सापेक्ष परिवर्तन और अंतर

किसी भी परिमाणात्मक विज्ञान में, सापेक्ष परिवर्तन और सापेक्ष अंतर शब्दों का उपयोग दो मात्राओं की तुलना करने के लिए किया जाता है, जबकि तुलना की जा रही चीजों के आकार को ध्यान में रखते हुए, अर्थात एक मानक या संदर्भ या प्रारंभिक द्वारा विभाजित किया जाता है। ' कीमत। तुलना को अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है और यह एक इकाई रहित संख्या है। इन अनुपातों को 100 से गुणा करके उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इसलिए प्रतिशत परिवर्तन, प्रतिशत (आयु) अंतर, या सापेक्ष प्रतिशत अंतर भी आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। शब्द परिवर्तन और अंतर का परस्पर उपयोग किया जाता है। सापेक्ष परिवर्तन का उपयोग अक्सर गुणवत्ता आश्वासन और बार-बार माप के लिए गुणवत्ता नियंत्रण के मात्रात्मक संकेतक के रूप में किया जाता है जहां परिणाम समान होने की उम्मीद होती है। प्रतिशत परिवर्तन का एक विशेष मामला (सापेक्ष परिवर्तन प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया) प्रतिशत त्रुटि कहा जाता है, उन स्थितियों को मापने में होता है जहां संदर्भ मूल्य स्वीकृत या वास्तविक मूल्य (शायद सैद्धांतिक रूप से निर्धारित) होता है और इसकी तुलना में मूल्य प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित होता है (माप द्वारा) .

सापेक्ष परिवर्तन सूत्र कई परिस्थितियों में अच्छा व्यवहार नहीं करता है और विभिन्न वैकल्पिक सूत्र, जिन्हें सापेक्ष अंतर के संकेतक कहा जाता है, साहित्य में प्रस्तावित किए गए हैं। कई लेखकों ने लॉग परिवर्तन और 'लॉग पॉइंट्स' को संतोषजनक संकेतक पाया है, लेकिन इनका व्यापक उपयोग नहीं देखा गया है।

परिभाषा

दो संख्यात्मक मात्राएँ दी गई हैं, x और y, y के संदर्भ मान के साथ (एक सैद्धांतिक/वास्तविक/सही/स्वीकृत/इष्टतम/प्रारंभिक, आदि मान), उनका वास्तविक परिवर्तन, वास्तविक अंतर, या पूर्ण परिवर्तन Δ = x − y. निरपेक्ष अंतर शब्द का प्रयोग कभी-कभी तब भी किया जाता है जब निरपेक्ष मान नहीं लिया जाता है; Delta_(letter)|Δ का चिह्न आमतौर पर एकसमान होता है, उदा. एक बढ़ती हुई डेटा श्रृंखला में। यदि संदर्भ मूल्य के संबंध में मूल्य का संबंध (यानी, बड़ा या छोटा) किसी विशेष अनुप्रयोग में मायने नहीं रखता है, तो उपरोक्त सूत्र में वास्तविक परिवर्तन के स्थान पर पूर्ण मूल्य का उपयोग किया जा सकता है ताकि मूल्य का उत्पादन किया जा सके। सापेक्ष परिवर्तन जो हमेशा गैर-नकारात्मक होता है। वास्तविक अंतर आमतौर पर संख्याओं की तुलना करने का एक अच्छा तरीका नहीं है, क्योंकि यह माप की इकाई पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 1 मीटर 100 सेंटीमीटर के बराबर है, लेकिन 2 मीटर और 1 मीटर के बीच का पूर्ण अंतर 1 है, जबकि 200 सेमी और 100 सेमी के बीच का पूर्ण अंतर 100 है, जो एक बड़े अंतर का आभास देता है। x के धनात्मक मानों को परिभाषित करके, शामिल मात्राओं के आकार को ध्यान में रखते हुए हम तुलना को समायोजित कर सकते हैं_reference:

$${\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{x_{\text{reference}}}}={\frac {\Delta }{x_{\text{reference}}}}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{x_{\text{reference}}}}.$$

