thomson, B. S. (1997), Real Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-134-58886-X
• Fichtenholz, Grigorii (1923). "Note sur les fonctions absolument continues". Matematicheskii Sbornik. 31 (2): 286–295.
• Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA
• Nielsen, Ole A. (1997), An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, H.L. (1988), Real Analysis (third ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

बाहरी संबंध

• Absolute continuity at Encyclopedia of Mathematics
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl