अनुप्रस्थतः समदैशिक

लंबी तरंग दैर्ध्य पर तलछटी चट्टानों में अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी देखी जाती है। प्रत्येक परत में लगभग समान गुण होते हैं, लेकिन अलग-अलग गुण मोटाई के माध्यम से होते हैं। प्रत्येक परत का तल आइसोट्रॉपी का तल है और ऊर्ध्वाधर अक्ष सममिति का अक्ष है।

एक ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री भौतिक गुणों वाली एक है जो एक अक्ष के बारे में समरूपता है जो आइसोट्रॉपी के एक विमान के लिए सामान्य है। इस अनुप्रस्थ तल में समरूपता के अनंत तल हैं और इस प्रकार, इस तल के भीतर, भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं। इसलिए, ऐसी सामग्रियों को ध्रुवीय अनिसोट्रोपिक सामग्री के रूप में भी जाना जाता है। भूभौतिकी में, लंबवत अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी (VTI) को रेडियल एनिसोट्रॉपिक के रूप में भी जाना जाता है।

इस प्रकार की सामग्री हेक्सागोनल समरूपता प्रदर्शित करती है (हालांकि तकनीकी रूप से यह रैंक 6 और उच्चतर के टेंसरों के लिए सही नहीं है), इसलिए (चौथे-रैंक) लोच टेंसर में स्वतंत्र स्थिरांक की संख्या 5 तक कम हो जाती है (कुल 21 स्वतंत्र से) पूरी तरह से अनिसोट्रॉपी ठोस के मामले में स्थिरांक)। विद्युत प्रतिरोधकता, पारगम्यता आदि के (दूसरे दर्जे के) टेंसरों में दो स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं।

ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री का उदाहरण

एक ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक लोचदार सामग्री।

ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री का एक उदाहरण तथाकथित ऑन-एक्सिस यूनिडायरेक्शनल फाइबर कम्पोजिट लैमिना है जहां फाइबर क्रॉस सेक्शन में गोलाकार होते हैं। एक यूनिडायरेक्शनल सम्मिश्र में, फाइबर दिशा के सामान्य विमान को उत्तेजना के लंबे तरंग दैर्ध्य (कम आवृत्तियों) पर आइसोट्रोपिक विमान के रूप में माना जा सकता है। दाईं ओर की आकृति में, तंतुओं को के साथ संरेखित किया जाएगा $x_{2}$ अक्ष, जो आइसोट्रॉपी के तल के लिए सामान्य है।

प्रभावी गुणों के संदर्भ में, चट्टानों की भूवैज्ञानिक परतों को अक्सर ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। पेट्रोलॉजी में ऐसी परतों के प्रभावी लोचदार गुणों की गणना बैकस अपस्केलिंग को गढ़ा गया है, जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

सामग्री समरूपता मैट्रिक्स

सामग्री मैट्रिक्स ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ किसी दिए गए ऑर्थोगोनल परिवर्तन के संबंध में एक समरूपता है ( ${\boldsymbol {A}}$ ) यदि यह उस परिवर्तन के अधीन होने पर नहीं बदलता है। इस तरह के परिवर्तन के तहत भौतिक गुणों के प्रतिलोम के लिए हमें आवश्यकता होती है

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

इसलिए सामग्री समरूपता की स्थिति है (ऑर्थोगोनल परिवर्तन की परिभाषा का उपयोग करके)

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

ऑर्थोगोनल परिवर्तनों को कार्टेशियन निर्देशांक में ए द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है $3\times 3$ आव्यूह ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ द्वारा दिए गए

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

इसलिए, समरूपता की स्थिति को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

ट्रांसवर्सली आइसोटोपिक सामग्री के लिए, मैट्रिक्स ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ रूप है

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.

जहां $x_{3}$ -अक्ष सममिति का अक्ष है। भौतिक मैट्रिक्स किसी भी कोण से रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय रहता है $\theta$ के बारे में $x_{3}$ -एक्सिस।

भौतिकी में

भौतिकी में रेखीय सामग्री के संवैधानिक संबंधों को रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

कहाँ $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाले दो वैक्टर हैं और ${\boldsymbol {K}}$ एक दूसरे क्रम की सामग्री टेन्सर है। मैट्रिक्स रूप में,

{\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

उपरोक्त टेम्प्लेट में फिट होने वाली शारीरिक समस्याओं के उदाहरण नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।^[1]

