कैननिकल परिवर्तन

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, विहित परिवर्तन विहित निर्देशांकों (q, p, t) → (Q, P, t) का परिवर्तन है, जो हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसे मुख्यतः फॉर्म इंवेरियन के रूप में जाना जाता है। इसे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार प्रामाणिक परिवर्तन स्वयं ही उपयोगी रहता हैं, और हैमिल्टन जैकोबी मुख्य रूप से उक्त समीकरणों में गति की निरंतरता की गणना के लिए उपयोग की जाने वाली विधि और लिउविल की प्रमेय (हैमिल्टनियन) के लिए स्वयं मौलिक सांख्यिकीय यांत्रिकी के आधार के लिए प्रस्तुत की जाती हैं।

चूंकि लैगरेंजियन यांत्रिकी सामान्यीकृत निर्देशांक, निर्देशांक q → Q के परिवर्तन पर आधारित है, इस प्रकार लैगरेंजियन यांत्रिकी या लैगरेन्ज समीकरणों के रूप को प्रभावित नहीं करता हैं और इसलिए हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को यह प्रभावित नहीं करते हैं, इस प्रकार यदि हम साथ लैगरेंजियन परिवर्तन द्वारा संवेग को परिवर्तित करते हैं तो इस प्रकार हमें मान प्राप्त होते हैं-

$$P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}.$$

इसलिए समन्वय परिवर्तन जिसे बिंदु परिवर्तन भी कहा जाता है यह विहित परिवर्तन का एक प्रकार है। चूंकि इस प्रकार विहित परिवर्तनों का वर्ग बहुत व्यापक होता है, क्योंकि इसके सामान्यीकृत निर्देशांक, संवेग और यहाँ तक कि समय को नए सामान्यीकृत निर्देशांक और संवेग बनाने के लिए संयोजित किया जाता है। इस कारण कैनोनिकल स्थांतरण जिसमें स्पष्ट रूप से समय को सम्मिलित नहीं किया जाता है, उसे प्रतिबंधित कैनोनिकल स्थानांतरण कहा जाता है, इसे कई पाठ्यपुस्तकों में केवल इसके प्रकार पर विचार करती हैं।

इसकी स्पष्टता के लिए, हम यहाँ प्रस्तुति होने वाले कलन और मौलिक यांत्रिकी तक इसे सीमित रखते हैं। इसके अधिक उन्नत मान से परिचित पाठक जैसे कॉटंगेंट बंडल, बाहरी व्युत्पन्नों और सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड को संबंधित सिम्प्लेटाॅमोर्फिज्म लेख पढ़ना चाहिए। इसमें कैनोनिकल स्थानांतरण सिम्पेक्टोमोर्फिज्म की विशेष स्थिति को प्रदर्शित किया गया है। चूंकि इस प्रकार इस लेख के अंत में आधुनिक गणितीय विवरण का संक्षिप्त परिचय सम्मिलित किया जाता है।

नोटेशन

बोल्डफेस चर (वैरियेबल) जैसे q की सूची का प्रतिनिधित्व N द्वारा करते हैं, इस प्रकार सामान्यीकृत निर्देशांक जिन्हें घूर्णन के अनुसार वेक्टर (ज्यामितीय) की तरह परिवर्तित करने की आवश्यकता नहीं होती है, उदाहरण के लिए,

$$\mathbf {q} \equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right).$$

एक वैरियेबल या सूची पर बिंदु समय व्युत्पन्न का प्रतीक है, उदाहरण के लिए,

$${\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.$$

निर्देशांकों की समान संख्या वाली दो सूचियों के बीच डॉट उत्पाद संकेतन संबंधित घटकों के उत्पादों के योग के लिए आशुलिपि इस प्रकार है, उदाहरण के लिए,

$$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$$

डॉट उत्पाद (आंतरिक उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) दो समन्वय सूचियों को एकल संख्यात्मक मान का प्रतिनिधित्व करने वाले वैरियेबल में मैप करता है।

अप्रत्यक्ष दृष्टिकोण

इस प्रकार हैमिल्टन के समीकरणों का कार्यात्मक रूप है

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}$$

इस प्रकार परिभाषा के अनुसार, रूपांतरित निर्देशांकों में समरूप गतिकी होती है

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}$$

जहाँ K(Q, P) नया हैमिल्टनियन है (इसे कामिल्टनियन कहा जाता है) जिसे निर्धारित किया जाना चाहिए।

