फर्मी ऊर्जा

फर्मी ऊर्जा क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है जो आमतौर पर पूर्ण शून्य तापमान पर गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों की क्वांटम प्रणाली में उच्चतम और निम्नतम कब्जे वाले एकल-कण राज्यों के बीच ऊर्जा अंतर का जिक्र करती है। एक फर्मी गैस में, सबसे कम व्याप्त अवस्था को शून्य गतिज ऊर्जा के लिए लिया जाता है, जबकि एक धातु में, सबसे कम व्याप्त अवस्था को आमतौर पर चालन बैंड के निचले भाग के रूप में लिया जाता है।

फर्मी ऊर्जा शब्द का प्रयोग अक्सर एक अलग लेकिन निकट से संबंधित अवधारणा को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, फर्मी स्तर | फर्मी स्तर (जिसे इलेक्ट्रोकेमिकल क्षमता भी कहा जाता है)। फर्मी स्तर और फर्मी ऊर्जा के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैं, कम से कम जैसा कि वे इस लेख में उपयोग किए गए हैं:

• फर्मी ऊर्जा को केवल पूर्ण शून्य पर परिभाषित किया जाता है, जबकि फर्मी स्तर को किसी भी तापमान के लिए परिभाषित किया जाता है।
• फर्मी ऊर्जा एक ऊर्जा अंतर है (आमतौर पर एक गतिज ऊर्जा के अनुरूप), जबकि फर्मी स्तर गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा सहित कुल ऊर्जा स्तर है।
• फर्मी ऊर्जा को केवल फर्मी गैस के लिए परिभाषित किया जा सकता है। गैर-अंतःक्रियात्मक फ़र्मियन (जहां संभावित ऊर्जा या बैंड एज एक स्थिर, अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा है), जबकि थर्मोडायनामिक संतुलन में फर्मी स्तर जटिल अंतःक्रियात्मक प्रणालियों में भी अच्छी तरह से परिभाषित रहता है।

चूँकि पूर्ण शून्य पर किसी धातु में फर्मी स्तर उच्चतम व्याप्त एकल कण अवस्था की ऊर्जा है, तो किसी धातु में फर्मी ऊर्जा शून्य-तापमान पर फर्मी स्तर और सबसे कम व्याप्त एकल-कण अवस्था के बीच ऊर्जा का अंतर है।

संदर्भ

Main article: Fermi gas

क्वांटम यांत्रिकी में, कणों का एक समूह जिसे फर्मिऑन के रूप में जाना जाता है (उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं। यह बताता है कि दो फ़र्मियन एक ही कितना राज्य पर कब्जा नहीं कर सकते हैं। चूंकि एकल-कण स्थिर अवस्थाओं के संदर्भ में एक आदर्श गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मी गैस का विश्लेषण किया जा सकता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि दो फ़र्मियन एक ही स्थिर अवस्था में नहीं रह सकते। ये स्थिर राज्य आमतौर पर ऊर्जा में भिन्न होंगे। पूरे सिस्टम की जमीनी स्थिति का पता लगाने के लिए, हम एक खाली सिस्टम से शुरू करते हैं, और एक समय में कणों को जोड़ते हैं, सबसे कम ऊर्जा वाले खाली स्थिर राज्यों को लगातार भरते हैं। जब सभी कणों को अंदर डाल दिया जाता है, तो फर्मी ऊर्जा सबसे अधिक व्याप्त अवस्था की गतिज ऊर्जा होती है।

परिणामस्वरूप, भले ही हमने एक फर्मी गैस से पूर्ण शून्य तापमान तक ठंडा करके सभी संभव ऊर्जा निकाल ली हो, फिर भी फ़र्मियन उच्च गति से घूम रहे हैं। सबसे तेज़ चलने वाले गतिज ऊर्जा के अनुरूप फर्मी ऊर्जा के बराबर गति से आगे बढ़ रहे हैं। इस गति को फर्मी वेग के रूप में जाना जाता है। केवल जब तापमान संबंधित फर्मी तापमान से अधिक हो जाता है, तो कण परम शून्य की तुलना में काफी तेजी से चलना शुरू करते हैं।

