समय-निर्भर सदिश क्षेत्र

गणित में, समय पर निर्भर सदिश क्षेत्र सदिश कलन में एक निर्माण है जो सदिश क्षेत्रों की अवधारणा को सामान्य करता है। इसे एक सदिश क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जो समय बीतने के साथ चलता है। समय के हर पल के लिए, यह एक सदिश (ज्यामितीय) को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में या कई गुना में हर बिंदु से जोड़ता है।

परिभाषा

कई गुना 'एम' पर एक समय पर निर्भर वेक्टर क्षेत्र एक खुले उपसमुच्चय से एक नक्शा है $\Omega \subset \mathbb {R} \times M$ पर $TM$

${\begin{aligned}X:\Omega \subset \mathbb {R} \times M&\longrightarrow TM\\(t,x)&\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M\end{aligned}}$

ऐसा कि प्रत्येक के लिए $(t,x)\in \Omega$, $X_{t}(x)$ का एक तत्व है $T_{x}M$.

हरएक के लिए $t\in \mathbb {R}$ ऐसा सेट

$\Omega _{t}=\{x\in M\mid (t,x)\in \Omega \}\subset M$

खाली नहीं है, $X_{t}$ खुले सेट पर परिभाषित सामान्य अर्थों में एक सदिश क्षेत्र है $\Omega _{t}\subset M$.

एसोसिएटेड डिफरेंशियल इक्वेशन

कई गुना M पर एक समय पर निर्भर सदिश क्षेत्र X को देखते हुए, हम इसे निम्नलिखित अंतर समीकरण से जोड़ सकते हैं:

${\frac {dx}{dt}}=X(t,x)$

जिसे परिभाषा के अनुसार स्वायत्त प्रणाली (गणित) कहा जाता है।

इंटीग्रल कर्व

उपरोक्त समीकरण का एक अभिन्न वक्र (जिसे एक्स का एक अभिन्न वक्र भी कहा जाता है) एक मानचित्र है

$\alpha :I\subset \mathbb {R} \longrightarrow M$

ऐसा है कि $\forall t_{0}\in I$, $(t_{0},\alpha (t_{0}))$ एक्स और की परिभाषा के डोमेन का एक तत्व है

${\frac {d\alpha }{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{0}}=X(t_{0},\alpha (t_{0}))$.

समय-स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्रों के साथ समानता

एक समय पर निर्भर वेक्टर क्षेत्र $X$ पर $M$ सदिश क्षेत्र के रूप में सोचा जा सकता है ${\tilde {X}}$ पर $\mathbb {R} \times M,$ कहाँ ${\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)$ पर निर्भर नहीं है $t.$ इसके विपरीत, समय-निर्भर वेक्टर क्षेत्र से जुड़ा हुआ है $X$ पर $M$ एक समय-स्वतंत्र है ${\tilde {X}}$

$\mathbb {R} \times M\ni (t,p)\mapsto {\dfrac {\partial }{\partial t}}{\Biggl |}_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)$

पर $\mathbb {R} \times M.$ निर्देशांक में,

${\tilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).$

के लिए स्वायत्त अंतर समीकरणों की प्रणाली ${\tilde {X}}$ के लिए गैर-स्वायत्त लोगों के बराबर है $X,$ और $x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})$ के अभिन्न वक्रों के समुच्चयों के बीच एक आक्षेप है $X$ और ${\tilde {X}},$ क्रमश।

प्रवाह

एक समय पर निर्भर सदिश क्षेत्र X का प्रवाह (गणित), अद्वितीय अलग करने योग्य नक्शा है

$F:D(X)\subset \mathbb {R} \times \Omega \longrightarrow M$

ऐसा कि प्रत्येक के लिए $(t_{0},x)\in \Omega$,

$t\longrightarrow F(t,t_{0},x)$

अभिन्न वक्र है $\alpha$ X का जो संतुष्ट करता है $\alpha (t_{0})=x$.

गुण

हम परिभाषित करते हैं $F_{t,s}$ जैसा $F_{t,s}(p)=F(t,s,p)$

1. अगर $(t_{1},t_{0},p)\in D(X)$ और $(t_{2},t_{1},F_{t_{1},t_{0}}(p))\in D(X)$ तब $F_{t_{2},t_{1}}\circ F_{t_{1},t_{0}}(p)=F_{t_{2},t_{0}}(p)$
2. $\forall t,s$, $F_{t,s}$ उलटा कार्य के साथ एक भिन्नता है $F_{s,t}$.

अनुप्रयोग

बता दें कि X और Y सुचारू समय पर निर्भर वेक्टर क्षेत्र हैं और $F$ एक्स का प्रवाह। निम्नलिखित पहचान सिद्ध की जा सकती है:

${\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}Y_{t}\right)\right)_{p}$

इसके अलावा, हम समय पर निर्भर टेंसर क्षेत्रों को एक समान तरीके से परिभाषित कर सकते हैं, और यह मानते हुए समान पहचान साबित कर सकते हैं $\eta$ एक सहज समय पर निर्भर टेंसर क्षेत्र है:

${\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta _{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left({\mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}\eta _{t_{1}}+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}\eta _{t}\right)\right)_{p}$

यह अंतिम सर्वसमिका डार्बौक्स प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोगी है।

संदर्भ

• Lee, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3. Graduate-level textbook on smooth manifolds.