सामान्यतः (q, p, t) → (Q, P, t) के परिवर्तन को हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित नहीं किया जाता है। इस प्रकार समय (q, p) और (Q, P) के बीच स्वतंत्र परिवर्तन की हम जाँच कर सकते हैं क्यूंकि इसका क्या परिवर्तन प्रतिबंधित है वह निम्नानुसार है। चूंकि प्रतिबंधित परिवर्तनों की कोई स्पष्ट समय निर्भरता नहीं है, इस प्रकार इसकी परिभाषा के अनुसार नए सामान्यीकृत समन्वय का समय व्युत्पन्न Q_m है-

$${\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}$$

जहाँ {⋅, ⋅} प्वासों कोष्ठक है।

इस प्रकार हमारे पास संयुग्मी संवेग P_m के लिए भी तत्समक है

$${\frac {\partial H}{\partial P_{m}}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}$$

यदि परिवर्तन विहित है, तो इन दोनों को समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण बनेंगे

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$$

सामान्यीकृत संवेग P_m के लिए अनुरूप तर्क समीकरणों के दो अन्य समुच्चय की ओर जाता है

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$$

इस प्रकार यह जाँचने के लिए अप्रत्यक्ष स्थितियाँ हैं कि क्या दिया गया परिवर्तन विहित है।

लिउविल का प्रमेय

अप्रत्यक्ष स्थितियां हमें लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) को प्रमाणित करने की अनुमति देती हैं। इस प्रकार लिउविल की प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि चरण अंतरिक्ष में आयतन विहित परिवर्तनों के अनुसार संरक्षित है, अर्थात

$$\int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P}$$

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण द्वारा कई वैरियेबल्स के लिए प्रतिस्थापन को इसके बाद वाले अभिन्न जैकबियन आव्यूह और निर्धारक J के पूर्व समय के बराबर होना चाहिए इस कारण-

$$\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int J\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p}$$

जहां जेकोबियन आंशिक डेरिवेटिव के आव्यूह (गणित) का निर्धारक है, जिसे हम इस रूप में लिखते हैं

$$J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}$$

जैकोबियन आव्यूह और निर्धारकों के उत्पाद के विभाजन के मान का शोषण

$$J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.$$

इस प्रकार दोहराए गए वैरियेबल को खत्म करना देता है

$$J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.$$

इस कारण उत्पाद के ऊपर अप्रत्यक्ष स्थितियों का अनुप्रयोग J = 1 होता हैं।

फलन दृष्टिकोण उत्पन्न करना

Main article: जनरेटिंग फ़ंक्शन (भौतिकी)

इसके बीच वैध परिवर्तन की गारंटी के लिए (q, p, H) और (Q, P, K) को हम प्रत्यक्ष जनन फलन दृष्टिकोण का सहारा लेकर उपयोग कर सकते हैं। इन वैरियेबल्स के दोनों समुच्चयों को भौतिक क्रिया मुख्यतः हैमिल्टन के सिद्धांत का पालन करती है। यह लैगरेंजियन यांत्रिकी पर क्रिया समाकलन ${\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ और ${\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ है, इस प्रकार क्रमशः, हेमिल्टनियन द्वारा (प्रतिलोम) लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त किया गया हैं, इस प्रकार दोनों को स्थिर होना आवश्यक हैं (जिससे कि उपर्युक्त और निर्दिष्ट रूप के समीकरणों पर पहुंचने के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग किया जा सके; जैसा कि उदाहरण के लिए दिखाया गया है हैमिल्टन समीकरण व्युत्पन्न हैमिल्टन के समीकरण में दिखाया गया हैं):

$${\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}$$

भिन्नता समानता के दोनों कैलकुलस को संतुष्ट करने की विधि इस प्रकार है

$$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$$

लैगरेंजियन अद्वितीय नहीं हैं: कोई सदैव स्थिरांक λ से गुणा कर सकता है और कुल समय dG/dt मे व्युत्पन्न को जोड़ा जाता हैं और इस प्रकार गति के समान समीकरण प्राप्त किया जाता हैं, इसके संदर्भ के लिए b: क्लासिकल मैकेनिक्स/लैग्रेंज थ्योरी# लैगरेंजियन एकीकरण 3F देखें)।

