भौगोलिक दूरी

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भौगोलिक दूरी या भूगणितीय दूरी पृथ्वी की सतह के साथ मापी गई दूरी है इस लेख के सूत्र अक्षांश और देशांतर के संदर्भ में भौगोलिक निर्देशांक द्वारा परिभाषित बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं यह दूसरी दूरी की भूगणितीय समस्या को हल करने के लिए मुख्य घटक है।

परिचय

भौगोलिक निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना अमूर्तता के कुछ स्तर पर आधारित है यह शुद्ध दूरी प्रदान नहीं करता है जो पृथ्वी की सतह में प्रत्येक अनियमितता के स्पष्टीकरण के लिए प्रयास करने पर अप्राप्य है जो दो भौगोलिक बिंदुओं के बीच की सतह के लिए सामान्य अमूर्त हैं:

• समतल सतह
• गोलाकार सतह
• दीर्घवृत्ताकार सतह

ऊपर दी गई सभी अमूर्त ऊंचाई में परिवर्तन की उपेक्षा करते हैं और दूरियों की गणना जो आदर्श सतह की सापेक्ष ऊंचाई में परिवर्तन के कारण होती है जिसकी इस लेख में कोई भी चर्चा नहीं की गई है।

नामकरण

दूरी $D\,\!$ की गणना दो बिंदुओं $P_{1}\,\!$ और $P_{2}\,\!$ के बीच की जाती है दो बिंदुओं के भौगोलिक निर्देशांक (अक्षांश, देशांतर) जोड़े के रूप में क्रमश $(\phi _{1},\lambda _{1})\,\!$ और $(\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!$ है दो बिंदुओं में से कौन सा $P_{1}\,\!$ दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।

मानचित्रों पर अक्षांश और देशांतर निर्देशांक सामान्यतः डिग्री में व्यक्त किए जाते हैं नीचे दिए गए सूत्रों के दिए गए रूपों में सही परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्दिष्ट इकाइयों में एक या अधिक मान व्यक्त किए जाने चाहिए। जहां भौगोलिक निर्देशांक त्रिकोणमितीय फलन के तर्क के रूप में उपयोग किए जाते हैं त्रिकोणमितीय फलन के मान को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के साथ संगत किसी भी कोणीय इकाइयों में मान व्यक्त किए जा सकते हैं कई इलेक्ट्रॉनिक गणना किसी भी डिग्री या रेडियन में त्रिकोणमितीय फलनों की गणना की स्वीकृति देते हैं इलेक्ट्रॉनिक गणना को ज्यामितीय निर्देशांकों के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों के साथ संगत होना चाहिए।

अक्षांश और देशांतर में अंतर की निम्नानुसार गणना की जाती है:

${\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!$

यह महत्वपूर्ण नहीं है कि नीचे दिए गए सूत्रों में उपयोग किए जाने पर परिणाम धनात्मक या ऋणात्मक है माध्य अक्षांश को निम्न प्रकार से वर्गीकृत किया जाता है:

$\phi _{m}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!$

कोलैटिट्यूड (कोटिकशर) की निम्नानुसार गणना की जाती है:

• रेडियन में व्यक्त अक्षांशों के लिए:

$\theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi \,\!$

• डिग्री में व्यक्त अक्षांशों के लिए जब तक $\theta =90^{\circ }-\phi \,\!$ निर्दिष्ट न हो तब तक नीचे की गणना के लिए पृथ्वी की त्रिज्या है:

$R\,\!$ = 6,371.009 किलोमीटर = 3,958.761 मानक मील = 3,440.069 समुद्री मील

$D_{\,}\!$ = दो बिंदुओं के बीच की दूरी, जैसा कि पृथ्वी की सतह के साथ मापा जाता है और त्रिज्या के लिए उपयोग किए गए मान के समान इकाइयों में जब तक कि $\theta =90^{\circ }-\phi \,\!$ निर्दिष्ट न हो।

अक्षांश/देशांतर की विलक्षणताएं और असंततता

देशांतर में भौगोलिक ध्रुवों पर गणितीय विलक्षणता अपरिभाषित होती है और ±180° मध्याह्न रेखा पर एक विच्छिन्नता (गणित) होती है। साथ ही, ध्रुवों के निकट स्थिर अक्षांश के वृत्तों के तलीय प्रक्षेपण अत्यधिक वृत्ताकार होते हैं इसलिए, डेल्टा अक्षांश/देशांतर ($\Delta \phi \!$, $\Delta \lambda \!$) और औसत अक्षांश $\phi _{m}\!$ के लिए उपरोक्त समीकरण ध्रुवों या ±180° मध्याह्न के पास की स्थितियों के लिए अपेक्षित उत्तर नहीं दे सकते हैं उदाहरण पर विचार करें कि $\Delta \lambda \!$ (पूर्व विस्थापन) का मान जब $\lambda _{1}\!$ और $\lambda _{2}\!$ ±180° मध्याह्न के दोनों ओर होता हैं तब $\phi _{m}\!$ का मान (अर्थात अक्षांश) दो स्थितियों के लिए ($\phi _{1}\!$=89°, $\lambda _{1}\!$=45°) और ($\phi _{2}\!$=89°, $\lambda _{2}\!$=−135°) होता है।

