मात्रा तत्व

गणित में, एक वॉल्यूम तत्व विभिन्न समन्वय प्रणालियों जैसे गोलाकार समन्वय प्रणाली और बेलनाकार समन्वय प्रणाली में वॉल्यूम के संबंध में अभिन्न फ़ंक्शन (गणित) के लिए एक साधन प्रदान करता है। इस प्रकार एक आयतन तत्व रूप की अभिव्यक्ति है

$dV=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}$

जहां $u_{i}$ निर्देशांक हैं, ताकि किसी भी सेट का आयतन हो $B$ द्वारा गणना की जा सकती है

$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में $dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}$, इसलिए $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$.

वॉल्यूम तत्व की धारणा तीन आयामों तक सीमित नहीं है: दो आयामों में इसे अक्सर क्षेत्र तत्व के रूप में जाना जाता है, और इस सेटिंग में यह सतह के अभिन्न अंग करने के लिए उपयोगी होता है। निर्देशांक के परिवर्तन के तहत, आयतन तत्व समन्वय परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान से बदलता है (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण # एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन)। यह तथ्य वॉल्यूम तत्वों को कई गुना पर एक प्रकार के माप (गणित) के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है। एक उन्मुखता अलग करने योग्य कई गुना पर, वॉल्यूम एलिमेंट आमतौर पर वॉल्यूम फॉर्म से उत्पन्न होता है: एक टॉप डिग्री विभेदक रूप । एक गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड पर, वॉल्यूम तत्व आमतौर पर (स्थानीय रूप से परिभाषित) वॉल्यूम फॉर्म का पूर्ण मान होता है: यह एक घनत्व को कई गुना | 1-घनत्व पर परिभाषित करता है।

== यूक्लिडियन अंतरिक्ष == में वॉल्यूम तत्व यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, मात्रा तत्व कार्टेशियन निर्देशांक के अंतर के उत्पाद द्वारा दिया जाता है

$dV=dx\,dy\,dz.$

प्रपत्र के विभिन्न समन्वय प्रणालियों में $x=x(u_{1},u_{2},u_{3})$, $y=y(u_{1},u_{2},u_{3})$, $z=z(u_{1},u_{2},u_{3})$, समन्वय परिवर्तन का आयतन तत्व याकूबियन_मैट्रिक्स_और_निर्धारक (निर्धारक):

$dV=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक (गणितीय सम्मेलन) में

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}$

जैकबियन निर्धारक है

$\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi$

ताकि

$dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

इसे इस तथ्य के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है कि अंतर रूप एक पुलबैक के माध्यम से रूपांतरित होते हैं $F^{*}$ जैसा

$F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$

एक रेखीय उप-स्थान का आयतन तत्व

n-विम यूक्लिडियन समष्टि 'R' की रैखिक उपसमष्टि पर विचार करें।ⁿ जो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के संग्रह द्वारा विस्तृत है

$X_{1},\dots ,X_{k}.$

उप-स्थान के आयतन तत्व को खोजने के लिए, रैखिक बीजगणित से इस तथ्य को जानना उपयोगी है कि समांतर चतुर्भुज का आयतन $X_{i}$ के ग्रामियन मैट्रिक्स के निर्धारक का वर्गमूल है $X_{i}$:

${\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.$

उपसमष्टि में किसी भी बिंदु p को निर्देशांक दिए जा सकते हैं $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})$ ऐसा है कि

$p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.$

एक बिंदु पी पर, यदि हम पक्षों के साथ एक छोटा समांतर चतुर्भुज बनाते हैं $du_{i}$, तो उस समांतर चतुर्भुज का आयतन ग्रामियन मैट्रिक्स के निर्धारक का वर्गमूल है

${\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;du_{1}\,du_{2}\,\cdots \,du_{k}.$

इसलिए यह रेखीय उपसमष्टि में आयतन रूप को परिभाषित करता है।

कई गुना का आयतन तत्व

See also: Riemannian volume form

आयाम एन के एक उन्मुख रिमेंनियन कई गुना पर, वॉल्यूम तत्व यूनिट निरंतर फ़ंक्शन के हॉज दोहरे के बराबर मात्रा का रूप है, $f(x)=1$:

$\omega =\star 1.$

समतुल्य रूप से, आयतन तत्व ठीक लेवी-Civita टेंसर है $\epsilon$. निर्देशांक में,

$$\omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$$

कहाँ $\det g$ निर्देशांक प्रणाली में लिखे गए मीट्रिक टेंसर g का निर्धारक है।

एक सतह का क्षेत्र तत्व

एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड दो-आयामी सतह पर विचार करके वॉल्यूम तत्व का एक सरल उदाहरण खोजा जा सकता है। ऐसे आयतन तत्व को कभी-कभी क्षेत्र तत्व भी कहा जाता है। एक उपसमुच्चय पर विचार करें $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ और एक मानचित्रण समारोह

$\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$

इस प्रकार एम्बेडेड सतह को परिभाषित करना $\mathbb {R} ^{n}$. दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्रफल है, और आयतन तत्व सतह के भागों के क्षेत्रफल को निर्धारित करने का एक तरीका देता है। इस प्रकार एक आयतन तत्व रूप की अभिव्यक्ति है

$f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}$

जो किसी को अभिन्न की गणना करके सतह पर स्थित सेट बी के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है

$\operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}.$

यहाँ हम आयतन तत्व को सतह पर पाएंगे जो सामान्य अर्थों में क्षेत्र को परिभाषित करता है। मैपिंग का जैकबियन मैट्रिक्स है

$\lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}$

इंडेक्स के साथ i 1 से n तक चल रहा है, और j 1 से 2 तक चल रहा है। एन-डायमेंशनल स्पेस में यूक्लिडियन मेट्रिक (गणित) एक मेट्रिक को प्रेरित करता है $g=\lambda ^{T}\lambda$ सेट यू पर, मैट्रिक्स तत्वों के साथ

$g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.$

मीट्रिक का निर्धारक द्वारा दिया जाता है

$\det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )$

एक नियमित सतह के लिए, यह निर्धारक गैर-लुप्त होता है; समतुल्य रूप से, जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक 2 है।

अब U पर निर्देशांकों के परिवर्तन पर विचार करें, जो एक डिफियोमोर्फिज्म द्वारा दिया गया है

$f\colon U\to U,$

ताकि निर्देशांक $(u_{1},u_{2})$ के रूप में दिया गया है $(v_{1},v_{2})$ द्वारा $(u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})$. इस परिवर्तन का जैकोबियन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

$F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.$

नए निर्देशांक में, हमारे पास है

${\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}$

और इसलिए मीट्रिक रूपांतरित हो जाती है

${\tilde {g}}=F^{T}gF$

कहाँ ${\tilde {g}}$ v समन्वय प्रणाली में पुलबैक मीट्रिक है। निर्धारक है

$\det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.$

उपरोक्त निर्माण को देखते हुए, अब यह समझना सीधा होना चाहिए कि निर्देशांक के अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन के तहत आयतन तत्व कैसे अपरिवर्तनीय है।

दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्र है। एक उपसमुच्चय का क्षेत्रफल $B\subset U$ अभिन्न द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}\;du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;dv_{1}\;dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}\;dv_{2}.\end{aligned}}$

इस प्रकार, किसी भी समन्वय प्रणाली में, आयतन तत्व एक ही अभिव्यक्ति लेता है: मात्रा तत्व की अभिव्यक्ति निर्देशांक के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है।

ध्यान दें कि उपरोक्त प्रस्तुति में दो आयामों के लिए कुछ खास नहीं था; ऊपर तुच्छ रूप से मनमाना आयामों का सामान्यीकरण करता है।

उदाहरण: क्षेत्र

उदाहरण के लिए, 'R' में मूल बिंदु पर केन्द्रित r त्रिज्या वाले गोले पर विचार करें।^{3</उप>। मानचित्र के साथ गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके इसे पैरामीट्रिज किया जा सकता है}

$\phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).$

तब

$g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},$

और क्षेत्र तत्व है

$\omega ={\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,du_{1}du_{2}.$

यह भी देखें

• Cylindrical coordinate system § Line and volume elements
• Spherical coordinate system § Integration and differentiation in spherical coordinates
• भूतल अभिन्न
• आयतन अभिन्न

संदर्भ

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8