नियंत्रण सिद्धांत में एच-अनंत विधियाँ

एच_∞(यानी H-infinity ) विधियों का उपयोग नियंत्रण सिद्धांत में गारंटीकृत प्रदर्शन के साथ स्थिरीकरण प्राप्त करने के लिए नियंत्रकों को संश्लेषित करने के लिए किया जाता है। एच का उपयोग करने के लिए_∞ विधियों, एक नियंत्रण डिजाइनर नियंत्रण समस्या को गणितीय अनुकूलन समस्या के रूप में व्यक्त करता है और फिर इस अनुकूलन को हल करने वाले नियंत्रक को ढूंढता है। एच_∞ तकनीकों का उस एच में शास्त्रीय नियंत्रण तकनीकों पर लाभ है_∞ चैनल के बीच क्रॉस-युग्मन के साथ बहुभिन्नरूपी प्रणालियों से जुड़ी समस्याओं के लिए तकनीकें आसानी से लागू होती हैं; एच. का नुकसान_∞ तकनीकों में उन्हें सफलतापूर्वक लागू करने के लिए आवश्यक गणितीय समझ का स्तर और नियंत्रित करने के लिए प्रणाली के यथोचित अच्छे मॉडल की आवश्यकता शामिल है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि परिणामी नियंत्रक निर्धारित लागत फ़ंक्शन के संबंध में केवल इष्टतम है और नियंत्रकों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सामान्य प्रदर्शन उपायों के संदर्भ में आवश्यक रूप से सर्वोत्तम नियंत्रक का प्रतिनिधित्व नहीं करता है जैसे निपटान समय, ऊर्जा व्यय, आदि। इसके अलावा, संतृप्ति जैसे गैर-रैखिक बाधाओं को आम तौर पर अच्छी तरह से नियंत्रित नहीं किया जाता है। इन विधियों को 1970 के दशक के अंत में 1980 के दशक के प्रारंभ में नियंत्रण सिद्धांत में पेश किया गया था जॉर्ज जेम्स द्वारा (संवेदनशीलता न्यूनीकरण),जे. विलियम हेल्टन (ब्रॉडबैंड मैचिंग),और एलन टैननबौम (गेन मार्जिन ऑप्टिमाइजेशन)।

वाक्यांश एच_∞ नियंत्रण उस गणितीय स्थान के नाम से आता है जिस पर अनुकूलन होता है: एच_∞ मैट्रिक्स (गणित)-मूल्यवान कार्यों का हार्डी स्पेस है जो विश्लेषणात्मक कार्य हैं और रे (एस) > 0 द्वारा परिभाषित जटिल विमान के खुले दाएं-आधे हिस्से में बंधे हैं; एच_∞ मानदंड उस स्थान पर फ़ंक्शन का अधिकतम एकवचन मान है। (इसे किसी भी दिशा में और किसी भी आवृत्ति पर अधिकतम लाभ के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; सिंगल-इनपुट और सिंगल-आउटपुट सिस्टम के लिए, यह प्रभावी रूप से आवृत्ति प्रतिक्रिया का अधिकतम परिमाण है।) एच_∞ गड़बड़ी के बंद लूप प्रभाव को कम करने के लिए तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है: समस्या निर्माण के आधार पर, प्रभाव को या तो स्थिरीकरण या प्रदर्शन के संदर्भ में मापा जाएगा।

इसके साथ ही मजबूत प्रदर्शन और मजबूत स्थिरीकरण का अनुकूलन करना मुश्किल है। एक तरीका जो इसे प्राप्त करने के करीब आता है वह है एच-इन्फिनिटी लूप-शेपिंग | एच_∞ लूप-शेपिंग, जो कंट्रोल डिज़ाइनर को क्लासिकल लूप-शेपिंग कॉन्सेप्ट्स को मल्टीवीरिएबल फ्रीक्वेंसी रिस्पांस पर लागू करने की अनुमति देता है ताकि अच्छा मजबूत प्रदर्शन प्राप्त किया जा सके और फिर अच्छे मजबूत स्थिरीकरण को प्राप्त करने के लिए सिस्टम बैंडविड्थ के पास प्रतिक्रिया का अनुकूलन किया जा सके।