यदि अक्षांश/देशांतर पर आधारित गणना पृथ्वी की सभी स्थितियों के लिए मान्य होती है तब यह सत्यापित किया जा सकता है कि विच्छिन्नता और ध्रुवों को अपेक्षाकृत रूप से नियंत्रित किया गया है एक अन्य समाधान अक्षांश/देशांतर के अतिरिक्त एन-सदिश का उपयोग करना है क्योंकि इस प्रतिनिधित्व में कोई विच्छिन्नता या विलक्षणता नहीं होती है।

समतल-सतह सूत्र

पृथ्वी की सतह के लिए समतल सन्निकटन छोटी दूरियों के लिए उपयोगी हो सकता है इस सन्निकटन का उपयोग करके दूरी की गणना की शुद्धता मे गलत हो जाती है:

• बिंदुओं के बीच की दूरी अधिक हो जाती है।
• बिंदु एक भौगोलिक ध्रुव के निकट हो जाता है।

समतल में दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक रेखा होती है पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग समतल में बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है।

कम दूरी पर भी, भौगोलिक दूरी की गणनाओं की सटीकता, जो एक सपाट पृथ्वी को मानती है, उस विधि पर निर्भर करती है जिसके द्वारा अक्षांश और देशांतर निर्देशांक विमान पर मानचित्र प्रक्षेपण किया गया है। अक्षांश और देशांतर का प्रक्षेपण एक विमान पर निर्देशांक करता है, नक्शानवीसी का दायरा है।

इस खंड में प्रस्तुत सूत्र सटीकता की अलग-अलग डिग्री प्रदान करते हैं।

गोलाकार पृथ्वी एक विमान के लिए अनुमानित

यह सूत्र अक्षांश के साथ याम्योत्तरों के बीच की दूरी में भिन्नता को ध्यान में रखता है:

$D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{m})\Delta \lambda )^{2}}},$

कहाँ:

$\Delta \phi \,\!$ और $\Delta \lambda \,\!$ रेडियन में हैं;

$\phi _{m}\,\!$ निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के अनुकूल इकाइयों में होना चाहिए $\cos(\phi _{m}).\,\!$

अक्षांश या देशांतर को रेडियन में बदलने के लिए उपयोग करें

$1^{\circ }=(\pi /180)\,\mathrm {radians} .$

यह सन्निकटन बहुत तेज है और छोटी दूरियों के लिए काफी सटीक परिणाम देता है. इसके अलावा, जब दूरी के आधार पर स्थानों का आदेश दिया जाता है, जैसे कि डेटाबेस क्वेरी में, वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता को समाप्त करते हुए, वर्ग दूरी के आधार पर आदेश देना तेज़ होता है।

दीर्घवृत्ताकार पृथ्वी एक विमान से प्रक्षेपित

संघीय संचार आयोग दूरियों से अधिक नहीं होने के लिए निम्नलिखित सूत्र निर्धारित करता है 475 kilometres (295 mi):

$D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},$

कहाँ

$D\,\!$ = किलोमीटर में दूरी;

$\Delta \phi \,\!$ और $\Delta \lambda \,\!$ डिग्री में हैं;

$\phi _{m}\,\!$ निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के अनुकूल इकाइयों में होना चाहिए $\cos(\phi _{m});\,\!$

${\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{m})+0.00120\cos(4\phi _{m});\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{m})-0.09455\cos(3\phi _{m})+0.00012\cos(5\phi _{m}).\end{aligned}}\,\!$

कहाँ $K_{1}$ और $K_{2}$ किलोमीटर प्रति डिग्री की इकाइयों में हैं। यह ध्यान रखना दिलचस्प हो सकता है कि:

$K_{1}=M{\frac {\pi }{180}}\,\!$ = किलोमीटर प्रति डिग्री अक्षांश अंतर;

$K_{2}=\cos(\phi _{m})N{\frac {\pi }{180}}\,\!$ = किलोमीटर प्रति डिग्री देशांतर अंतर;

कहाँ $M\,\!$ और $N\,\!$ 'मध्याह्न' और इसके लम्बवत, या सामान्य, वक्रता की त्रिज्या (अनुप्रयोग) # वक्रता की प्रधान त्रिज्या (एफसीसी सूत्र में अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला विस्तार के रूप से ली गई हैं) $M\,\!$ और $N\,\!$, क्लार्क 1866 संदर्भ दीर्घवृत्त पर सेट)।