सापेक्ष परिवर्तन नियोजित माप की इकाई से स्वतंत्र है; उदाहरण के लिए, 2 मीटर से 1 मीटर के सापेक्ष परिवर्तन -50% है, 200 सेमी से 100 सेमी के समान। यदि संदर्भ मान (x_reference) शून्य है, और सकारात्मक वृद्धि के लिए ऋणात्मक मान देता है यदि x_reference नकारात्मक है, इसलिए इसे आमतौर पर नकारात्मक संदर्भ मूल्यों के लिए भी परिभाषित नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम -10 डिग्री सेल्सियस से -6 डिग्री सेल्सियस तक थर्मामीटर के सापेक्ष परिवर्तन की गणना करना चाह सकते हैं। उपरोक्त सूत्र देता है ((−6) − (−10)) / (−10) = 4 / −10 = −0.4, कमी का संकेत दे रहा है, फिर भी वास्तव में पढ़ने में वृद्धि हुई है।

सापेक्ष अंतर के उपाय एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त की जाने वाली इकाई रहित संख्याएँ हैं। इन मानों को 100 से गुणा करके (और % चिह्न जोड़कर यह इंगित करने के लिए कि मान एक प्रतिशत है) प्रतिशत अंतर के संगत मान प्राप्त होंगे।

डोमेन

धनात्मक संख्याओं के सापेक्ष परिवर्तन का डोमेन प्रतिबंध अक्सर बाधा उत्पन्न करता है। इस समस्या से बचने के लिए निरपेक्ष मान लेना आम है, ताकि सापेक्ष परिवर्तन सूत्र x के सभी अशून्य मानों के लिए सही ढंग से काम करे_reference:

$${\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{|x_{\text{reference}}|}}={\frac {\Delta }{|x_{\text{reference}}|}}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{|x_{\text{reference}}|}}.$$

संदर्भ शून्य होने पर भी यह समस्या का समाधान नहीं करता है। इसके बजाय सापेक्ष अंतर के संकेतक का उपयोग करना और दोनों के पूर्ण मूल्यों को लेना आम बात है $x$ और $x_{\text{reference}}$. तब एकमात्र समस्याग्रस्त मामला है $x=x_{\text{reference}}=0$, जिसे आमतौर पर संकेतक को उचित रूप से विस्तारित करके संबोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य के लिए इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:

$$d_{r}={\frac {{\big |}|x|-|y|{\big |}}{\left({\frac {|x|+|y|}{2}}\right)}},d_{r}(0,0)=0$$

प्रतिशत त्रुटि

प्रतिशत त्रुटि प्रयोगात्मक (मापा) और सैद्धांतिक (स्वीकृत) मूल्यों के बीच पूर्ण परिवर्तन से गणना की गई सापेक्ष परिवर्तन के प्रतिशत रूप का एक विशेष मामला है, और सैद्धांतिक (स्वीकृत) मूल्य से विभाजित है।

$$\%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.$$

उपर्युक्त समीकरण में प्रयोग किए गए प्रायोगिक और सैद्धांतिक शब्दों को आमतौर पर समान शब्दों से बदल दिया जाता है। प्रायोगिक के लिए प्रयुक्त अन्य शब्द मापे जा सकते हैं, परिकलित किए जा सकते हैं या वास्तविक हो सकते हैं और सैद्धांतिक के लिए प्रयुक्त अन्य शब्द स्वीकार किए जा सकते हैं। प्रायोगिक मूल्य वह है जो गणना और/या माप के उपयोग से प्राप्त किया गया है और सैद्धांतिक मूल्य के विरुद्ध इसकी सटीकता का परीक्षण किया जा रहा है, एक मूल्य जिसे वैज्ञानिक समुदाय द्वारा स्वीकार किया जाता है या एक मूल्य जिसे एक सफल परिणाम के लिए एक लक्ष्य के रूप में देखा जा सकता है।

हालाँकि प्रतिशत त्रुटि पर चर्चा करते समय सापेक्ष परिवर्तन के निरपेक्ष मान संस्करण का उपयोग करना आम बात है, कुछ स्थितियों में, परिणाम के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करने के लिए निरपेक्ष मान निकालना लाभदायक हो सकता है। इस प्रकार, यदि एक प्रायोगिक मान सैद्धांतिक मान से कम है, तो प्रतिशत त्रुटि ऋणात्मक होगी। यह नकारात्मक परिणाम प्रायोगिक परिणाम के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, प्रयोगात्मक रूप से प्रकाश की गति की गणना करना और ऋणात्मक प्रतिशत त्रुटि के साथ आने का कहना है कि प्रायोगिक मान एक वेग है जो प्रकाश की गति से कम है। यह एक सकारात्मक प्रतिशत त्रुटि प्राप्त करने से एक बड़ा अंतर है, जिसका अर्थ है कि प्रायोगिक मूल्य एक वेग है जो प्रकाश की गति (सापेक्षता के सिद्धांत का उल्लंघन) से अधिक है और एक नया परिणाम है।

