ब्लॉक आव्यूह

गणित में, खंड आव्यूह या विभाजित आव्यूह एक ऐसा आव्यूह होता है जिसे खंड या उपआव्यूहो नामक खंडों में विभाजित किया जाता है। खंड आव्यूह के रूप में व्याख्या किए गए आव्यूह को क्षैतिज और लंबवत रेखाओं के संग्रह के साथ मूल आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है, जो इसे छोटे आव्यूह के संग्रह में विभाजित करता है, या इसे विभाजित करता है। किसी भी आव्यूह को खंड आव्यूह के रूप में एक या अधिक विधियों से व्याख्या किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्याख्या को परिभाषित किया जाता है कि इसकी पंक्तियों और स्तंभों को कैसे विभाजित किया जाता है।

इस धारणा में आव्यूह $M$ को $n$ द्वारा $m$ के लिए $n$ को एक संग्रह पंक्ति समूह मे विभाजित करके और पुनः $m$$n$ को एक संग्रह स्तंभसमूह विभाजन करके सटीक बनाया जा सकता है मूल आव्यूह को तब इन समूहों के स्तंभ के रूप में माना जाता है, इस अर्थ में कि मूल आव्यूह $(i,j)$ प्रविष्टि 1-से -1 विधि से कुछ $(s,t)$ ऑफसेट प्रविष्टि $(x,y)$ के समान है , जहाँ पंक्ति समूह और.खंड आव्यूह बीजगणित सामान्य रूप से आव्यूहो की श्रेणी में द्विउत्पाद से उत्पन्न होता है।

उदाहरण

12×12, 12×24, 24×12, और 24×24 सब-आव्यूहो के साथ एक 168×168 एलिमेंटखंड आव्यूह गैर-शून्य तत्व नीले रंग में हैं, शून्य तत्व भूरा हैं।

आव्यूह

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}$

को चार 2×2 खंडों में विभाजित किया जा सकता है

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.$

तब इसे विभाजित आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

खंड आव्यूह गुणन

एक खंड विभाजित आव्यूह उत्पाद का उपयोग करना संभव है जिसमें कारकों के उपआव्यूहो पर मात्र बीजगणित सम्मिलित है। यद्यपि कारकों का विभाजन यादृच्छिक नहीं है, और इसके लिए अनुकूल आव्यूह विभाजन की आवश्यकता होती है जैसे कि दो आव्यूह $A$ और $B$ के मध्य उपयोग किए जाने वाले सभी उप आव्यूह उत्पादों को परिभाषित किया गया है।

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

और $\mathbf {A}$ $(p\times n)$ आव्यूह $\mathbf {B}$ साथ $s$ पंक्ति विभाजन और $r$ स्तंभ विभाजन

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},$

जो विभाजन के साथ संगत हैं, $A$ आव्यूह उत्पाद

$\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B}$

उपज, खंडवार किया जा सकता है $\mathbf {C}$ के रूप में $(m\times n)$ साथ आव्यूह $q$ पंक्ति विभाजन और $r$ स्तंभ विभाजन परिणामी आव्यूह में आव्यूह $\mathbf {C}$ गुणा करके गणना की जाती है:

$\mathbf {C} _{qr}=\sum _{i=1}^{s}\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.$

या,आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, जो पुनरावर्तित किए गए सूचकांकों पर स्पष्ट रूप से योग करता है:

$\mathbf {C} _{qr}=\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.$

विपरीत खंड आव्यूह

See also: हेल्मर्ट-वुल्फ ब्लॉकिंग

यदि एक आव्यूह को चार खंडों में विभाजित किया गया है, तो यह आव्यूह विपरीत हो सकता है, विपरीत खंड वार इस प्रकार है:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},$

जहां ए और डी यादृच्छिक आकार के वर्गखंड हैं, और बी और सी विभाजन के लिए उनके साथ अनुरूप आव्यूह हैं। इसके अतिरिक्त, ए और शूर पी में ए के पूरक हैं: P/A = D − CA⁻¹B विपरीत होना चाहिए। समतुल्य रूप से, खंडों को अनुमति देकर:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.$

यहां, डी और शूर पी में डी के पूरक हैं: P/D = A − BD⁻¹C विपरीत होना चाहिए।

यदि A और D दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो:

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.$

वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन पहचान के अनुसार,खंड -विकर्ण आव्यूह में दो आव्यूहो में से एक वास्तव में विपरीत होता है।

खंड आव्यूह निर्धारक

ए के निर्धारक के लिए सूत्र $2\times 2$ ऊपर -आव्यूह चार उपआव्यूह से बने आव्यूह के लिए उपयुक्त आगे की धारणाओं के अंतर्गत जारी है $A,B,C,D$. सबसे सरल ऐसा सूत्र है, जिसे लाइबनिज सूत्र या शूर पूरक से जुड़े गुणनखंड का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है,

$\det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.$

यदि $A$ विपरीत आव्यूह है (और इसी तरह यदि $D$ विपरीत है), किसी के पास

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).$

यदि $D$ एक है $1\times 1$-आव्यूह, यह सरल करता है $\det(A)(D-CA^{-1}B)$.