उपरोक्त सूत्र के अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल कार्यान्वयन के लिए, कोसाइन के कई अनुप्रयोगों को एक ही आवेदन के साथ बदला जा सकता है और चेबीशेव बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग किया जा सकता है।

ध्रुवीय निर्देशांक समतल-पृथ्वी सूत्र

$D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},$

जहां समांतर मान रेडियन में हैं। डिग्री में मापे गए अक्षांश के लिए, रेडियन में अक्षांश की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: $\theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!$

गोलाकार-सतह सूत्र

Main article: बृहत् वृत्त दूरी

यदि कोई 0.5% की संभावित त्रुटि को स्वीकार करने के लिए तैयार है, तो वह गोले पर गोलाकार त्रिकोणमिति के सूत्रों का उपयोग कर सकता है जो पृथ्वी की सतह का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।

सतह पर दो बिंदुओं के बीच एक गोले की सतह के साथ सबसे छोटी दूरी उस महान-वृत्त के साथ होती है जिसमें दो बिंदु होते हैं।

ग्रेट-सर्कल दूरी लेख पृथ्वी के आकार के बारे में एक गोले पर एक ग्रेट-सर्कल के साथ दूरी की गणना करने का सूत्र देता है। उस लेख में गणना का एक उदाहरण शामिल है।

सुरंग की दूरी

पृथ्वी पर बिंदुओं के बीच एक सुरंग को रुचि के बिंदुओं के बीच त्रि-आयामी अंतरिक्ष के माध्यम से एक रेखा द्वारा परिभाषित किया गया है। महान वृत्त जीवा की लंबाई की गणना संबंधित इकाई क्षेत्र के लिए निम्नानुसार की जा सकती है:

${\begin{aligned}&\Delta {X}=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\&\Delta {Y}=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\&\Delta {Z}=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\&C_{h}={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}$

गोलाकार पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के बीच सुरंग की दूरी है $D=RC_{h}$. कम दूरी के लिए ($D\ll R$), यह द्वारा महान वृत्त दूरी को कम करके आंका जाता है $D(D/R)^{2}/24$.

दीर्घवृत्त-सतह सूत्र

Main article: Geodesics on an ellipsoid

एक चपटे दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक

एक दीर्घवृत्ताभ पृथ्वी की सतह से काफी बेहतर अनुमानित है

एक दीर्घवृत्त पृथ्वी की सतह को एक गोले या सपाट सतह की तुलना में बहुत बेहतर बनाता है। सतह पर दो बिंदुओं के बीच दीर्घवृत्त की सतह के साथ सबसे छोटी दूरी जियोडेसिक के साथ होती है। जिओडेसिक्स बड़े वृत्तों की तुलना में अधिक जटिल पथों का पालन करता है और विशेष रूप से, वे सामान्यतः पृथ्वी के एक सर्किट के बाद अपनी शुरुआती स्थिति में वापस नहीं आते हैं। यह दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है जहां प्रभाव को बढ़ाने के लिए f को 1/50 लिया जाता है। 18वीं और 19वीं शताब्दी के दौरान पृथ्वी पर दो बिंदुओं के बीच जियोडेसिक खोजने, तथाकथित उलटा भूगणितीय समस्या, कई गणितज्ञों और जियोडेसिस्टों का ध्यान था, जिसमें क्लेराट लीजेंड्रे, फ्रेडरिक बेसेल, का प्रमुख योगदान था। [5] और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट रैप इस काम का एक अच्छा सारांश प्रदान करता है।

भौगोलिक सूचना प्रणाली, सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी, स्टैंडअलोन उपयोगिताओं और ऑनलाइन टूल में जियोडेसिक दूरी की गणना के तरीके व्यापक रूप से उपलब्ध हैं। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एल्गोरिथम थेडियस विन्सेंटी द्वारा है जो एक श्रृंखला का उपयोग करता है जो दीर्घवृत्त के चपटेपन में तीसरे क्रम के लिए सटीक है, अर्थात लगभग 0.5 मिमी; हालाँकि, एल्गोरिथ्म उन बिंदुओं के लिए अभिसरण करने में विफल रहता है जो लगभग एंटीपोडल हैं। (विवरण के लिए, विन्सेंटी के सूत्र देखें।) यह दोष कार्नी द्वारा दिए गए एल्गोरिथम में ठीक हो गया है जो श्रृंखला को नियोजित करता है जो सपाट में छठे क्रम के लिए सटीक है। इसका परिणाम एक एल्गोरिथ्म में होता है जो पूरी तरह से दोहरी सटीकता के लिए सटीक होता है और जो पृथ्वी पर बिंदुओं के मनमाने जोड़े के लिए अभिसरण करता है। यह एल्गोरिद्म GeographicLib में लागू किया गया है।

