गोल्डस्टोन बोसोन

कण भौतिकी और संघनित पदार्थ भौतिकी में, गोल्डस्टोन बोसोन या नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन (एनजीबी) ऐसे बोसोन हैं जो निरंतर समरूपता को तोड़ते हुए सहज समरूपता प्रदर्शित करने वाले मॉडल में अनिवार्य रूप से दिखाई देते हैं। वे बीसीएस सिद्धांत तंत्र के संदर्भ में कण भौतिकी में अच्छा चिरो दक्षिण द्वारा खोजे गए थे, और बाद में जेफरी गोल्डस्टोन द्वारा समझाया गया, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सामान्यीकृत। संघनित पदार्थ भौतिकी में ऐसे बोसोन quisiparticle ्स होते हैं और एंडरसन-बोगोलीबॉव मोड के रूप में जाने जाते हैं। ये स्पिन (भौतिकी) बोसॉन अनायास टूटे हुए आंतरिक समरूपता जनरेटर के अनुरूप हैं, और इनमें से क्वांटम संख्याओं की विशेषता है। वे इन जनरेटर की कार्रवाई के तहत गैर-रैखिक रूप से (शिफ्ट) बदलते हैं, और इस प्रकार इन जनरेटर द्वारा असममित वैक्यूम से बाहर निकल सकते हैं। इस प्रकार, उन्हें समूह अंतरिक्ष में टूटी समरूपता दिशाओं में क्षेत्र के उत्तेजनाओं के रूप में माना जा सकता है- और द्रव्यमान कण हैं यदि सहज रूप से टूटी हुई समरूपता स्पष्ट समरूपता तोड़ना भी नहीं है।

यदि, इसके बजाय, समरूपता सटीक नहीं है, अर्थात यदि यह स्पष्ट रूप से टूटा हुआ है और साथ ही सहज रूप से टूटा हुआ है, तो नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन द्रव्यमान रहित नहीं हैं, हालांकि वे आमतौर पर अपेक्षाकृत हल्के रहते हैं; इसके बाद उन्हें चिरल समरूपता तोड़ना|स्यूडो-गोल्डस्टोन बोसोन या स्यूडो-नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन (संक्षिप्त पीएनजीबी) कहा जाता है।

गोल्डस्टोन का प्रमेय

गोल्डस्टोन की प्रमेय एक सामान्य निरंतर समरूपता की जांच करती है जो सहज समरूपता को तोड़ती है; यानी, इसकी धाराएँ संरक्षित हैं, लेकिन संबंधित आवेशों की कार्रवाई के तहत जमीनी स्थिति अपरिवर्तनीय नहीं है। फिर, आवश्यक रूप से, नए द्रव्यमान रहित (या प्रकाश, यदि समरूपता सटीक नहीं है) अदिश क्षेत्र सिद्धांत कण संभावित उत्तेजना के स्पेक्ट्रम में दिखाई देते हैं। समरूपता के प्रत्येक जनरेटर के लिए एक अदिश कण है - जिसे नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन कहा जाता है - जो टूट गया है, अर्थात, जो जमीनी स्थिति को संरक्षित नहीं करता है। नम्बू-गोल्डस्टोन मोड संबंधित आदेश पैरामीटर का एक लंबी-तरंग दैर्ध्य उतार-चढ़ाव है।

संबंधित समरूपता-टूटे सिद्धांत के निर्वात में युग्मन में उनके विशेष गुणों के आधार पर, क्षेत्र-सैद्धांतिक आयामों में शामिल लुप्त होने वाली गति (मुलायम) गोल्डस्टोन बोसोन ऐसे आयामों को गायब कर देते हैं (एडलर शून्य)।