एच. का समर्थन करने के लिए व्यावसायिक सॉफ्टवेयर उपलब्ध है_∞ नियंत्रक संश्लेषण।

समस्या निर्माण

सबसे पहले, प्रक्रिया को निम्नलिखित मानक विन्यास के अनुसार दर्शाया जाना चाहिए:

प्लांट P में दो इनपुट हैं, एक्सोजेनस इनपुट w, जिसमें रेफरेंस सिग्नल और डिस्टर्बेंस शामिल हैं, और मैनिपुलेट वेरिएबल्स u। दो आउटपुट हैं, त्रुटि संकेत z जिसे हम न्यूनतम करना चाहते हैं, और मापा चर v, जिसका उपयोग हम सिस्टम को नियंत्रित करने के लिए करते हैं। v का उपयोग K में हेरफेर किए गए चर u की गणना करने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि ये सभी आम तौर पर वेक्टर (ज्यामिति) हैं, जबकि 'पी' और 'के' मैट्रिक्स (गणित) हैं।

सूत्र में, प्रणाली है:

${\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}$

$u=\mathbf {K} (s)\,v$

इसलिए w पर z की निर्भरता को व्यक्त करना संभव है:

$z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w$

निम्न रेखीय भिन्नात्मक परिवर्तन कहा जाता है, $F_{\ell }$ परिभाषित किया गया है (सबस्क्रिप्ट निम्न से आता है):

$F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}$

इसलिए, का उद्देश्य ${\mathcal {H}}_{\infty }$ नियंत्रण डिजाइन एक नियंत्रक खोजने के लिए है $\mathbf {K}$ ऐसा है कि $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ के अनुसार कम किया जाता है ${\mathcal {H}}_{\infty }$ मानदंड। पर भी यही परिभाषा लागू होती है ${\mathcal {H}}_{2}$ नियंत्रण डिजाइन। ट्रांसफर फ़ंक्शन मैट्रिक्स का अनंत मानदंड $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ परिभाषित किया जाता है:

$||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))$

कहाँ ${\bar {\sigma }}$ मैट्रिक्स का अधिकतम एकवचन मान है $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )$.

प्राप्य एच_∞ बंद लूप सिस्टम का मानदंड मुख्य रूप से मैट्रिक्स डी के माध्यम से दिया जाता है₁₁ (जब सिस्टम पी फॉर्म में दिया जाता है (ए, बी₁, बी₂, सी₁, सी₂, डी₁₁, डी₁₂, डी₂₂, डी₂₁)). एच पर आने के कई तरीके हैं_∞ नियंत्रक:

• बंद लूप का Youla-Kucera parametrization अक्सर बहुत उच्च-क्रम नियंत्रक की ओर जाता है।
• रिकाटी समीकरण-आधारित दृष्टिकोण नियंत्रक को खोजने के लिए दो रिकाटी समीकरणों को हल करते हैं, लेकिन कई सरल धारणाओं की आवश्यकता होती है।
• रिकाटी समीकरण का एक अनुकूलन-आधारित सुधार रेखीय मैट्रिक्स असमानता का उपयोग करता है और इसके लिए कम मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• हार्डी स्पेस
• एच चौक
• एच-इनफिनिटी लूप-शेपिंग
• रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण (LQG)
• रोसेनब्रॉक सिस्टम मैट्रिक्स

ग्रन्थसूची

• Barbu, V.; Sritharan, Sivaguru S. (1998), "H-infinity Control of Fluid Dynamics" (PDF), Proceedings of the Royal Society A, 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX 10.1.1.177.4397, doi:10.1098/rspa.1998.0289.

• Doyle, John; Francis, Bruce; Tannenbaum, Allen (1992), Feedback Control Theory, MacMillan.

• Green, M.; Limebeer, D. (1995), Linear Robust Control, Prentice Hall.

• Simon, Dan (2006), Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, Wiley.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (1996), Multivariable Feedback Control: Analysis and Design, Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (2005), Multivariable Feedback Control: Analysis and Design (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6.