Problem	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
Electrical conduction	Electric current $\mathbf {J}$	Electric field $\mathbf {E}$	Electrical conductivity ${\boldsymbol {\sigma }}$
Dielectrics	Electrical displacement $\mathbf {D}$	Electric field $\mathbf {E}$	Electric permittivity ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
Magnetism	Magnetic induction $\mathbf {B}$	Magnetic field $\mathbf {H}$	Magnetic permeability ${\boldsymbol {\mu }}$
Thermal conduction	Heat flux $\mathbf {q}$	Temperature gradient $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	Thermal conductivity ${\boldsymbol {\kappa }}$
Diffusion	Particle flux $\mathbf {J}$	Concentration gradient $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	Diffusivity ${\boldsymbol {D}}$
Flow in porous media	Weighted fluid velocity $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	Pressure gradient ${\boldsymbol {\nabla }}P$	Fluid permeability ${\boldsymbol {\kappa }}$
Elasticity	Stress ${\boldsymbol {\sigma }}$	Strain ${\boldsymbol {\varepsilon }}$	Stiffness $\mathbf {C}$

का उपयोग करते हुए $\theta =\pi$ में ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ मैट्रिक्स का तात्पर्य है $K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0$ . का उपयोग करते हुए $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ ओर जाता है $K_{11}=K_{22}$ और $K_{12}=-K_{21}$ . ऊर्जा प्रतिबंधों की आमतौर पर आवश्यकता होती है $K_{12},K_{21}\geq 0$ और इसलिए हमारे पास होना चाहिए $K_{12}=K_{21}=0$ . इसलिए, ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री के भौतिक गुणों को मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया गया है

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

रैखिक लोच में

भौतिक समरूपता के लिए शर्त

रैखिक लोच में, तनाव (भौतिकी) और अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत हुक के नियम से संबंधित हैं, अर्थात

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

या, वायगट नोटेशन का उपयोग करके,

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

रैखिक लोचदार सामग्री में भौतिक समरूपता की स्थिति है।^[2]

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}

कहाँ

\underline{\underline{A_{ε}}} = [\begin{matrix} A_{11}^{2} & A_{12}^{2} & A_{13}^{2} & A_{12} A_{13} & A_{11} A_{13} & A_{11} A_{12} \\ A_{21}^{2} & A_{22}^{2} & A_{23}^{2} & A_{22} A_{23} & A_{21} A_{23} & A_{21} A_{22} \\ A_{31}^{2} & A_{32}^{2} & A_{33}^{2} & A_{32} A_{33} & A_{31} A_{33} & A_{31} A_{32} \\ 2 A_{21} A_{31} & 2 A_{22} A_{32} & 2 A_{23} A_{33} & A_{22} A_{33} + A_{23} A_{32} & A_{21} A_{33} + A_{23} A_{31} & A_{21} A_{32} + A_{22} A_{31} \\ 2 A_{11} A_{31} & 2 A_{12} A_{32} & 2 A_{13} A_{33} & A_{12} A_{33} + A_{13} A_{32} & A_{11} A_{33} + A_{13} A_{31} & A_{11} A_{32} + A_{12} A_{31} \\ 2 A_{} \end{matrix}

लोच टेंसर

के विशिष्ट मूल्यों का उपयोग करना

\theta

मैट्रिक्स में

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

,^[3] यह दिखाया जा सकता है कि चौथी रैंक लोच कठोरता टेन्सर को 2-इंडेक्स लीनियर इलास्टिसिटी#अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया में मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.

लोच कठोरता मैट्रिक्स $C_{ij}$ 5 स्वतंत्र स्थिरांक हैं, जो निम्नलिखित तरीके से प्रसिद्ध इंजीनियरिंग लोचदार मापांक से संबंधित हैं। ये इंजीनियरिंग मॉड्यूल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए गए हैं।

अनुपालन मैट्रिक्स (लोचदार कठोरता मैट्रिक्स का व्युत्क्रम) है

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}

कहाँ $\Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]$ . इंजीनियरिंग नोटेशन में,

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}

अनुपालन मैट्रिक्स के इन दो रूपों की तुलना करने से हमें पता चलता है कि अनुदैर्ध्य यंग का मापांक किसके द्वारा दिया गया है

E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})

इसी प्रकार, अनुप्रस्थ यंग का मापांक है

E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})

इनप्लेन अपरूपण मापांक है

G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}

और ध्रुवीय अक्ष के साथ लोड करने के लिए प्वासों का अनुपात है

\nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})

.