सामान्यतः, स्केलिंग कारक λ के बराबर समुच्चय है; जिसके लिए विहित परिवर्तन λ ≠ 1 विस्तारित विहित रूपांतरण कहलाते हैं। इस प्रकार इसका मान dG/dt के समान रखा जाता है, अन्यथा समस्या गलत हो जाएगी और नए विहित वैरियेबल के लिए पुराने से भिन्न होने की अधिक स्वतंत्रता नहीं होती हैं।

यहाँ G पुराने विहित निर्देशांक (q या p) का जनरेटिंग फलन (भौतिकी) है, जिसका नया विहित निर्देशांक (Q या P) और (संभवतः) समय t हैं। इस प्रकार चरों की पसंद के आधार पर, चार मौलिक प्रकार के जनक फलन होते हैं, (चूंकि इन चार प्रकारों के मिश्रण सम्मिलित हो सकते हैं)। जैसा कि नीचे दिखाया गया हैं, इस प्रकार जनरेटिंग फलन पुराने से नए कैनोनिकल निर्देशांक में परिवर्तन और ऐसे किसी भी परिवर्तन (q, p) → (Q, P) को परिभाषित करेगा, जिसका प्रामाणिक होने की गारंटी होती है।

टाइप 1 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 1 जनरेटिंग फलन G₁ केवल पुराने और नए सामान्यीकृत निर्देशांकों पर निर्भर करता है

$$G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)$$

निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$$

चूंकि नए और पुराने निर्देशांक प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन को (q, p) → (Q, P) द्वारा परिभाषित करते हैं, इस प्रकार निम्नलिखितनुसार का पहला समुच्चय N समीकरण

$$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$$

नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के बीच संबंधों को परिभाषित करें Q और पुराने विहित निर्देशांक (q, p) के आदर्श रूप से, इस प्रकार प्रत्येक के लिए सूत्र Q_k प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार किया जा सकता है, इस कारण पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन Q के दूसरे समुच्चय में समन्वय N के समीकरण द्वारा करता है

$$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$$

इस नए सामान्यीकृत संवेग के लिए अनुरूप सूत्र P देता है जिसमें पुराने विहित निर्देशांकों (q, p) के संदर्भ में इसे हम पुनः पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों समुच्चयों (q, p) को व्युत्क्रम कर देते हैं, इस प्रकार नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P) को अंतिम समीकरण में इसके व्युत्क्रम सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापित कर देते हैं

$$K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$$

इसके लिए यह सूत्र K के लिए नए विहित निर्देशांकों (Q, P) के कार्य के रूप में देता है।

इस प्रकार व्यवहारिक रूप से यह प्रक्रिया सुनने में जितनी सरल लगती है, उससे कहीं अधिक सरल भी है, क्योंकि जनरेटिंग फलन सामान्यतः सरल होता है। उदाहरण के लिए-

$$G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q}$$

इसके परिणामस्वरूप इसके विपरीत सामान्यीकृत निर्देशांकों का आपस में परिवर्तन होता है

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}$$

और इस प्रकार K = H यह उदाहरण दर्शाता है कि हैमिल्टनियन सूत्रीकरण में निर्देशांक और संवेग कितने स्वतंत्र हैं, और वे इसके समकक्ष वैरियेबल हैं।

टाइप 2 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 2 जनरेटिंग फलन G₂ केवल पुराने सामान्यीकृत निर्देशांक और नए सामान्यीकृत संवेग पर निर्भर करता है

$$G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$$

जहां $-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ शर्तें नीचे दिए गए समीकरण के दाहिने हाथ की ओर परिवर्तित करने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती हैं। निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$$

चूँकि पुराने निर्देशांक और नए संवेग प्रत्येक स्वतंत्र हैं, इस प्रकार 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए जो निम्नलिखित हैं-