उदाहरण

प्राकृतिक

• तरल पदार्थों में, फ़ोनॉन अनुदैर्ध्य है और यह अनायास टूटी हुई गैलिलियन समरूपता का गोल्डस्टोन बोसोन है। ठोस पदार्थों में स्थिति अधिक जटिल होती है; गोल्डस्टोन बोसोन अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ फोनन हैं और वे गोल्डस्टोन मोड और टूटी हुई समरूपता के बीच कोई सरल एक-से-एक पत्राचार के साथ अनायास टूटे हुए गैलिलियन, ट्रांसलेशनल और घूर्णी समरूपता के गोल्डस्टोन बोसोन होते हैं।
• मैग्नेट में, मूल घूर्णी समरूपता (बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में मौजूद) अनायास टूट जाती है जैसे कि मैग्नेटाइजेशन एक विशिष्ट दिशा में इंगित करता है। गोल्डस्टोन बोसोन तो magnon हैं, यानी, स्पिन तरंगें जिसमें स्थानीय चुंबकीयकरण दिशा दोलन करती है।
• पिओन्स चिराल समरूपता तोड़ने वाले हैं। छद्म-गोल्डस्टोन बोसोन जो कि मजबूत बातचीत के कारण क्वार्क संघनन द्वारा प्रभावित क्यूसीडी के चिरल-स्वाद समरूपता के सहज टूटने से उत्पन्न होते हैं। इन समरूपताओं को क्वार्कों के द्रव्यमानों द्वारा और अधिक स्पष्ट रूप से तोड़ा जाता है ताकि pion द्रव्यमानहीन न हों, लेकिन उनका द्रव्यमान विशिष्ट हैड्रोन द्रव्यमानों की तुलना में काफी छोटा होता है।
• W और Z बोसोन के अनुदैर्ध्य ध्रुवीकरण घटक इलेक्ट्रोवीक समरूपता SU(2)⊗U(1) के अनायास टूटे हुए हिस्से के गोल्डस्टोन बोसोन के अनुरूप हैं, जो, हालांकि, देखने योग्य नहीं हैं। क्योंकि इस समरूपता का अनुमान लगाया गया है, तीन-होने वाले गोल्डस्टोन बोसोन तीन टूटे हुए जनरेटर के अनुरूप तीन गेज बोसॉन द्वारा अवशोषित किए जाते हैं; यह इन तीन गेज बोसॉनों को एक द्रव्यमान और संबंधित आवश्यक तीसरे ध्रुवीकरण की स्वतंत्रता की डिग्री देता है। यह हिग्स तंत्र के माध्यम से मानक मॉडल में वर्णित है। अतिचालकता में एक समान घटना होती है, जो नंबू के लिए प्रेरणा के मूल स्रोत के रूप में कार्य करती है, अर्थात्, फोटॉन एक गतिशील द्रव्यमान विकसित करता है (एक सुपरकंडक्टर से चुंबकीय प्रवाह बहिष्करण के रूप में व्यक्त), सीएफ। गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत।
• रिकियार्डी और उमेज़ावा ने 1967 में नाम्बू-गोल्डस्टोन बोसोन के संदर्भ में स्मृति भंडारण और पुनर्प्राप्ति के संभावित मस्तिष्क तंत्र के बारे में एक सामान्य सिद्धांत (क्वांटम ब्रेन) प्रस्तावित किया। इस सिद्धांत को बाद में 1995 में Giuseppe Vitiello द्वारा इस बात को ध्यान में रखते हुए विस्तारित किया गया था कि मस्तिष्क एक खुली प्रणाली (मस्तिष्क का विघटनकारी क्वांटम मॉडल) है। स्पॉन्टेनियस सिमिट्री ब्रेकिंग और गोल्डस्टोन के प्रमेय के जैविक प्रणालियों के अनुप्रयोगों को सामान्य रूप से ई. डेल गिउडिस, एस. डोगलिया, एम. मिलानी और जी. विटिलो द्वारा प्रकाशित किया गया है।, और ई. डेल गिउडिस, जी. प्रिपराटा और जी. विटिल्लो द्वारा। माली जिब प्रपोजल डी कंट्री ओया पॉटरी और ग्यूसेप विटिलो इन निष्कर्षों के आधार पर, चेतना के निहितार्थों पर चर्चा की।

सिद्धांत

जटिल संख्या अदिश क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करें ϕ, उस बाधा के साथ $\phi ^{*}\phi =v^{2}$, निरंतर। इस प्रकार की बाधा को लागू करने का एक तरीका इसके लैग्रैंगियन घनत्व में एक संभावित अंतःक्रिया शब्द को शामिल करना है,

