चार गति

विशेष सापेक्षता में, चार-संवेग (जिसे संवेग-ऊर्जा या मोम-ऊर्जा भी कहा जाता है ) शास्त्रीय त्रि-आयामी संवेग का चार-आयामी दिक्-काल में सामान्यीकरण है। मोमेंटम तीन आयामों में एक वेक्टर है; इसी तरह चार-मोमेंटम अंतरिक्ष समय में एक चार-वेक्टर है। आपेक्षिक ऊर्जा वाले कण का प्रतिपरिवर्ती सदिश चार-संवेग E और तीन-गति p = (p_x, p_y, p_z) = γmv, कहाँ v कण का तीन-वेग है और γ लोरेंत्ज़ कारक, है

$$p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).$$

मात्रा {{math|mv}उपरोक्त का } साधारण संवेग#एकल कण|कण का गैर-सापेक्ष संवेग है और m उसका विराम द्रव्यमान। सापेक्षतावादी गणनाओं में चार-संवेग उपयोगी है क्योंकि यह एक लोरेंत्ज़ सहसंयोजक वेक्टर है। इसका मतलब यह है कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत यह कैसे रूपांतरित होता है, इस पर नज़र रखना आसान है।

उपरोक्त परिभाषा समन्वय सम्मेलन के तहत लागू होती है x⁰ = ct. कुछ लेखक सम्मेलन का उपयोग करते हैं x⁰ = t, जो एक संशोधित परिभाषा देता है p⁰ = E/c². सहपरिवर्ती सदिश चार-संवेग को परिभाषित करना भी संभव है p_μ जहां ऊर्जा का चिन्ह (या चुने हुए मीट्रिक हस्ताक्षर के आधार पर तीन-गति का चिन्ह) उलटा हो।

मिंकोस्की मानदंड

मिन्कोवस्की स्थान की गणना करना#चार-मोमेंटम की गणितीय संरचना एक लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय मात्रा के बराबर देती है (प्रकाश की गति के कारकों तक) c) कण के उचित द्रव्यमान के वर्ग तक:

$$p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}$$

कहाँ

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

निश्चितता के लिए मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ विशेष सापेक्षता का मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) चुना जाना है (–1, 1, 1, 1). मानदंड की नकारात्मकता दर्शाती है कि संवेग विशाल कणों के लिए एक समय-समान चार-वेक्टर है। हस्ताक्षर की दूसरी पसंद कुछ सूत्रों में संकेत फ़्लिप करेगी (जैसे यहां आदर्श के लिए)। यह चुनाव महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन एक बार बना लेने के बाद इसे निरंतरता बनाए रखना चाहिए।

मिन्कोव्स्की मानदंड लोरेंत्ज़ इनवेरिएंट है, जिसका अर्थ है कि इसका मूल्य लोरेंत्ज़ परिवर्तनों/संदर्भ के विभिन्न फ़्रेमों में वृद्धि द्वारा नहीं बदला गया है। अधिक आम तौर पर, किसी भी दो चार-क्षण के लिए p और q, मात्रा p ⋅ q अपरिवर्तनीय है।

चार-वेग से संबंध

एक विशाल कण के लिए, चार-संवेग कण के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान द्वारा दिया जाता है m कण के चार-वेग से गुणा,

$$p^{\mu }=mu^{\mu },$$

जहां चार-वेग u है

$$u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),$$

और

$$\gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

लोरेंत्ज़ कारक है (गति के साथ जुड़ा हुआ है v), c प्रकाश की गति है।

व्युत्पत्ति

चार-संवेग के लिए सही व्यंजक पर पहुँचने के कई तरीके हैं। एक तरीका यह है कि पहले चार-वेग को परिभाषित किया जाए u = dx/dτ और बस परिभाषित करें p = mu, संतुष्ट होने के नाते कि यह सही इकाइयों और सही व्यवहार वाला चार-वेक्टर है। एक और, अधिक संतोषजनक, दृष्टिकोण कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के साथ शुरू करना है और ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति सहित चार-गति को प्राप्त करने के लिए लग्रांगियन यांत्रिकी का उपयोग करना है। एक बार में, नीचे दिए गए अवलोकनों का उपयोग करते हुए, क्रिया (भौतिकी) # एकल सापेक्ष कण से चार-संवेग को परिभाषित कर सकते हैं S. यह देखते हुए कि सामान्य रूप से सामान्यीकृत निर्देशांक वाले बंद सिस्टम के लिए q_i और विहित गति p_i,

