सुसंगत अनुमानक

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{टी₁, टी₂, टी₃, ...} पैरामीटर θ के लिए अनुमानकों का अनुक्रम है₀, जिसका सही मान 4 है। यह क्रम सुसंगत है: अनुमानक वास्तविक मूल्य θ के पास अधिक से अधिक केंद्रित हो रहे हैं₀; साथ ही, ये अनुमानक पक्षपाती हैं। अनुक्रम का सीमित वितरण एक पतित यादृच्छिक चर है जो θ के बराबर है₀ संभाव्यता 1 के साथ।

आँकड़ों में, एक सुसंगत अनुमानक या स्पर्शोन्मुख रूप से सुसंगत अनुमानक एक अनुमानक है - एक पैरामीटर 'θ के अनुमानों की गणना के लिए एक नियम₀- संपत्ति होने के कारण उपयोग किए जाने वाले डेटा बिंदुओं की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ जाती है, अनुमानों के परिणामी क्रम में संभाव्यता में अभिसरण θ₀. इसका मतलब यह है कि अनुमानों के वितरण अनुमानित पैरामीटर के वास्तविक मूल्य के पास अधिक से अधिक केंद्रित हो जाते हैं, ताकि अनुमानक की संभावना मनमाने ढंग से θ के करीब हो₀ एक में मिल जाता है।

व्यवहार में एक नमूना आकार n के उपलब्ध नमूने के एक समारोह के रूप में एक अनुमानक का निर्माण करता है, और फिर कल्पना करता है कि डेटा एकत्र करने और नमूना विज्ञापन अनन्तता का विस्तार करने में सक्षम है। इस तरह से n द्वारा अनुक्रमित अनुमानों का एक क्रम प्राप्त होगा, और स्थिरता एक संपत्ति है जो नमूना आकार "अनंत तक बढ़ती है" के रूप में होती है। यदि अनुमानों के अनुक्रम को गणितीय रूप से संभाव्यता में वास्तविक मूल्य θ में अभिसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है₀, इसे एक सुसंगत अनुमानक कहा जाता है; अन्यथा अनुमानक को असंगत कहा जाता है।

यहाँ परिभाषित संगति को कभी-कभी कमजोर संगति के रूप में संदर्भित किया जाता है। जब हम संभाव्यता में अभिसरण को लगभग सुनिश्चित अभिसरण से प्रतिस्थापित करते हैं, तो अनुमानक को दृढ़ता से सुसंगत कहा जाता है। संगति एक अनुमानक के पूर्वाग्रह से संबंधित है; #Bias बनाम निरंतरता देखें।

परिभाषा

औपचारिक रूप से बोलते हुए, एक अनुमानक टी_nपैरामीटर के θ को 'सुसंगत' कहा जाता है, यदि यह प्रायिकता में पैरामीटर के वास्तविक मान में अभिसरण करता है:

${\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}=\theta .$

यानी अगर, सभी ε> 0 के लिए

$\lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|T_{n}-\theta |>\varepsilon {\big )}=0.$

एक अधिक कठोर परिभाषा इस तथ्य को ध्यान में रखती है कि θ वास्तव में अज्ञात है, और इस प्रकार संभाव्यता में अभिसरण इस पैरामीटर के हर संभव मान के लिए होना चाहिए। कल्पना करना {p_θ: θ ∈ Θ} वितरण का एक परिवार है (पैरामीट्रिक मॉडल), और X^θ = {X₁, X₂, … : X_i ~ p_θ} वितरण पी से एक अनंत सांख्यिकीय नमूना है_θ. माना { टी_n(एक्स^θ) } कुछ पैरामीटर g(θ) के लिए अनुमानकों का अनुक्रम हो। आमतौर पर टी_nएक नमूने के पहले n अवलोकनों पर आधारित होगा। फिर यह क्रम {टी_n} कहा जाता है (कमजोर) 'सुसंगत' अगर

${\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}(X^{\theta })=g(\theta ),\ \ {\text{for all}}\ \theta \in \Theta .$

यह परिभाषा केवल θ के बजाय जी (θ) का उपयोग करती है, क्योंकि अक्सर एक निश्चित फ़ंक्शन या अंतर्निहित पैरामीटर के उप-वेक्टर का अनुमान लगाने में रुचि होती है। अगले उदाहरण में हम मॉडल के स्थान पैरामीटर का अनुमान लगाते हैं, लेकिन पैमाने का नहीं:

उदाहरण

=== एक सामान्य यादृच्छिक चर === का नमूना माध्य

मान लीजिए कि किसी के पास स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) अवलोकनों का एक क्रम है {X₁, एक्स₂, ...} सामान्य बंटन से | सामान्य N(μ, s²) वितरण। पहले n प्रेक्षणों के आधार पर μ का अनुमान लगाने के लिए, नमूना माध्य का उपयोग किया जा सकता है: T_n= (एक्स₁ + ... + एक्स_n)/एन। यह नमूना आकार n द्वारा अनुक्रमित अनुमानकों के अनुक्रम को परिभाषित करता है।

सामान्य बंटन के गुणों से, हम इस आँकड़े का प्रतिचयन वितरण जानते हैं: T_n औसत μ और विचरण σ के साथ ही सामान्य रूप से वितरित किया जाता है²/एन. समान रूप से, $\scriptstyle (T_{n}-\mu )/(\sigma /{\sqrt {n}})$ एक मानक सामान्य वितरण है:

$\Pr \!\left[\,|T_{n}-\mu |\geq \varepsilon \,\right]=\Pr \!\left[{\frac {{\sqrt {n}}\,{\big |}T_{n}-\mu {\big |}}{\sigma }}\geq {\sqrt {n}}\varepsilon /\sigma \right]=2\left(1-\Phi \left({\frac {{\sqrt {n}}\,\varepsilon }{\sigma }}\right)\right)\to 0$

जैसा कि n अनंत की ओर जाता है, किसी निश्चित के लिए ε > 0. इसलिए, अनुक्रम टी_nनमूना माध्य जनसंख्या माध्य के लिए सुसंगत है μ (इसे याद करते हुए $\Phi$ सामान्य बंटन का संचयी बंटन फलन है)।

संगति स्थापित करना

स्पर्शोन्मुख संगति की धारणा बहुत करीब है, प्रायिकता में अभिसरण की धारणा का लगभग पर्यायवाची है। जैसे, कोई भी प्रमेय, लेम्मा, या संपत्ति जो संभाव्यता में अभिसरण स्थापित करती है, का उपयोग संगति को साबित करने के लिए किया जा सकता है। ऐसे कई उपकरण मौजूद हैं:

• परिभाषा से सीधे संगति प्रदर्शित करने के लिए असमानता का उपयोग किया जा सकता है

$\Pr \!{\big [}h(T_{n}-\theta )\geq \varepsilon {\big ]}\leq {\frac {\operatorname {E} {\big [}h(T_{n}-\theta ){\big ]}}{h(\varepsilon )}},$

फ़ंक्शन h के लिए सबसे आम विकल्प या तो निरपेक्ष मान है (जिस स्थिति में इसे मार्कोव असमानता के रूप में जाना जाता है), या द्विघात फ़ंक्शन (क्रमशः चेबीशेव की असमानता)।

• एक अन्य उपयोगी परिणाम निरंतर मानचित्रण प्रमेय है: यदि टी_nθ के लिए संगत है और g(·) बिंदु θ पर निरंतर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है, फिर g(T_n) g(θ) के लिए संगत होगा:

$T_{n}\ \xrightarrow {p} \ \theta \ \quad \Rightarrow \quad g(T_{n})\ \xrightarrow {p} \ g(\theta )$

• स्लटस्की के प्रमेय का उपयोग कई अलग-अलग अनुमानकों, या गैर-यादृच्छिक अभिसरण अनुक्रम वाले अनुमानक को संयोजित करने के लिए किया जा सकता है। अगर टी_n→<सुप स्टाइल= पोजीशन:रिलेटिव;टॉप:-.2em;लेफ्ट:-1em; >डीα, और एस_n→<सुप स्टाइल= पोजीशन:रिलेटिव;टॉप:-.2em;लेफ्ट:-1em; >pβ, फिर

${\begin{aligned}&T_{n}+S_{n}\ \xrightarrow {d} \ \alpha +\beta ,\\&T_{n}S_{n}\ \xrightarrow {d} \ \alpha \beta ,\\&T_{n}/S_{n}\ \xrightarrow {d} \ \alpha /\beta ,{\text{ provided that }}\beta \neq 0\end{aligned}}$

• यदि अनुमानक टी_nएक स्पष्ट सूत्र द्वारा दिया गया है, तो सबसे अधिक संभावना है कि सूत्र यादृच्छिक चर के योगों को नियोजित करेगा, और फिर बड़ी संख्या के नियम का उपयोग किया जा सकता है: अनुक्रम {X के लिए_n} यादृच्छिक चर और उपयुक्त परिस्थितियों में,