$\lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,$

और सीमा के रूप में ले रहा है λ → ∞. इसे एबेलियन नॉनलाइनियर σ-मॉडल कहा जाता है। बाधा, और कार्रवाई, नीचे, यू (1) चरण परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, δϕ=iεϕ. एक वास्तविक अदिश क्षेत्र (यानी, एक स्पिन-शून्य कण) देने के लिए क्षेत्र को फिर से परिभाषित किया जा सकता है θ बिना किसी बाधा के

$\phi =ve^{i\theta }$

कहाँ θ नम्बू-गोल्डस्टोन बोसोन है (वास्तव में $v\theta$ है) और यू (1) समरूपता परिवर्तन एक बदलाव को प्रभावित करता है θ, अर्थात्

$\delta \theta =\epsilon ~,$ लेकिन जमीनी स्थिति को संरक्षित नहीं करता है |0〉 (अर्थात् उपरोक्त अतिसूक्ष्म परिवर्तन इसे नष्ट नहीं करता है - निश्चरता की पहचान), जैसा कि नीचे की धारा के आवेश में स्पष्ट है।

इस प्रकार, अनायास टूटी हुई समरूपता की क्रिया के तहत निर्वात पतित और अपरिवर्तनशील होता है।

इसी Lagrangian घनत्व द्वारा दिया गया है

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},$

और इस तरह

$={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.$

ध्यान दें कि स्थिर शब्द $m^{2}v^{2}$ Lagrangian घनत्व में कोई भौतिक महत्व नहीं है, और इसमें दूसरा शब्द द्रव्यमान रहित स्केलर के लिए गतिज शब्द है।

समरूपता-प्रेरित संरक्षित U(1) धारा है

$J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.$ आवेश, क्यू, इस वर्तमान बदलाव के परिणामस्वरूप θ और जमीनी अवस्था एक नए, पतित, जमीनी राज्य के लिए। इस प्रकार, एक वैक्यूम के साथ 〈θ〉 = 0 के साथ एक अलग वैक्यूम में शिफ्ट हो जाएगा 〈θ〉 = ε. धारा मूल निर्वात को नम्बू-गोल्डस्टोन बोसॉन अवस्था से जोड़ती है, 〈0|J₀(0)|θ〉≠ 0.

सामान्य तौर पर, कई अदिश क्षेत्रों वाले सिद्धांत में, ϕ_j, नम्बू-गोल्डस्टोन मोड ϕ_g द्रव्यमान रहित कण है, और संभव (पतित) निर्वात अवस्थाओं के वक्र को मापता है। टूटी हुई समरूपता परिवर्तन के तहत इसकी पहचान गैर-शून्य वैक्यूम अपेक्षा है 〈δϕ_g〉, गायब होने के लिए एक ऑर्डर पैरामीटर 〈ϕ_g〉 = 0, कुछ जमीनी अवस्था में |0〉 क्षमता के न्यूनतम पर चुना गया, 〈∂V/∂ϕ_i〉 = 0. सिद्धांत रूप में निर्वात न्यूनतम प्रभावी क्रिया होनी चाहिए जो क्वांटम प्रभावों को ध्यान में रखती है, हालांकि यह पहले सन्निकटन की शास्त्रीय क्षमता के बराबर है। समरूपता तय करती है कि सभी समरूपता दिशाओं में क्षेत्रों के संबंध में क्षमता के सभी रूपांतर गायब हो जाते हैं। किसी भी दिशा में पहले क्रम की भिन्नता का निर्वात मान गायब हो जाता है जैसा कि अभी देखा गया है; जबकि दूसरे क्रम की भिन्नता का निर्वात मान भी गायब हो जाना चाहिए, जैसा कि निम्नानुसार है। क्षेत्र समरूपता परिवर्तन वेतन वृद्धि के लुप्त होने वाले निर्वात मूल्यों में कोई नई जानकारी नहीं है।

इसके विपरीत, हालांकि, परिवर्तन वृद्धि की गैर-लुप्त होने वाली वैक्यूम अपेक्षाएं, 〈δϕ_g〉, द्रव्यमान मैट्रिक्स के प्रासंगिक (गोल्डस्टोन) अशक्त eigenvectors निर्दिष्ट करें,