यहाँ, L अनुदैर्ध्य (ध्रुवीय) दिशा का प्रतिनिधित्व करता है और T अनुप्रस्थ दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।

भूभौतिकी में

भूभौतिकी में, एक आम धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक लोच #अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया (ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक) हैं; यह भूभौतिकीय रुचि का सबसे सरल मामला है। बैकस अपस्केलिंग^[4]लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित मीडिया के प्रभावी ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक लोचदार स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए अक्सर उपयोग किया जाता है।

बैकस सन्निकटन में किए गए अनुमान हैं:

सभी सामग्री रैखिक रूप से लोचदार हैं
आंतरिक ऊर्जा अपव्यय का कोई स्रोत नहीं (जैसे घर्षण)
अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में मान्य, इसलिए अच्छे परिणाम तभी मिलते हैं जब परत की मोटाई तरंग दैर्ध्य से बहुत कम हो
परत लोचदार गुणों के वितरण के आँकड़े स्थिर हैं, अर्थात इन गुणों में कोई सहसंबद्ध प्रवृत्ति नहीं है।

कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों के व्यवहार को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक मीडिया तीन प्रकार की लोचदार समतल तरंगों का समर्थन करता है:

एक अर्ध-पी लहर (ध्रुवीकरण (तरंगें) दिशा लगभग प्रसार दिशा के बराबर)
एक अर्ध-एस तरंग
एक एस-वेव (ध्रुवीकृत ऑर्थोगोनल अर्ध-एस तरंग के लिए, समरूपता अक्ष के लिए, और प्रसार की दिशा में)।

फूरियर विश्लेषण का उपयोग करते हुए, इन समतल तरंगों से ऐसे मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान का निर्माण किया जा सकता है।

बैकस अपस्केलिंग (लंबी तरंग दैर्ध्य सन्निकटन)

सजातीय और आइसोट्रोपिक सामग्री का एक स्तरित मॉडल, बैकस द्वारा प्रस्तावित अनुप्रस्थ आइसोट्रोपिक माध्यम में बढ़ाया जा सकता है।^[4] बैकस ने एक समतुल्य माध्यम सिद्धांत प्रस्तुत किया, एक विषम माध्यम को एक सजातीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो वास्तविक माध्यम में तरंग प्रसार की भविष्यवाणी करता है।^[5] बैकस ने दिखाया कि तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत बेहतर पैमाने पर लेयरिंग का प्रभाव पड़ता है और कई आइसोट्रोपिक परतों को एक सजातीय ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक माध्यम से बदला जा सकता है जो अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में स्थिर भार के तहत वास्तविक माध्यम के समान ही व्यवहार करता है। .

यदि प्रत्येक परत $i$ 5 ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक मापदंडों द्वारा वर्णित है $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$ , मैट्रिक्स निर्दिष्ट करना

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}

प्रभावी माध्यम के लिए प्रत्यास्थता गुणांक होगा

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}

कहाँ

{\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}

$\langle \cdot \rangle$ सभी परतों पर आयतन भारित औसत दर्शाता है।

इसमें आइसोट्रोपिक परतें शामिल हैं, क्योंकि परत आइसोट्रोपिक है यदि $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$ , $a_{i}=c_{i}$ और $d_{i}=e_{i}$ .

लघु और मध्यम तरंग दैर्ध्य सन्निकटन

रैखिक लोचदार ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-पी लहर, अर्ध एस-लहर, और एस-लहर ध्रुवीकृत ऑर्थोगोनल को अर्ध एस-लहर के लिए सुपरपोज़िंग समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है। हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से जटिल हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण के कार्य हैं $\theta$ हैं।^[6] सामग्री के माध्यम से लोचदार तरंगों के लिए दिशा निर्भर सिग्नल वेग रैखिक लोच का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है^[7]

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}

कहाँ ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, $\rho$ द्रव्यमान घनत्व है और $C_{ij}$ रैखिक लोच # अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।

थॉमसन पैरामीटर

थॉमसन पैरामीटर^[8] लोचदार मोडुली के आयाम रहित संयोजन हैं जो ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्रियों की विशेषता रखते हैं, जिनका सामना किया जाता है, उदाहरण के लिए, भूभौतिकी में। लोचदार हुक के नियम के घटकों के संदर्भ में # मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (कठोरता टेन्सर), इन मापदंडों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}

जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है ( $\mathbf {e} _{3}$ ) . संबद्ध पी तरंग और एस तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग कमजोर अनिसोट्रोपिक, स्तरित मीडिया के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से बहुत कम हैं।