यदिखंड समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं तो आगे के सूत्र मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि $C$ और $D$ क्रमविनिमेयता (यानी, $CD=DC$), तब

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).$

से अधिक से बने आव्यूहों के लिए इस सूत्र का सामान्यीकरण किया गया है $2\times 2$खंड , अलग-अलगखंड ो के मध्य फिर से उपयुक्त कम्यूटेटिविटी स्थितियों के अंतर्गत । के लिए $A=D$ और $B=C$, निम्न सूत्र धारण करता है (भले ही $A$ और $B$ आवागमन न करें)

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).$

खंड विकर्ण आव्यूहो

खंड विकर्ण आव्यूह एक खंड आव्यूह है जो एक स्क्वायर आव्यूह है जैसे कि मुख्य-विकर्ण खंड वर्ग आव्यूह हैं और सभी बंद -विकर्ण खंड शून्य आव्यूह हैं। अर्थात्, एक खंड विकर्ण आव्यूह A का रूप है

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}$

जहाँ एक_k सभी k = 1, ..., n के लिए वर्ग आव्यूह है। दूसरे शब्दों में, आव्यूह 'ए' 'ए' के ​​आव्यूह का सीधा योग है₁, ..., ए_n. इसे ए के रूप में भी दर्शाया जा सकता है₁⊕ ए₂⊕ ... ⊕ ए_n या डायग (ए₁, ए₂, ..., ए_n)  (बाद वाला वही औपचारिकता है जो विकर्ण आव्यूह के लिए उपयोग किया जाता है)। किसी भी वर्ग आव्यूह को मात्र एक खंड के साथ खंड विकर्ण आव्यूह माना जा सकता है।

निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के लिए, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं

${\begin{aligned}\det \mathbf {A} &=\det \mathbf {A} _{1}\times \cdots \times \det \mathbf {A} _{n},\\\operatorname {tr} \mathbf {A} &=\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.\end{aligned}}$

एक खंड विकर्ण आव्यूह व्युत्क्रमणीय है यदि इसके प्रत्येक मुख्य-विकर्ण खंड व्युत्क्रमणीय हैं, और इस विषयो में इसका व्युत्क्रम एक अन्य खंड विकर्ण आव्यूह द्वारा दिया गया है

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{bmatrix}}.$

के eigenvalues ​​​​और eigenvectors $\mathbf {A}$ बस उन्हीं में से हैं $\mathbf {A} _{k}$एस संयुक्त।

त्रिविकर्णिक आव्यूहो को खंड करें

एक खंड त्रिविकर्णिक आव्यूह अन्य विशेष खंड आव्यूह है, जो खंड विकर्ण आव्यूह की तरह एक वर्ग आव्यूह है, जिसमें निचले विकर्ण, मुख्य विकर्ण और ऊपरी विकर्ण में वर्ग आव्यूह खंड होते हैं, अन्य सभी खंड शून्य आव्यूह होते हैं। यह अनिवार्य रूप से एक त्रिकोणीय आव्यूह है, लेकिन स्केलर के स्थानों में उपआव्यूह हैं। एक खंड त्रिविकर्णिक आव्यूह A का रूप है

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&\mathbf {0} \\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\\mathbf {0} &&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}$

जहाँ एक_k, बी_k और सी_k क्रमशः निचले, मुख्य और ऊपरी विकर्ण के वर्ग उप-आव्यूह हैं।

अभियांत्रिकी समस्याओं के संख्यात्मक समाधान (जैसे, कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी) में खंड त्रिविकर्णिक आव्यूहो का प्रायः सामना किया जाता है। एलयू गुणन के लिए अनुकूलित संख्यात्मक विधि उपलब्ध हैं और इसलिए गुणांक आव्यूह के रूप में एक खंड त्रिविकर्णिक आव्यूहो के साथ समीकरण प्रणालियों के लिए कुशल समाधान कलन विधि त्रिविकर्णिक आव्यूह को सम्मिलित करने वाले समीकरण प्रणालियों के कुशल समाधान के लिए उपयोग किए जाने वाले थॉमस कलन विधि को त्रिविकर्णिक आव्यूहो को खंड करने के लिए आव्यूह संक्रियाओ का उपयोग करके भी लागू किया जा सकता है (खंड एलयू अपघटन भी देखें)।

खंड टोप्लिट्ज आव्यूह

एक खंड टोप्लिट्ज आव्यूह एक अन्य विशेषखंड आव्यूह है, जिसमें ऐसे खंड होते हैं जो आव्यूह के विकर्णों के नीचे पुनरावर्तित किए जाते हैं, क्योंकि टोप्लिट्ज आव्यूह में विकर्ण के नीचे दोहराए गए तत्व होते हैं।