$\left\langle {\partial ^{2}V \over \partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}\right\rangle \langle \delta \phi _{j}\rangle =0~,$

और इसलिए संबंधित शून्य-द्रव्यमान ईगेनवेल्यूज़।

गोल्डस्टोन का तर्क

गोल्डस्टोन के तर्क के पीछे सिद्धांत यह है कि जमीनी अवस्था अद्वितीय नहीं है। आम तौर पर, वर्तमान संरक्षण द्वारा, किसी भी समरूपता के लिए चार्ज ऑपरेटर समय-स्वतंत्र होता है,

${d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.$

वैक्यूम पर चार्ज ऑपरेटर के साथ कार्य करना या तो वैक्यूम को खत्म कर देता है, अगर वह सममित है; अन्यथा, यदि नहीं, जैसा कि स्वतःस्फूर्त समरूपता को तोड़ने में होता है, तो यह ऊपर दिखाए गए बदलाव परिवर्तन सुविधा के माध्यम से, इसमें से एक शून्य-आवृत्ति स्थिति उत्पन्न करता है। वास्तव में, यहाँ, आवेश ही अपरिभाषित है, cf. फैब्री-पिकासो तर्क नीचे।

लेकिन इसके बेहतर व्यवहार वाले कम्यूटेटर खेतों के साथ, यानी गैर-विलुप्त होने वाले परिवर्तन में बदलाव करते हैं 〈δϕ_g〉, फिर भी, समय-अपरिवर्तनीय हैं,

${\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,$

इस प्रकार एक पैदा कर रहा है δ(k⁰) इसके फूरियर रूपांतरण में। (यह सुनिश्चित करता है कि, एक गैर-विलुप्त होने वाले वर्तमान कम्यूटेटर में मध्यवर्ती राज्यों का एक पूरा सेट डालने से समय-विकास गायब हो सकता है, जब इनमें से एक या अधिक राज्य द्रव्यमानहीन होते हैं।)

इस प्रकार, यदि वैक्यूम समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है, तो चार्ज ऑपरेटर की क्रिया एक ऐसी स्थिति उत्पन्न करती है जो चुने गए वैक्यूम से भिन्न होती है, लेकिन जिसकी आवृत्ति शून्य होती है। यह एक क्षेत्र का एक लंबी-तरंग दैर्ध्य दोलन है जो लगभग स्थिर है: शून्य आवृत्ति वाली भौतिक अवस्थाएँ हैं, k⁰, ताकि थ्योरी में मास गैप न हो सके।

सीमा को ध्यान से लेने पर इस तर्क को और स्पष्ट किया जाता है। यदि एक अनुमानित चार्ज ऑपरेटर एक विशाल लेकिन परिमित क्षेत्र में कार्य करता है A वैक्यूम पर लागू होता है,

${d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,$

लगभग गायब होने वाले समय के व्युत्पन्न के साथ एक राज्य का उत्पादन होता है,

$\left\|{d \over dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\approx {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.$

एक गैर-विलुप्त होने वाले द्रव्यमान अंतर को मानते हुए m₀, ऊपर की तरह किसी भी राज्य की आवृत्ति, जो निर्वात के लिए ऑर्थोगोनल है, कम से कम है m₀,

$\left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.$

दे A बड़ा होना एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। फलस्वरूप m₀= 0। हालांकि यह तर्क तब विफल हो जाता है जब समरूपता का अनुमान लगाया जाता है, क्योंकि तब समरूपता जनरेटर केवल एक गेज परिवर्तन कर रहा होता है। एक गेज रूपांतरित स्थिति एक ही सटीक स्थिति है, ताकि समरूपता जनरेटर के साथ कार्य करने से एक वैक्यूम से बाहर न निकले (हिग्स तंत्र देखें)।

फैब्री-पिकासो प्रमेय। Q हिल्बर्ट स्पेस में ठीक से मौजूद नहीं है, जब तक कि Q|0〉 = 0.

तर्क वैक्यूम और चार्ज दोनों की आवश्यकता होती है Q अनुवादक रूप से अपरिवर्तनीय होने के लिए, P|0〉 = 0, [P,Q]= 0.