$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},$$

यह तत्काल है (याद करते हुए x⁰ = ct, x¹ = x, x² = y, x³ = z और x₀ = −x⁰, x₁ = x¹, x₂ = x², x₃ = x³ वर्तमान मीट्रिक सम्मेलन में) कि

$$p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)$$

एक सहसंयोजक चार-वेक्टर है जिसमें तीन-वेक्टर भाग विहित संवेग (नकारात्मक) है।

Observations

स्वतंत्रता की एक डिग्री की शुरुआत में एक प्रणाली पर विचार करें q. हैमिल्टन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए कार्रवाई से गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति में, एक (आम तौर पर) कार्रवाई की भिन्नता की कलन के लिए एक मध्यवर्ती चरण में पाता है,

$$\delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.$$

धारणा यह है कि विविध पथ संतुष्ट करते हैं δq(t₁) = δq(t₂) = 0, जिससे Lagrange के समीकरण तुरंत अनुसरण करते हैं। जब गति के समीकरण ज्ञात होते हैं (या केवल संतुष्ट मान लिया जाता है), कोई आवश्यकता को छोड़ सकता है δq(t₂) = 0. इस मामले में गति के समीकरणों को संतुष्ट करने के लिए पथ माना जाता है, और क्रिया ऊपरी एकीकरण सीमा का एक कार्य है δq(t₂), लेकिन t₂ अभी भी तय है। उपरोक्त समीकरण बन जाता है S = S(q), और परिभाषित करना δq(t₂) = δq, और स्वतंत्रता की अधिक मात्रा में देना,

$$\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.$$

यह देखते हुए

$$\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},$$

एक ने निष्कर्ष निकाला

$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.$$

इसी तरह, एंडपॉइंट्स को स्थिर रखें, लेकिन जाने दें t₂ = t अलग होना। इस बार, सिस्टम को मनमाना गति से या अधिक या कम ऊर्जा के साथ विन्यास स्थान के माध्यम से स्थानांतरित करने की अनुमति दी जाती है, क्षेत्र समीकरणों को अभी भी धारण करने के लिए माना जाता है और भिन्नता को अभिन्न पर किया जा सकता है, लेकिन इसके बजाय निरीक्षण करें

$${\frac {dS}{dt}}=L$$

कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा। विहित संवेग के लिए उपरोक्त व्यंजक का उपयोग करके गणना करें,

$${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.$$

अब प्रयोग कर रहे हैं

$$H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,$$

कहाँ H हैमिल्टन समारोह है, जिसके बाद से होता है E = H वर्तमान मामले में,

$$E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.$$

संयोग से, का उपयोग कर H = H(q, p, t) साथ p = ∂S/∂q उपरोक्त समीकरण में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्राप्त होते हैं। इस संदर्भ में, S हैमिल्टन का मुख्य फलन कहलाता है।

---

कार्य S द्वारा दिया गया है

$$S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$$

कहाँ L एक मुक्त कण के लिए आपेक्षिकीय Lagrangian यांत्रिकी है। इस से,

glossing over these details,

क्रिया का रूपांतर है

$$\delta S=-mc\int \delta ds.$$

की गणना करना δds, पहले उसे देखें δds² = 2dsδds ओर वो

$$\delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.$$

इसलिए

$$\delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},$$

या

$$\delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,$$

और इस तरह

$$\delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau$$

जो न्यायसंगत है

$$\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds$$

---

$$\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },$$

जहां दूसरा चरण क्षेत्र समीकरणों को नियोजित करता है du^μ/ds = 0, (δx^μ)_t1 = 0, और (δx^μ)_t2 ≡ δx^μ उपरोक्त टिप्पणियों के अनुसार। अब खोजने के लिए पिछले तीन भावों की तुलना करें

$$p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),$$

आदर्श के साथ −m²c², और सापेक्षतावादी ऊर्जा के लिए प्रसिद्ध परिणाम,

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},$

कहाँ m_r विशेष सापेक्षता में अब अप्रचलित द्रव्यमान है#सापेक्षतावादी द्रव्यमान, इस प्रकार है। संवेग और ऊर्जा के भावों की सीधे तुलना करके, किसी के पास है

$\mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},$

जो द्रव्यमान रहित कणों पर भी लागू होता है। ऊर्जा और तीन-संवेग के लिए व्यंजकों का वर्ग करना और उन्हें संबंधित करना ऊर्जा-संवेग संबंध देता है,

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.$

स्थानापन्न

$$p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}$$

आदर्श के लिए समीकरण में सापेक्षवादी हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण देता है,

$\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.$

Lagrangian से सीधे परिणाम प्राप्त करना भी संभव है। परिभाषा से,

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}$$

जो एक बंद (समय-स्वतंत्र Lagrangian) प्रणाली की विहित गति और ऊर्जा के लिए मानक सूत्र बनाते हैं। इस दृष्टिकोण से यह कम स्पष्ट है कि ऊर्जा और संवेग एक चार-वेक्टर के हिस्से हैं।

Lagrangian ढांचे में पृथक प्रणालियों के लिए ऊर्जा और तीन-गति अलग-अलग संरक्षित मात्राएं हैं। इसलिए चार-मोमेंटम भी संरक्षित है। इस पर अधिक नीचे।