एक खंड टोप्लिट्ज आव्यूह A का रूप है

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.$

खंड खिसकाना

खंड आव्यूहो के लिए आव्यूह ट्रांज़ोज़ का एक विशेष रूप भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां अलग-अलगखंड ों को फिर से व्यवस्थित किया जाता है लेकिन स्थानांतरित नहीं किया जाता है। होने देना $A=(B_{ij})$ एक हो $k\times l$खंड आव्यूह के साथ $m\times n$ ब्लाकों $B_{ij}$, काखंड स्थानान्तरण $A$ है $l\times k$खंड आव्यूह $A^{\mathcal {B}}$ साथ $m\times n$ ब्लाकों $\left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}$. पारंपरिक ट्रेस ऑपरेटर के साथ,खंड ट्रांज़ोज़ एक रेखीय मानचित्रण है जैसे कि $(A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}$. यद्यपि , सामान्य तौर पर संपत्ति $(AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}$ केखंड जब तक पकड़ नहीं है $A$ और $C$ आना-जाना।

प्रत्यक्ष योग

See also: Matrix addition § Direct sum

किसी भी यादृच्छिक आव्यूह A (आकार m ×n) और B (आकार p × q) के लिए, हमारे पास A और B का प्रत्यक्ष योग है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है ए$\oplus$बी और के रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$

उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

यह संक्रिया स्वाभाविक रूप से यादृच्छिक आयामी सरणियों के लिए सामान्यीकृत करता है (बशर्ते ए और बी में समान संख्या में आयाम हों)।

ध्यान दें कि आव्यूह के दो वेक्टर रिक्त स्थान के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग में किसी भी तत्व को दो आव्यूह के प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

रेखीय बीजगणित के संदर्भ में, एक खंड आव्यूह का उपयोग आधार सदिशों के संबंधित 'बंच' के संदर्भ में एक रेखीय मानचित्रण के विचार से मेल खाता है। वह फिर से डोमेन और श्रेणी के विशिष्ट प्रत्यक्ष योग अपघटन के विचार से मेल खाता है। यदि खंड शून्य आव्यूह है तो यह विशेष रूप से सदैव महत्वपूर्ण होता है; जो उस जानकारी को वहन करता है जो एक मानचित्र सारांश एक उप-योग में करता है।

रैखिक मानचित्रण और प्रत्यक्ष योग के माध्यम से व्याख्या को देखते हुए, एक विशेष प्रकार का खंड आव्यूह होता है जो वर्ग आव्यूहो (केस m = n) के लिए होता है। उन लोगों के लिए हम एक एन-डायमेंशनल स्पेस वी के एंडोमोर्फिज्म के रूप में एक व्याख्या मान सकते हैं; खंड संरचना जिसमें पंक्तियों और स्तंभों का बंचिंग समान है, महत्वपूर्ण है क्योंकि यह V (दो के बजाय) पर एकल प्रत्यक्ष योग अपघटन से मेल खाती है। उस मामले में, उदाहरण के लिए, स्पष्ट अर्थों में विकर्ण खंड सभी वर्ग हैं। जॉर्डन के सामान्य रूप का वर्णन करने के लिए इस प्रकार की संरचना की आवश्यकता होती है।

इस तकनीक का उपयोग वीएलएसआई चिप डिजाइन सहित आव्यूहो , कॉलम-पंक्ति विस्तार और कई कंप्यूटर विज्ञान अनुप्रयोगों की गणना में कटौती करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण तेज आव्यूह गुणन के लिए सड़क एल्गोरिथ्म है, साथ ही डेटा प्रसारण में त्रुटि का पता लगाने और पुनर्प्राप्ति के लिए हैमिंग (7,4) एन्कोडिंग है।

तकनीक का उपयोग वहां भी किया जा सकता है जहां ए, बी, सी और डी आव्यूह के तत्वों को उनके तत्वों के लिए समान क्षेत्र की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, आव्यूह ए जटिल संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है, जबकि आव्यूह डी वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है। यह एक आव्यूहो के भीतर संचालन को सरल करते हुए, आव्यूहो से जुड़े वैध संचालन को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, यदि डी में केवल वास्तविक तत्व हैं, तो इसके व्युत्क्रम को खोजने में जटिल तत्वों पर विचार करने की तुलना में कम गणना होती है। लेकिन वास्तविक जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र है (आगे इसे एक प्रक्षेपण माना जा सकता है), इसलिए आव्यूहो संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• क्रोनकर उत्पाद (आव्यूह प्रत्यक्ष उत्पाद जिसके परिणामस्वरूपखंड आव्यूह होता है)

संदर्भ

• Strang, Gilbert (1999). "Lecture 3: Multiplication and inverse matrices". MIT Open Course ware. 18:30–21:10.