धातुओं और अतिचालकों की ठोस अवस्था भौतिकी में फर्मी ऊर्जा एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। सुपरफ्लुइड्स की भौतिकी में भी यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण मात्रा है जैसे निम्न तापमान हीलियम (सामान्य और सुपरफ्लूड दोनों) ³He), और यह परमाणु भौतिकी के लिए और गुरुत्वीय पतन के विरुद्ध व्हाइट द्वार्फ की स्थिरता को समझने के लिए काफी महत्वपूर्ण है।

सूत्र और विशिष्ट मान

समान कणों के एक गैर-अंतःक्रियात्मक पहनावा के लिए फर्मी ऊर्जा स्पिन-1/2|स्पिन-1⁄2 त्रि-आयामी (गैर-विशेष सापेक्षता) प्रणाली में फ़र्मियन द्वारा दिया जाता है

$$E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},$$

जहाँ N कणों की संख्या है, m₀ प्रत्येक फ़र्मियन का शेष द्रव्यमान, सिस्टम का V आयतन, और $\hbar$ कम प्लैंक स्थिरांक।

धातु

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के तहत, धातु में इलेक्ट्रॉनों को फर्मी गैस बनाने के लिए माना जा सकता है। संख्या घनत्व $N/V$ धातुओं में चालन इलेक्ट्रॉनों की सीमा लगभग 10 के बीच होती है²⁸ और 10²⁹ इलेक्ट्रॉन/एम³, जो साधारण ठोस पदार्थ में परमाणुओं का विशिष्ट घनत्व भी है। यह संख्या घनत्व 2 से 10 इलेक्ट्रॉन वोल्ट के क्रम की फर्मी ऊर्जा उत्पन्न करता है।

सफेद बौने

सफेद बौनों के रूप में जाने जाने वाले तारों का द्रव्यमान सूर्य के बराबर होता है, लेकिन इसकी त्रिज्या का लगभग सौवां हिस्सा होता है। उच्च घनत्व का मतलब है कि इलेक्ट्रॉन अब एकल नाभिक से बंधे नहीं हैं और इसके बजाय एक पतित इलेक्ट्रॉन गैस बनाते हैं। उनकी फर्मी ऊर्जा लगभग 0.3 MeV है।

न्यूक्लियॉन

एक अन्य विशिष्ट उदाहरण एक परमाणु के नाभिक में न्यूक्लियंस का है। परमाणु आकार विचलन को स्वीकार करता है, इसलिए फर्मी ऊर्जा के लिए एक विशिष्ट मान आमतौर पर 38 MeV के रूप में दिया जाता है।

संबंधित मात्राएँ

ऊपर की इस परिभाषा का उपयोग फर्मी ऊर्जा के लिए, विभिन्न संबंधित मात्राएँ उपयोगी हो सकती हैं।

फर्मी तापमान के रूप में परिभाषित किया गया है

$$T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}}},$$

कहाँ $k_{\text{B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $E_{\text{F}}$ फर्मी ऊर्जा। फर्मी तापमान को उस तापमान के रूप में माना जा सकता है जिस पर थर्मल प्रभाव फर्मी आंकड़ों से जुड़े क्वांटम प्रभावों के बराबर होते हैं। धातु के लिए फर्मी तापमान कमरे के तापमान के ऊपर परिमाण के कुछ आदेश हैं।

इस संदर्भ में परिभाषित अन्य मात्राएं फर्मी संवेग हैं

$$p_{\text{F}}={\sqrt {2m_{0}E_{\text{F}}}}$$

और फर्मी वेग

$$v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}}{m_{0}}}.$$

ये मात्राएँ क्रमशः फर्मी सतह पर एक फर्मियन का संवेग और समूह वेग हैं।

फर्मी संवेग को इस रूप में भी वर्णित किया जा सकता है

$$p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},$$

कहाँ $k_{\text{F}}$, जिसे फर्मी वेववेक्टर कहा जाता है, फर्मी गोले की त्रिज्या है। इन मात्राओं को उन मामलों में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है जहां फर्मी सतह गैर-गोलाकार है।

यह भी देखें

• फर्मी-डिराक आँकड़े: गैर-शून्य तापमान पर गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों के लिए स्थिर अवस्थाओं पर इलेक्ट्रॉनों का वितरण।
• फर्मी स्तर
• अर्ध फर्मी स्तर

अग्रिम पठन

• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company. ISBN 978-0-7167-1088-2.