अधिक पैदल चलने वालों के दृष्टिकोण में इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अपेक्षित व्यवहार शामिल है। इस दृष्टिकोण में, शुरुआती बिंदु कण के बाकी फ्रेम में लोरेंत्ज़ बल कानून और न्यूटन के दूसरे कानून का अनुप्रयोग है। इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड टेन्सर के ट्रांसफ़ॉर्मेशन गुण, जिसमें बिजली का आवेश का इंवेरियन शामिल है, का उपयोग तब लैब फ्रेम में बदलने के लिए किया जाता है, और परिणामी अभिव्यक्ति (फिर से लोरेंत्ज़ बल कानून) की व्याख्या न्यूटन के दूसरे नियम की भावना से की जाती है, जिससे सही अभिव्यक्ति होती है सापेक्षवादी तीन गति के लिए। बेशक, नुकसान यह है कि यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि परिणाम सभी कणों पर लागू होता है, चाहे चार्ज किया गया हो या नहीं, और यह पूर्ण चार-वेक्टर नहीं देता है।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म से बचना भी संभव है और अच्छी तरह से प्रशिक्षित भौतिकविदों को बिलियर्ड गेंदों को फेंकने, वेग के अतिरिक्त सूत्र के ज्ञान का उपयोग करने और संवेग के संरक्षण को संभालने के लिए अच्छी तरह से प्रशिक्षित प्रयोगों का उपयोग करना संभव है। यह भी केवल तीन-सदिश भाग देता है।

चार-गति का संरक्षण

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, तीन संरक्षण कानून हैं (स्वतंत्र नहीं हैं, अंतिम दो पहले और इसके विपरीत हैं):

• चार गति p (या तो सहपरिवर्ती या प्रतिपरिवर्ती) संरक्षित है।
• कुल ऊर्जा E = p⁰c संरक्षित है।
• 3-अंतरिक्ष गति $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ संरक्षित है (क्लासिक गैर-सापेक्षतावादी गति के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $m\mathbf {v}$).

ध्यान दें कि कणों की एक प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान कणों के बाकी द्रव्यमानों के योग से अधिक हो सकता है, क्योंकि प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र में गतिज ऊर्जा और कणों के बीच बलों से संभावित ऊर्जा अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में योगदान करती है। एक उदाहरण के रूप में, चार-आवेग वाले दो कण (5 GeV/c, 4 GeV/c, 0, 0) और (5 GeV/c, −4 GeV/c, 0, 0) प्रत्येक का (आराम) द्रव्यमान 3 है जीईवी/सी² अलग से, लेकिन उनका कुल द्रव्यमान (सिस्टम द्रव्यमान) 10 है जीईवी/सी^{2</उप>। यदि ये कण आपस में टकराकर चिपक जाते हैं, तो मिश्रित वस्तु का द्रव्यमान 10 होगा जीईवी/सी2</उप>।}

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के संरक्षण के कण भौतिकी से एक व्यावहारिक अनुप्रयोग में चार-संवेग का संयोजन शामिल है p_A और p_B चार-संवेग वाले एक भारी कण के क्षय में उत्पन्न दो पुत्री कणों की p_C भारी कण का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए। चार-गति का संरक्षण देता है p_C^μ = p_A^μ + p_B^μ, जबकि द्रव्यमान {{math|M}भारी कण का } द्वारा दिया जाता है −P_C ⋅ P_C = M²c². बेटी कणों की ऊर्जा और तीन-मोमेंट को मापकर, दो-कण प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का पुनर्निर्माण किया जा सकता है, जो बराबर होना चाहिए M. इस तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, उच्च-ऊर्जा कण कोलाइडर में Z' बोसोन के लिए प्रयोगात्मक खोजों में, जहां Z' बोसोन इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन या म्यूऑन-एंटीमुऑन जोड़े के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान स्पेक्ट्रम में टक्कर के रूप में दिखाई देगा।

यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान नहीं बदलता है, तो उसके चार-संवेग और इसी चार-त्वरण का मिन्कोव्स्की आंतरिक उत्पाद A^μ बस शून्य है। चार-त्वरण कण के द्रव्यमान से विभाजित चार-संवेग के उचित समय व्युत्पन्न के समानुपाती होता है, इसलिए

$$p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.$$

एक विद्युत चुम्बकीय क्षमता की उपस्थिति में विहित संवेग

विद्युत आवेश के आवेशित कण के लिए q, विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता द्वारा दिए गए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में घूम रहा है:

$$A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)$$

कहाँ φ स्केलर क्षमता है और A = (A_x, A_y, A_z) वेक्टर क्षमता, के घटक (गेज इनवेरियन नहीं| गेज-इनवेरिएंट) कैनोनिकल मोमेंटम फोर-वेक्टर P है

$$P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.$$

यह, बदले में, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता में आवेशित कण से संभावित ऊर्जा और चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लोरेंत्ज़ बल को सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में एक कॉम्पैक्ट तरीके से शामिल करने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

• चार बल
• चार-ढाल
• पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर

संदर्भ

• Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2nd ed.). Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated from Russian by J. B. Sykes and J. S. Bell. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2000). The classical theory of fields. 4th rev. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• Lewis, G. N.; Tolman, R. C. (1909). "The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics". Phil. Mag. 6. 18 (106): 510–523. doi:10.1080/14786441008636725. Wikisource version