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(X_{i})\ \xrightarrow {p} \ \operatorname {E} [\,g(X)\,]$

• यदि अनुमानक टी_nनिहित रूप से परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए एक मान के रूप में जो निश्चित उद्देश्य समारोह को अधिकतम करता है (चरम अनुमानक देखें), फिर एक अधिक जटिल तर्क जिसमें स्टोकेस्टिक समानता शामिल है, का उपयोग किया जाना है।

पूर्वाग्रह बनाम संगति

निष्पक्ष लेकिन सुसंगत नहीं

एक अनुमानक पक्षपाती अनुमानक हो सकता है लेकिन सुसंगत नहीं। उदाहरण के लिए, एक iid नमूने के लिए {x
₁,..., x
_n} कोई टी का उपयोग कर सकता है
_n(एक्स) = एक्स
_n मतलब ई [एक्स] के अनुमानक के रूप में। ध्यान दें कि यहाँ T का नमूना वितरण
_n अंतर्निहित वितरण के समान है (किसी भी n के लिए, क्योंकि यह सभी बिंदुओं को छोड़कर अंतिम को अनदेखा करता है), इसलिए E[T
_n(X)] = E[X] और यह निष्पक्ष है, लेकिन यह किसी भी मूल्य में परिवर्तित नहीं होता है।

हालाँकि, यदि अनुमानकों का एक क्रम निष्पक्ष है और एक मूल्य में परिवर्तित हो जाता है, तो यह सुसंगत है, क्योंकि इसे सही मूल्य पर अभिसरण करना चाहिए।

पक्षपाती लेकिन सुसंगत

वैकल्पिक रूप से, एक अनुमानक पक्षपाती लेकिन सुसंगत हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि माध्य द्वारा अनुमानित किया जाता है ${1 \over n}\sum x_{i}+{1 \over n}$ यह पक्षपाती है, लेकिन जैसा $n\rightarrow \infty$, यह सही मान तक पहुँचता है, और इसलिए यह संगत है।

महत्वपूर्ण उदाहरणों में नमूना विचरण और नमूना मानक विचलन शामिल हैं। बेसेल के सुधार के बिना (यानी, नमूना आकार का उपयोग करते समय $n$ स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) के बजाय $n-1$), ये दोनों नकारात्मक रूप से पक्षपाती लेकिन सुसंगत अनुमानक हैं। सुधार के साथ, सही नमूना विचलन निष्पक्ष है, जबकि सही नमूना मानक विचलन अभी भी पक्षपाती है, लेकिन कम है, और दोनों अभी भी सुसंगत हैं: नमूना आकार बढ़ने पर सुधार कारक 1 में परिवर्तित हो जाता है।

यहाँ एक और उदाहरण है। होने देना $T_{n}$ के लिए अनुमानकों का एक क्रम हो $\theta$.

$\Pr(T_{n})={\begin{cases}1-1/n,&{\mbox{if }}\,T_{n}=\theta \\1/n,&{\mbox{if }}\,T_{n}=n\delta +\theta \end{cases}}$

हम देख सकते हैं कि $T_{n}\xrightarrow {p} \theta$, $\operatorname {E} [T_{n}]=\theta +\delta$, और पूर्वाग्रह शून्य में परिवर्तित नहीं होता है।

यह भी देखें

• कुशल अनुमानक
• फिशर की संगति - वैकल्पिक, हालांकि अनुमान लगाने वालों के लिए कंसिस्टेंसी की अवधारणा का शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है
• प्रतिगमन कमजोर पड़ना
• सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण
• वाद्य चर अनुमान

संदर्भ

• Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Harvard University Press. ISBN 0-674-00560-0.
• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98502-6.
• Newey, W. K.; McFadden, D. (1994). "Chapter 36: Large sample estimation and hypothesis testing". In Robert F. Engle; Daniel L. McFadden (eds.). Handbook of Econometrics. Vol. 4. Elsevier Science. ISBN 0-444-88766-0. S2CID 29436457.
• Nikulin, M. S. (2001) [1994], "Consistent estimator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sober, E. (1988), "Likelihood and convergence", Philosophy of Science, 55 (2): 228–237, doi:10.1086/289429.

बाहरी संबंध

• Econometrics lecture (topic: unbiased vs. consistent) on YouTube by Mark Thoma