प्रतिशत त्रुटि समीकरण, जब निरपेक्ष मानों को हटाकर फिर से लिखा जाता है, बन जाता है:

$$\%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.$$

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अंश में दो मान क्रमविनिमेय नहीं हैं। इसलिए, उपरोक्त क्रम को बनाए रखना महत्वपूर्ण है: सैद्धांतिक मूल्य को प्रयोगात्मक मूल्य से घटाएं और इसके विपरीत नहीं।

प्रतिशत परिवर्तन

प्रतिशत परिवर्तन एक चर में परिवर्तन को व्यक्त करने का एक तरीका है। यह पुराने मूल्य और नए के बीच सापेक्ष परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक घर की कीमत आज 100,000 डॉलर है और इसके मूल्य के 110,000 डॉलर तक पहुंचने के एक साल बाद, इसके मूल्य का प्रतिशत परिवर्तन इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$${\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.$$

तब यह कहा जा सकता है कि घर की कीमत में 10% की वृद्धि हुई।

अधिक सामान्यतः, यदि वी₁ पुराने मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है और वी₂ नए वाला,

$${\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.$$

कुछ कैलकुलेटर सीधे a के माध्यम से इसका समर्थन करते हैं %CH या Δ% समारोह।

जब प्रश्न में चर एक प्रतिशत ही है, तो सापेक्ष अंतर और पूर्ण अंतर के बीच भ्रम से बचने के लिए प्रतिशत बिंदुओं का उपयोग करके इसके परिवर्तन के बारे में बात करना बेहतर है।

प्रतिशत के प्रतिशत का उदाहरण

यदि कोई बैंक बचत खाते पर ब्याज दर 3% से बढ़ाकर 4% कर देता है, तो यह कथन कि ब्याज दर 1% बढ़ा दी गई है, अस्पष्ट होगा। इस स्थिति में पूर्ण परिवर्तन 1 प्रतिशत बिंदु (4% - 3%) है, लेकिन ब्याज दर में सापेक्ष परिवर्तन है:

$${\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.$$

सामान्य तौर पर, प्रतिशत बिंदु (ओं) एक पूर्ण परिवर्तन या प्रतिशत के अंतर को इंगित करता है, जबकि प्रतिशत चिह्न या शब्द प्रतिशत सापेक्ष परिवर्तन या अंतर को संदर्भित करता है।

उदाहरण

तुलना

कार M की कीमत $50,000 है और कार L की कीमत $40,000 है। हम इन लागतों की तुलना करना चाहते हैं। कार L के संबंध में, पूर्ण अंतर है $10,000 = $50,000 − $40,000. यानी, कार M की कीमत कार L से $10,000 अधिक है। सापेक्ष अंतर है,

$${\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,$$

और हम कहते हैं कि कार M की कीमत कार L से 25% अधिक है। तुलना को अनुपात के रूप में व्यक्त करना भी आम है, जो इस उदाहरण में है,

$${\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,$$

और हम कहते हैं कि कार M की कीमत कार L की लागत का 125% है।

इस उदाहरण में कार एल की लागत को संदर्भ मूल्य माना गया था, लेकिन हम दूसरे तरीके से चुनाव कर सकते थे और कार एम की लागत को संदर्भ मूल्य मान सकते थे। पूर्ण अंतर अब है −$10,000 = $40,000 − $50,000 क्योंकि कार L की कीमत कार M से $10,000 कम है। सापेक्ष अंतर,

$${\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%$$

ऋणात्मक भी है क्योंकि कार L की कीमत कार M से 20% कम है। तुलना का अनुपात रूप,

$${\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%$$

का कहना है कि कार L की कीमत कार M की लागत का 80% है।

के और उससे कम/अधिक शब्दों के प्रयोग से ही अनुपातों और आपेक्षिक भिन्नताओं में भेद किया जा सकता है।