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन (q, p) → (Q, P) को परिभाषित करते हैं जो निम्नलिखितानुसार इसका पहला समुच्चय N समीकरण इस प्रकार हैं-

$$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$$

इस नए सामान्यीकृत संवेगों के बीच संबंधों को P द्वारा परिभाषित करते हैं और पुराने विहित निर्देशांक (q, p) के आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार P_k द्वारा किया जा सकता है, इस प्रकार पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप इन सूत्रों का प्रतिस्थापन P के दूसरे समुच्चय में N समीकरण समन्वय द्वारा किया जाता है

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$$

इसके नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के लिए समरूप सूत्र Q पुराने विहित निर्देशांकों के संदर्भ में (q, p) उत्पन्न करता है इस प्रकार हम पुनः पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों समुच्चयों को व्युत्क्रम कर देते हैं जो (q, p) नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P) को अंतिम समीकरण में व्युत्क्रम सूत्रों का प्रतिस्थापन कर देता हैं-

$$K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$$

इसके लिए K एक सूत्र देता है जो नए विहित निर्देशांकों (Q, P) के कार्य के रूप में उपयोग में लाया जाता हैं।

इस प्रकार व्यवहारिक रूप से यह प्रक्रिया सुनने में जितनी सरल लगती है, उससे कहीं अधिक सरल है, क्योंकि जनरेटिंग फलन सामान्यतः सरल होता है। उदाहरण के लिए

$$G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P}$$

जहाँ g का समुच्चय है N कार्य करता है। इसका परिणाम सामान्यीकृत निर्देशांक के बिंदु परिवर्तन में होता है

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)$$

टाइप 3 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 3 जनरेटिंग फलन G₃ केवल पुराने सामान्यीकृत संवेग और नए सामान्यीकृत निर्देशांकों पर निर्भर करता है

$$G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$$

जहां $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$ शर्तें नीचे दिए गए समीकरण के बाईं ओर परिवर्तित करने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती हैं। इस प्रकार निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए हम परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$$

चूंकि नए और पुराने निर्देशांक प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन (q, p) → (Q, P) को इस प्रकार परिभाषित करते हैं। इसका पहला समुच्चय N समीकरण इस प्रकार हैं-

$$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$$

इसके नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के बीच संबंधों को Q द्वारा परिभाषित करते हैं और पुराने विहित निर्देशांक (q, p) के आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार Q_k द्वारा किया जा सकता है, इस प्रकार पुराने विहित निर्देशांकों के फलन के रूप में इसका उपयोग किया जाता हैं। जिसके लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन Q के दूसरे समुच्चय में N समीकरण में समन्वित करता है, इस प्रकार-

$$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$$

इस नए सामान्यीकृत संवेग के लिए अनुरूप P सूत्र देता है जिसके पुराने विहित निर्देशांकों (q, p) के संदर्भ में इसे फिर हम पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों समुच्चयों (q, p) को व्युत्क्रम कर देते हैं, जिसके नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P) के अंतिम समीकरण में व्युत्क्रम सूत्रों का प्रतिस्थापन किया जाता हैं-

$$K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$$

जिसके लिए सूत्र K नए विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में (Q, P) देता है।

व्यवहारिक रूप से, यह प्रक्रिया को सुनने में जितनी सरलता लगती है, उससे कहीं अधिक सरल है, क्योंकि जनरेटिंग फलन सामान्यतः सरल होता है।

टाइप 4 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 4 जनरेटिंग फलन $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ केवल पुराने और नए सामान्यीकृत संवेगों पर निर्भर करता है

$$G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$$

जहां $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ शर्तें नीचे दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को बदलने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती हैं। निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं।

$$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$$

चूंकि नए और पुराने निर्देशांक प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए।

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन (q, p) → (Q, P) को निम्नलिखितानुसार परिभाषित करते हैं । जिसका पहला समुच्चय N समीकरण

$$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$$

नए सामान्यीकृत संवेगों के बीच संबंधों को परिभाषित करें P और पुराने विहित निर्देशांक (q, p) को आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार P_k द्वारा किया जा सकता है, जिसका पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन P के दूसरे समुच्चय में N समीकरण द्वारा समन्वित किया जाता है।