चार्ज के सहसंबंध समारोह पर विचार करें,

${\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}$

इसलिए दाहिने हाथ की ओर का समाकलन स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।

इस प्रकार, इसका मान कुल अंतरिक्ष आयतन के समानुपाती होता है, $\|Q|0\rangle \|^{2}=\infty$ - जब तक समरूपता अखंड न हो, Q|0〉 = 0. फलस्वरूप, Q हिल्बर्ट स्पेस में ठीक से मौजूद नहीं है।

infraparticle

प्रमेय में एक विवादास्पद बचाव का रास्ता है। यदि कोई प्रमेय को ध्यान से पढ़ता है, तो यह केवल यह बताता है कि मनमाने ढंग से छोटी ऊर्जा वाले गैर-वैक्यूम राज्य मौजूद हैं। उदाहरण के लिए एक चिराल N = 1 सुपर QCD मॉडल लें, जिसमें एक गैर-शून्य sfermion वैक्यूम अपेक्षा मान होता है जो अवरक्त में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है। चिराल समरूपता एक वैश्विक समरूपता है जो (आंशिक रूप से) अनायास टूट जाती है। इस स्वतःस्फूर्त सममिति विखंडन से जुड़े गोल्डस्टोन बोसोन में से कुछ अभंग गेज समूह के अंतर्गत चार्ज किए जाते हैं और इसलिए, इन मिश्रित कण बोसॉनों में मनमाने ढंग से छोटे द्रव्यमान के साथ एक सतत मास स्पेक्ट्रम होता है, लेकिन फिर भी बिल्कुल द्रव्यमान रहित कण के साथ कोई गोल्डस्टोन बोसोन नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, गोल्डस्टोन बोसोन इन्फ्रापार्टिकल्स हैं।

एक्सटेंशन

असापेक्ष सिद्धांत

गोल्डस्टोन के प्रमेय का एक संस्करण असापेक्ष सिद्धांतों पर भी लागू होता है। यह अनिवार्य रूप से बताता है कि, प्रत्येक अनायास टूटी हुई समरूपता के लिए, कुछ क्वासिपार्टिकल से मेल खाती है जो आमतौर पर एक बोसोन है और इसमें कोई ऊर्जा अंतर नहीं है। संघनित पदार्थ में इन गोल्डस्टोन बोसोन को गैपलेस मोड भी कहा जाता है (अर्थात वे राज्य जहां ऊर्जा फैलाव संबंध समान है $E\propto p^{n}$ और के लिए शून्य है $p=0$), द्रव्यमान रहित कणों का गैर-सापेक्ष संस्करण (अर्थात फोटॉन जहां फैलाव संबंध भी है $E=pc$ और शून्य के लिए $p=0$). ध्यान दें कि गैर-सापेक्षवादी संघनित पदार्थ के मामले में ऊर्जा है H−μN−α→⋅P→ और नहीं H जैसा कि एक सापेक्षतावादी मामले में होगा। हालांकि, दो अलग-अलग अनायास टूटे जनरेटर अब एक ही नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन को जन्म दे सकते हैं।

पहले उदाहरण के रूप में एक एंटीफेरोमैग्नेट में 2 गोल्डस्टोन बोसोन होते हैं, एक फेरोमैग्नेट में 1 गोल्डोस्टोन बोसोन होते हैं, जहां दोनों ही मामलों में हम SO(3) से SO(2) तक समरूपता तोड़ रहे हैं, एंटीफेरोमैग्नेट के लिए फैलाव है $E\propto p$ और फेरोमैग्नेट के बजाय फैलाव के लिए जमीनी स्थिति का अपेक्षित मूल्य शून्य है $E\propto p^{2}$ और जमीनी स्थिति का अपेक्षित मूल्य शून्य नहीं है, यानी जमीनी स्थिति के लिए सहज रूप से टूटी हुई समरूपता है दूसरे उदाहरण के रूप में, एक superfluid में, यू (1) कण संख्या समरूपता और गैलिलियन समरूपता दोनों अनायास टूट जाती हैं। हालाँकि, फोनन दोनों के लिए गोल्डस्टोन बोसॉन है। अभी भी समरूपता तोड़ने के संबंध में संघनित पदार्थ और हिग्स बोसोन में अंतराल रहित मोड के बीच एक करीबी सादृश्य भी है, उदा। पैरामैग्नेटिक से फेरोमैग्नेटिक चरण संक्रमण में

