Fisher–Snedecor
Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters
d 1 , d 2 > 0 deg. of freedom Support
x ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in (0,+\infty )\;} d 1 = 1 {\displaystyle d_{1}=1} x ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in [0,+\infty )\;} PDF
( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!} CDF
I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)} Mean
d 2 d 2 − 2 {\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!} d 2 > 2 Mode
d 1 − 2 d 1 d 2 d 2 + 2 {\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}} d 1 > 2 Variance
2 d 2 2 ( d 1 + d 2 − 2 ) d 1 ( d 2 − 2 ) 2 ( d 2 − 4 ) {\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!} d 2 > 4 Skewness
( 2 d 1 + d 2 − 2 ) 8 ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 6 ) d 1 ( d 1 + d 2 − 2 ) {\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!} d 2 > 6 Ex. kurtosis
see text Entropy
ln Γ ( d 1 2 ) + ln Γ ( d 2 2 ) − ln Γ ( d 1 + d 2 2 ) + {\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!} ( 1 − d 1 2 ) ψ ( 1 + d 1 2 ) − ( 1 + d 2 2 ) ψ ( 1 + d 2 2 ) {\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!} + ( d 1 + d 2 2 ) ψ ( d 1 + d 2 2 ) + ln d 1 d 2 {\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!} [1] MGF
does not exist, raw moments defined in text and in [2] [3] CF
see text
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एफ -वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के एफ वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण (रोनाल्ड फिशर और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।[2] [3] [4] [5]
परिभाषा d 1 और d 2 के साथ एफ-वितरण स्वतंत्रता की डिग्री का वितरण है
X = S 1 / d 1 S 2 / d 2 {\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}} जहां S 1 {\textstyle S_{1}} S 2 {\textstyle S_{2}} d 1 {\textstyle d_{1}} d 2 {\textstyle d_{2}} ची-वर्ग वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।
यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि X के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है
f ( x ; d 1 , d 2 ) = ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) = 1 B ( d 1 2 , d 2 2 ) ( d 1 d 2 ) d 1 / 2 x d 1 / 2 − 1 ( 1 + d 1 d 2 x ) − ( d 1 + d 2 ) / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}} वास्तविक संख्या x > 0 के लिए यहाँ B {\displaystyle \mathrm {B} } d 1 और d 2 सकारात्मक पूर्णांक हैं, लेकिन वितरण इन प्राचल के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।
संचयी वितरण फलन है
F ( x ; d 1 , d 2 ) = I d 1 x / ( d 1 x + d 2 ) ( d 1 2 , d 2 2 ) , {\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),} जहां I नियमित अपूर्ण बीटा फलन है।
F(d 1 , d 2 )) के बारे में अपेक्षा, प्रसरण और अन्य विवरण साइडबॉक्स में दिए गए हैं; d 2 > 8 के लिए, अतिरिक्त ककुदता है
γ 2 = 12 d 1 ( 5 d 2 − 22 ) ( d 1 + d 2 − 2 ) + ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 2 ) 2 d 1 ( d 2 − 6 ) ( d 2 − 8 ) ( d 1 + d 2 − 2 ) . {\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.} F(d 1 , d 2 ) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d2 और यह समान है
μ X ( k ) = ( d 2 d 1 ) k Γ ( d 1 2 + k ) Γ ( d 1 2 ) Γ ( d 2 2 − k ) Γ ( d 2 2 ) . {\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.} [6] एफ-वितरण बीटा प्रमुख वितरण का एक विशेष प्राचलीकरण है, जिसे दूसरी तरह का बीटा वितरण भी कहा जाता है।
विशेषता फलन कई मानक संदर्भों (जैसे) में अशुद्ध रूप से सूचीबद्ध है।[3] [7]
φ d 1 , d 2 F ( s ) = Γ ( d 1 + d 2 2 ) Γ ( d 2 2 ) U ( d 1 2 , 1 − d 2 2 , − d 2 d 1 ı s ) {\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)} जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का संगमी हाइपरज्यामितीय फलन है।
अभिलक्षण प्राचल d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} यादृच्छिक चर दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:[8]
X = U 1 / d 1 U 2 / d 2 {\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}} जहाँ
U 1 {\displaystyle U_{1}} U 2 {\displaystyle U_{2}} d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} U 1 {\displaystyle U_{1}} U 2 {\displaystyle U_{2}} स्वतंत्र हैं।ऐसे उदाहरणों में जहां एफ-वितरण का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए प्रसरण विश्लेषण, कोचरन के प्रमेय को आवेदन करके U 1 {\displaystyle U_{1}} U 2 {\displaystyle U_{2}}
समतुल्य रूप से, एफ-वितरण का यादृच्छिक चर भी लिखा जा सकता है