नाम ह्यूस्टन विश्वविद्यालय में भूभौतिकी के प्रोफेसर लियोन थॉमसन को संदर्भित करता है, जिन्होंने अपने 1986 के पेपर कमजोर इलास्टिक अनिसोट्रॉपी में इन मापदंडों का प्रस्ताव रखा था।

तरंग वेगों के लिए सरलीकृत भाव

भूभौतिकी में लोचदार गुणों में अनिसोट्रॉपी आमतौर पर कमजोर होती है, इस मामले में $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$ . जब उपरोक्त तरंग वेगों के सटीक भावों को इन छोटी मात्राओं में रेखीयकृत किया जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}

कहाँ

V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}

समरूपता के अक्ष की दिशा में P और S तरंग वेग हैं ( $\mathbf {e} _{3}$ ) (भूभौतिकी में, यह आमतौर पर, लेकिन हमेशा नहीं, लंबवत दिशा होती है)। ध्यान दें कि $\delta$ आगे और रैखिक किया जा सकता है, लेकिन इससे और सरलीकरण नहीं होता है।

तरंग वेगों के लिए अनुमानित भाव भौतिक रूप से व्याख्या करने के लिए काफी सरल हैं, और अधिकांश भूभौतिकीय अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त रूप से सटीक हैं। ये अभिव्यक्तियाँ कुछ संदर्भों में भी उपयोगी होती हैं जहाँ अनिसोट्रॉपी कमजोर नहीं होती है।

यह भी देखें

हुक का नियम
रैखिक लोच
ऑर्थोट्रोपिक सामग्री

संदर्भ

↑ Milton, G. W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge University Press.
↑ Slawinski, M. A. (2010). लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें (PDF). World Scientific. Archived from the original (PDF) on 2009-02-10.
↑ We can use the values $\theta =\pi$ and $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials. Specific values are chosen to make the calculation easier.
↑ ^4.0 ^4.1 Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
↑ Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12
↑ Nye, J. F. (2000). Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.
↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4
↑ Thomsen, Leon (1986). "कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी". Geophysics. 51 (10): 1954–1966. Bibcode:1986Geop...51.1954T. doi:10.1190/1.1442051.

[Milton-1] Milton, G. W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge University Press.

[Slawinski-2] Slawinski, M. A. (2010). लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें (PDF). World Scientific. Archived from the original (PDF) on 2009-02-10.

[note1-3] We can use the values $\theta =\pi$ and $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials. Specific values are chosen to make the calculation easier.

[Backus-4] 4.0 ^4.1 Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440

[5] Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12

[6] Nye, J. F. (2000). Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.

[7] G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

[T86-8] Thomsen, Leon (1986). "कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी". Geophysics. 51 (10): 1954–1966. Bibcode:1986Geop...51.1954T. doi:10.1190/1.1442051.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t e Topics in continuum mechanics
Divisions	Solid mechanics Fluid mechanics Acoustics Vibrations Rigid body dynamics
Laws and Definitions	Laws Conservation of mass Conservation of momentum Navier-Stokes Bernoulli Poiseuille Archimedes Pascal Conservation of energy Entropy inequality Definitions Stress Cauchy stress Stress measures Deformation Small strain Antiplane shear Large strain Compatibility
Solid and Structural mechanics	Solids Elasticity linear Hooke's law Transverse isotropy Orthotropy hyperelasticity Membrane elasticity Equation of state Hugoniot JWL hypoelasticity Cauchy elasticity Viscoelasticity Creep Concrete creep Plasticity Rock mass plasticity Viscoplasticity Yield criterion Bresler-Pister Contact mechanics Frictionless Frictional Material failure theory Drucker stability Material failure theory Fatigue Fracture mechanics J-integral Compact tension specimen Damage mechanics Johnson-Holmquist Structures Bending Bending moment Bending of plates Sandwich theory
Fluid mechanics	Fluids Fluid statics Fluid dynamics Navier–Stokes equations Bernoulli's principle Poiseuille equation Buoyancy Viscosity Newtonian Non-Newtonian Archimedes' principle Pascal's law Pressure Liquids Surface tension Capillary action Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Gay-Lussac's law Combined gas law Plasma
Acoustics	Acoustic theory Aeroacoustics
Rheology	Viscoelasticity Smart fluids Magnetorheological Electrorheological Ferrofluids Rheometry Rheometer
Scientists	Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes
Awards	Eringen Medal William Prager Medal

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ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री का उदाहरण

सामग्री समरूपता मैट्रिक्स

भौतिकी में