स्पेसटाइम समरूपता का टूटना

आंतरिक समरूपता के टूटने के मामले के विपरीत, जब अंतरिक्ष-समय की समरूपता जैसे कि लोरेंत्ज़ समरूपता, अनुरूप, घूर्णी, या अनुवाद संबंधी समरूपता टूट जाती है, तो आदेश पैरामीटर को एक अदिश क्षेत्र नहीं होना चाहिए, लेकिन एक टेंसर फ़ील्ड और संख्या हो सकती है स्वतंत्र द्रव्यमान विधाओं की संख्या अनायास टूटे हुए जनरेटर की संख्या से कम हो सकती है। ऑर्डर पैरामीटर वाले सिद्धांत के लिए $\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle$ यह अनायास एक स्पेसटाइम समरूपता को तोड़ देता है, टूटे हुए जनरेटर की संख्या $T^{a}$ गैर-तुच्छ स्वतंत्र समाधानों की संख्या घटाएं $c_{a}({\boldsymbol {r}})$ को

$c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0$

उत्पन्न होने वाले गोल्डस्टोन मोड की संख्या है। आंतरिक समरूपता के लिए, उपरोक्त समीकरण का कोई गैर-तुच्छ समाधान नहीं है, इसलिए सामान्य गोल्डस्टोन प्रमेय लागू होता है। जब समाधान मौजूद होते हैं, तो ऐसा इसलिए होता है क्योंकि गोल्डस्टोन मोड आपस में रैखिक रूप से निर्भर होते हैं, जिसमें परिणामी मोड को दूसरे मोड के ग्रेडिएंट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। समाधानों की स्पेसटाइम निर्भरता के बाद से $c_{a}({\boldsymbol {r}})$ अखंड जनरेटर की दिशा में है, जब सभी अनुवाद जनरेटर टूट गए हैं, कोई गैर-तुच्छ समाधान मौजूद नहीं है और गोल्डस्टोन मोड की संख्या एक बार फिर से टूटे जनरेटर की संख्या है।

सामान्य तौर पर, अनायास टूटे हुए अनुवाद के लिए फोनन प्रभावी रूप से नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन है समरूपता।

नम्बू-गोल्डस्टोन फरमिओन्स

स्वतःस्फूर्त रूप से टूटी हुई वैश्विक फ़र्मोनिक समरूपता, जो कुछ सुपरसिमेट्री मॉडल में होती है, नंबू-गोल्डस्टोन फ़र्मियन या goldstinos की ओर ले जाती है। इनमें स्पिन है 1⁄2, 0 के बजाय, और संबंधित सुपरसिमेट्री जनरेटर के सभी क्वांटम नंबर अनायास टूट जाते हैं।

स्वतःस्फूर्त सुपरसिममेट्री टूटती हुई सुपरमल्टीप्लेट संरचनाओं को टूटी हुई सुपरसिमेट्री की विशेषता नॉनलाइनियर प्राप्तियों में स्मैश (कम) कर देती है, जिससे कि गोल्डस्टिनो सिद्धांत में सभी कणों के सुपरपार्टनर हैं, किसी भी स्पिन के, और उस पर एकमात्र सुपरपार्टनर हैं। यानी दो गैर-गोल्डस्टिनो कण सुपरसममिति परिवर्तनों के माध्यम से केवल गोल्डस्टीनो से जुड़े हुए हैं, और एक दूसरे से नहीं, भले ही वे सुपरसिमेट्री के टूटने से पहले जुड़े हुए हों। नतीजतन, ऐसे कणों के द्रव्यमान और स्पिन बहुलता तब मनमानी होती है।

यह भी देखें

• चिराल समरूपता भंग|स्यूडो-गोल्डस्टोन बोसोन
• प्रमुख
• हिग्स तंत्र
• मर्मिन-वैगनर प्रमेय
• वैक्यूम उम्मीद मूल्य
• नोथेर प्रमेय