कंप्यूटर पर गणना करते समय ऊपर दी गई सटीक विधियाँ संभव हैं। उनका उद्देश्य किसी भी लम्बाई की रेखाओं पर मिलीमीटर सटीकता देना है; यदि किसी को मिलीमीटर सटीकता की आवश्यकता नहीं है, या यदि किसी को मिलीमीटर सटीकता की आवश्यकता है, लेकिन रेखा छोटी है, तो सरल सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। रैप चैप। 6, पुइसेंट विधि, गॉस मध्य-अक्षांश विधि और बॉरिंग विधि का वर्णन करता है।

लंबी रेखाओं के लिए लैम्बर्ट का सूत्र

लैम्बर्ट के सूत्र हज़ारों किलोमीटर से अधिक 10 मीटर के क्रम पर सटीकता दें। पहले अक्षांशों को परिवर्तित करें $\scriptstyle \phi _{1}$, $\scriptstyle \phi _{2}$ अक्षांश के दो बिंदुओं में से#पैरामेट्रिक (या कम) अक्षांश $\scriptstyle \beta _{1}$, $\scriptstyle \beta _{2}$

$\tan \beta =(1-f)\tan \phi ,$

कहाँ $f$ चपटा है। फिर केंद्रीय कोण की गणना करें $\sigma$ दो बिंदुओं के बीच रेडियन में $(\beta _{1},\;\lambda _{1})$ और $(\beta _{2},\;\lambda _{2})$ देशांतर के साथ ग्रेट-सर्कल डिस्टेंस|ग्रेट-सर्कल डिस्टेंस मेथड (कोसाइन या हावरसाइन सूत्र का गोलाकार नियम) का उपयोग करते हुए एक गोले पर $\lambda _{1}\;$ और $\lambda _{2}\;$ गोलाकार के समान गोले पर होना।

$P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}$

$X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}$

${\textstyle \mathrm {distance} =a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$ कहाँ $a$ चुने हुए गोलभ की विषुवतीय त्रिज्या है।

जीआरएस 80 80 गोलाकार लैम्बर्ट का फॉर्मूला बंद है

0 उत्तर 0 पश्चिम से 40 उत्तर 120 पश्चिम, 12.6 मीटर

0N 0W से 40N 60W, 6.6 मीटर

40N 0W से 40N 60W, 0.85 मीटर

छोटी लाइनों के लिए बॉलिंग की विधि

बॉरिंग बिंदुओं को त्रिज्या R' के एक क्षेत्र में ले जाता है, जिसमें अक्षांश और देशांतर को φ' और λ' के रूप में दर्शाया जाता है। परिभाषित करना

$A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},$

जहां दूसरी उत्केन्द्रता का वर्ग है

$e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.$

गोलाकार त्रिज्या है

$R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.$

(φ पर दीर्घवृत्ताभ की गाऊसी वक्रता₁ 1/आर' है².) गोलाकार निर्देशांक द्वारा दिया जाता है

${\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi }{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}$

कहाँ $\Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}$, $\Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'$, $\Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}$, $\Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'$. गोलाकार दूरी और असर के लिए सन्निकटन देने के लिए क्षेत्र पर परिणामी समस्या को ग्रेट-सर्कल नेविगेशन के लिए तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। रैप द्वारा विस्तृत सूत्र दिए गए हैं,§6.5 और बॉरिंग।

ऊंचाई सुधार

स्थलाकृतिक या जमीनी स्तर से गोलाकार या दीर्घवृत्त की सतह तक ऊंचाई में भिन्नता भी दूरी माप के पैमाने को बदल देती है। दो बिंदुओं के बीच की तिरछी दूरी s (जीवा (ज्यामिति) लंबाई) को दीर्घवृत्ताभ सतह S पर चाप की लंबाई तक कम किया जा सकता है:

$S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s$

जहाँ R का मूल्यांकन पृथ्वी की वक्रता की दिगंशीय त्रिज्या से किया जाता है और h प्रत्येक बिंदु पर दीर्घवृत्ताकार ऊँचाई हैं समीकरण के दायीं ओर का पहला पद माध्य उन्नयन के लिए और दूसरा पद झुकाव के लिए है उपरोक्त गणना पृथ्वी की सामान्य लंबाई को दीर्घवृत्ताभ भूगर्भीय लंबाई में और कम करना प्रायः नगण्य होता है।

यह भी देखें

• चाप माप
• पृथ्वी त्रिज्या
• गोलाकार पृथ्वी
• बृहत् वृत्त दूरी
• बृहत् वृत्त मार्गनिर्देशन
• भूमिगत प्रतिरूपिक दूरी
• विन्सेंटी के सूत्र
• भूमध्य रेखा चाप
• पैमाना (मानचित्र)

बाहरी संबंध

• An online geodesic calculator (based on GeographicLib).
• An online geodesic bibliography.