फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल

गणित में, फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल एक द्वि आधारी संक्रिया है जो दो आव्यूह (गणित) लेता है और एक अदिश (गणित) देता है। इसे प्रायः $\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$ निरूपित किया जाता है। संक्रिया दो आव्यूहों का एक घटक-वार आंतरिक उत्पाद है जैसे कि वे सदिश हों, और एक आंतरिक उत्पाद के लिए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। दो आव्यूहों का आयाम समान होना चाहिए - पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या, परन्तु वर्ग आव्यूह तक ही सीमित नहीं है।

परिभाषा

दो जटिल संख्या-मानित n × m आव्यूह 'A' और 'B' को स्पष्ट रूप से

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$

के रूप में लिखा गया है, फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद को

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right)$

के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां शिरोपंक्ति जटिल संयुग्मी को दर्शाता है, और $\dagger$ संयुग्म संक्रमण को दर्शाता है। स्पष्ट रूप से यह राशि

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}$ है

गणना बिंदु उत्पाद के समान ही है, जो बदले में आंतरिक उत्पाद का एक उदाहरण है।

अन्य उत्पादों से संबंध

यदि A और B प्रत्येक वास्तविक संख्या-मानित आव्यूह हैं, तो फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद हैडमार्ड उत्पाद (आव्यूह) की प्रविष्टियों का योग है। यदि आव्यूह सदिशीकृत (गणित) हैं (अर्थात, स्तंभ सदिश में परिवर्तित, $\mathrm {vec} (\cdot )$ द्वारा निरूपित) , तो

$\mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,$$\quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}$

इसलिए

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.$

गुण

यह चार जटिल-मानित आव्यूहों A, B, C, D, और दो सम्मिश्र संख्याओं a और b के लिए एक अनुक्रमिक रूप है:

$\langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$

$\langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }$

इसके अलावा, आव्यूह का आदान-प्रदान जटिल संयुग्मन के लिए होता है:

$\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}$

उसी आव्यूह के लिए,

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0$,

और,

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0}$।

फ्रोबेनियस मानदंड

आंतरिक उत्पाद फ्रोबेनियस मानदंड को प्रेरित करता है

$\|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,.$

उदाहरण

वास्तविक-मानित आव्यूह

दो वास्तविक मानित आव्यूहों के लिए, यदि

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}$

तब

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}$

जटिल-मानित आव्यूह

दो जटिल-मानित आव्यूह के लिए, यदि

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}}$

तब

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i\end{aligned}}$

जबकि

${\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i\end{aligned}}$

स्वयं के साथAऔर स्वयं के साथ B के फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद क्रमशः हैं

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40$$\qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74$

यह भी देखें

• हैडमार्ड उत्पाद (आव्यूह)
• हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद
• क्रोनकर उत्पाद
• आव्यूह विश्लेषण
• आव्यूह गुणन
• आव्यूह मानदंड
• हिल्बर्ट स्पेस का टेंसर उत्पाद - फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल एक विशेष मामला है जहां वेक्टर स्पेस सामान्य यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद के साथ परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्पेस होते हैं।

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