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$$

इस नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के लिए समरूप सूत्र Q पुराने विहित निर्देशांकों के संदर्भ में (q, p) उत्पन्न करता है, जिसे फिर हम पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों समुच्चयों (q, p) को व्युत्क्रम कर देते हैं, इस प्रकार इस नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P) को अंतिम समीकरण में उल्टे सूत्रों का प्रतिस्थापन किया जाता हैं।

$$K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$$

जिसके लिए सूत्र K नए विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में (Q, P) का मान देता है।

एक विहित परिवर्तन के रूप में गति

स्वयं गति (या, समतुल्य रूप से, समय की उत्पत्ति में परिवर्तन) विहित परिवर्तन है। यदि $\mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )$ और $\mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )$ इस स्थिति में यह क्रिया भौतिकी या हैमिल्टन का सिद्धांत स्वतः संतुष्ट हो जाता है।

$$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0$$

एक वैध प्रक्षेपवक्र के बाद से $(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))$ समापन बिंदुओं के लिए सोचे बिना सदैव इसके भौतिकी प्रभाव या हैमिल्टन का सिद्धांत को संतुष्ट करता है।

उदाहरण

• अनुवाद $\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b}$ जहाँ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ दो स्थिर सदिश हैं विहित परिवर्तन है। मुख्य रूप से, जेकोबियन आव्यूह पहचान है, जो सहानुभूतिपूर्ण $I^{\text{T}}JI=J$ है।
• इस प्रकार तय मान $\mathbf {x} =(q,p)$ और $\mathbf {X} =(Q,P)$, रूपान्तरण $\mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x}$ जहाँ $R\in SO(2)$ ऑर्डर 2 का घूर्णन आव्यूह विहित है। यह ध्यान में रखते हुए कि विशेष ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस $R^{\text{T}}R=I$ पालन करते हैं, यह देखना सरल है कि जैकोबियन सहानुभूतिपूर्ण है। इस प्रकार सावधान रहें कि यह उदाहरण केवल आयाम 2 में कार्य करता है: $SO(2)$ एकमात्र विशेष ऑर्थोगोनल समूह है जिसमें प्रत्येक आव्यूह सहानुभूतिपूर्ण है।
• रूपान्तरण $(Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)$, जहाँ $f(p)$ का कार्य $p$ है जो इसमें विहित रहता है। इस प्रकार जैकोबियन आव्यूह वास्तव में किसके द्वारा दिया जाता है
  $${\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}$$
  जो कि सहानुभूतिपूर्ण है।

आधुनिक गणितीय विवरण

गणितीय शब्दों में, कैनोनिकल निर्देशांक सिस्टम के चरण स्थान (कोटेंजेंट बंडल) पर कोई निर्देशांक होते हैं जो विहित रूप को लिखने की अनुमति देते हैं

$$\sum _{i}p_{i}\,dq^{i}$$

कुल अंतर तक सटीक रूप इस प्रकार हैं। विहित निर्देशांक के समुच्चय और दूसरे के बीच वैरियेबल का परिवर्तन विहित परिवर्तन है। सामान्यीकृत निर्देशांक का सूचकांक q यहाँ सुपरस्क्रिप्ट के रूप में लिखा गया है ($q^{i}$), सबस्क्रिप्ट ($q_{i}$) के रूप में नहीं जैसा कि ऊपर किया गया है। सुपरस्क्रिप्ट सामान्यीकृत निर्देशांकों के सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण को व्यक्त करता है, और इस प्रकार इसका अर्थ यह नहीं है कि निर्देशांक को शक्ति तक बढ़ायी जा रही है। इसकी अधिक जानकारी सिम्पेक्टोमोर्फिज्म लेख में पाई जाती है।

इतिहास

पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली के अध्ययन में, चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा 1846 में विहित परिवर्तन का पहला प्रमुख अनुप्रयोग था। इस प्रकार इस कार्य के परिणामस्वरूप 1860 और 1867 में फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज द्वारा संस्मरण के रूप में बड़े संस्करणों की जोड़ी का प्रकाशन हुआ था।

यह भी देखें

• सिम्पेक्टोमोर्फिज्म
• हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण
• लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन)
• मैथ्यू परिवर्तन
• रैखिक विहित परिवर्तन

संदर्भ

• Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2d ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN 0-201-02918-9.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated by Bell, S. J.; Sykes, J. B. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.