X = s 1 2 σ 1 2 ÷ s 2 2 σ 2 2 , {\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},} जहाँ s 1 2 = S 1 2 d 1 {\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}} s 2 2 = S 2 2 d 2 {\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}} S 1 2 {\displaystyle S_{1}^{2}} N ( 0 , σ 1 2 ) {\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})} d 1 {\displaystyle d_{1}} S 2 2 {\displaystyle S_{2}^{2}} N ( 0 , σ 2 2 ) {\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})} d 2 {\displaystyle d_{2}}
फ़्रीक्वेंटिस्ट संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता p ( s 1 2 / s 2 2 ∣ σ 1 2 , σ 2 2 ) {\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})} σ 1 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}} σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{2}^{2}}
यदि σ 1 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}} σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{2}^{2}} X {\displaystyle X} [9] p ( σ 2 2 / σ 1 2 ∣ s 1 2 , s 2 2 ) {\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})} s 1 2 {\displaystyle s_{1}^{2}} s 2 2 {\displaystyle s_{2}^{2}}
गुण और संबंधित वितरण अगर X ∼ χ d 1 2 {\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}} Y ∼ χ d 2 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}} स्वतंत्र हैं, तो X / d 1 Y / d 2 ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
अगर X k ∼ Γ ( α k , β k ) {\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,} गामा वितरण ) स्वतंत्र हैं, तो α 2 β 1 X 1 α 1 β 2 X 2 ∼ F ( 2 α 1 , 2 α 2 ) {\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}
अगर X ∼ Beta ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)} बीटा वितरण ) तो d 2 X d 1 ( 1 − X ) ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}
समान रूप से, यदि X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} d 1 X / d 2 1 + d 1 X / d 2 ∼ Beta ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}
अगर X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} d 1 d 2 X {\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X} d 1 d 2 X ∼ β ′ ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
अगर X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} Y = lim d 2 → ∞ d 1 X {\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X} χ d 1 2 {\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}
F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle F(d_{1},d_{2})} d 2 d 1 ( d 1 + d 2 − 1 ) T 2 ( d 1 , d 1 + d 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)} अगर X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} X − 1 ∼ F ( d 2 , d 1 ) {\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}
अगर X ∼ t ( n ) {\displaystyle X\sim t_{(n)}} X 2 ∼ F ( 1 , n ) X − 2 ∼ F ( n , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}
एफ-वितरण प्ररूप 6 पियर्सन वितरण का एक विशेष प्रकरण है
अगर X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X , Y ∼ {\displaystyle X,Y\sim } Laplace(μ, b) के साथ | X − μ | | Y − μ | ∼ F ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}
अगर X ∼ F ( n , m ) {\displaystyle X\sim F(n,m)} log X 2 ∼ FisherZ ( n , m ) {\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}
अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}
दोगुना अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि λ 1 = λ 2 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}
अगर Q X ( p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)} X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} p है और Q Y ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)} Y ∼ F ( d 2 , d 1 ) {\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})} 1 − p {\displaystyle 1-p} Q X ( p ) = 1 Q Y ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}}
एफ-वितरण अनुपात वितरण का एक उदाहरण है यह भी देखें
बीटा प्राइम वितरण
ची वर्ग वितरण
चाउ परीक्षण गामा वितरण
होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
विशार्ट वितरण संशोधित अर्ध-सामान्य वितरण [10] ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} f ( x ) = 2 β α 2 x α − 1 exp ( − β x 2 + γ x ) Ψ ( α 2 , γ β ) {\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}} Ψ ( α , z ) = 1 Ψ 1 ( ( α , 1 2 ) ( 1 , 0 ) ; z ) {\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)} फॉक्स-राइट साई फलन को दर्शाता है।
संदर्भ
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बाहरी संबंध 
