जटिल अंतर रूप

गणित में, एक जटिल विभेदक रूप कई गुना (आमतौर पर एक जटिल कई गुना) पर एक अंतर रूप होता है जिसे जटिल संख्या गुणांक रखने की अनुमति होती है।

जटिल रूपों में अंतर ज्यामिति में व्यापक अनुप्रयोग होते हैं। जटिल कई गुना पर, वे मौलिक हैं और बहुत से बीजगणितीय ज्यामिति, काहलर मीट्रिक | काहलर ज्यामिति और हॉज सिद्धांत के आधार के रूप में काम करते हैं। गैर-जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे लगभग जटिल संरचनाओं, स्पिनरों के सिद्धांत और सीआर संरचनाओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते हैं।

विशिष्ट रूप से, जटिल रूपों को कुछ वांछनीय अपघटन के कारण माना जाता है जो रूपों को स्वीकार करते हैं। एक जटिल कई गुना पर, उदाहरण के लिए, किसी भी जटिल के-फॉर्म को तथाकथित (पी, क्यू)-रूपों के योग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है: मोटे तौर पर, के वेजेज p उनके जटिल संयुग्मों के q अंतरों के साथ होलोमॉर्फिक निर्देशांक का बाहरी व्युत्पन्न। (p, q)-रूपों का पहनावा अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, और k-रूपों की तुलना में कई गुना अधिक महीन ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। यहां तक ​​कि बेहतर संरचनाएं भी मौजूद हैं, उदाहरण के लिए, उन मामलों में जहां हॉज सिद्धांत लागू होता है।

एक जटिल कई गुना पर विभेदक रूप

मान लीजिए कि एम जटिल आयाम एन का एक जटिल कई गुना है। फिर एक स्थानीय समन्वय प्रणाली है जिसमें n जटिल-मूल्यवान कार्य z शामिल हैं¹, ..., के साथⁿ जैसे कि एक पैच से दूसरे में संक्रमण का समन्वय इन चरों के होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन हैं। जटिल रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, मौलिक रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य होलोमोर्फिक हैं, न कि केवल चिकनी कई गुना।

एक रूप

हम एक-रूपों के मामले से शुरू करते हैं। पहले जटिल निर्देशांक को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करें: z^j = x^j + iy^j प्रत्येक जे के लिए। दे

$dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},$

कोई देखता है कि जटिल गुणांक वाले किसी भी अंतर रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).$

चलो Ω^1,0 केवल युक्त जटिल अंतर रूपों का स्थान हो $dz$और Ω^0,1 केवल युक्त रूपों का स्थान हो $d{\bar {z}}$'एस। कोई दिखा सकता है, कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा, कि रिक्त स्थान Ω^1.0 और Ω^0,1 होलोमॉर्फिक समन्वय परिवर्तन के तहत स्थिर हैं। दूसरे शब्दों में, यदि कोई भिन्न चयन करता है तो w_i होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का, फिर Ω के तत्व^1,0 अस्थायी रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि Ω के तत्व करते हैं^0,1. इस प्रकार रिक्त स्थान Ω^0.1 और Ω^1,0 कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर जटिल वेक्टर बंडल निर्धारित करते हैं।

उच्च-डिग्री फॉर्म

जटिल अंतर रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों के समान ही परिभाषित किया गया है। पी और क्यू को गैर-नकारात्मक पूर्णांक ≤ एन की एक जोड़ी होने दें। अंतरिक्ष Ω^{(p, q)-रूपों के p,q} को Ω से p तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है^1,0 और q तत्व Ω से^0,1. प्रतीकात्मक रूप से,

$\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}$

जहां Ω के पी कारक हैं^1,0 और Ω के q कारक^0,1. जैसे 1-रूपों के दो स्थानों के साथ, ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों के तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए सदिश बंडलों को निर्धारित करते हैं।

यदि ई^k कुल डिग्री k के सभी जटिल अंतर रूपों का स्थान है, तो E का प्रत्येक तत्व^k को रिक्त स्थान Ω के तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है^{पी,क्यू} के साथ p + q = k. अधिक संक्षेप में, वेक्टर बंडलों के अपघटन का प्रत्यक्ष योग है

$E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.$

क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तन के तहत स्थिर है, यह एक वेक्टर बंडल अपघटन भी निर्धारित करता है।

विशेष रूप से, प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के साथ p + q = k, वेक्टर बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण है

$\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.$

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है $d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}$ के जरिए

$d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}$

बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में कई गुना अधिक कठोर जटिल संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।

d और पिछले उपखंड में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'Dolbeault ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव है:

$\partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}$

स्थानीय निर्देशांक में इन ऑपरेटरों का वर्णन करने के लिए, आइए

$\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}$

जहाँ I और J बहु सूचकांक हैं | मल्टी-इंडेक्स हैं। तब

$\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}$

${\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.$

धारण करने के लिए निम्नलिखित गुण देखे जाते हैं:

$d=\partial +{\bar {\partial }}$

$\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.$

ये ऑपरेटर और उनके गुण Dolbeault cohomology और हॉज थ्योरी के कई पहलुओं के लिए आधार बनाते हैं।

एक स्टार डोमेन पर। एक जटिल मैनिफोल्ड के स्टार-आकार वाले डोमेन में डोलबेल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरी होमोटॉपी ऑपरेटर हैं के लिए Poincare लेम्मा के विभाजन के परिणामस्वरूप $d$.यह एक जटिल मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री है।

Poincare लेम्मा के लिए ${\bar {\partial }}$ और $\partial$ स्थानीय डीडीबार लेम्मा|लोकल में और सुधार किया जा सकता है $\partial {\bar {\partial }}$-लेम्मा, जो दर्शाता है कि हर $d$-सटीक जटिल अंतर रूप वास्तव में है $\partial {\bar {\partial }}$-एकदम सही। कॉम्पैक्ट पर काहलर स्थानीय के वैश्विक रूप को कई गुना बढ़ा देता है $\partial {\bar {\partial }}$-लेम्मा होल्ड, जिसे ddbar लेम्मा के नाम से जाना जाता है$\partial {\bar {\partial }}$-लेम्मा। यह हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है, और बताता है कि एक जटिल अंतर रूप जो विश्व स्तर पर है $d$-सटीक (दूसरे शब्दों में, जिसका वर्ग राम कोहोलॉजी में शून्य है) विश्व स्तर पर है $\partial {\bar {\partial }}$-एकदम सही।

होलोमॉर्फिक रूप

प्रत्येक पी के लिए, एक 'होलोमोर्फिक पी-फॉर्म' बंडल Ω का एक होलोमोर्फिक खंड है^{पी, 0</सुपा>. स्थानीय निर्देशांक में, एक होलोमोर्फिक पी-फॉर्म को फॉर्म में लिखा जा सकता है}

$\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}$

जहां $f_{I}$ होलोमोर्फिक कार्य हैं। समतुल्य रूप से, और कॉची-रीमैन समीकरणों के कारण # जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0) -फॉर्म α होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर

${\bar {\partial }}\alpha =0.$

होलोमॉर्फिक पी-रूपों के शीफ (गणित) को अक्सर Ω लिखा जाता है^पी, हालांकि यह कभी-कभी भ्रम पैदा कर सकता है इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की प्रवृत्ति रखते हैं।

यह भी देखें

• डोलबियॉल्ट कॉम्प्लेक्स
• फ्रोलिकर स्पेक्ट्रल अनुक्रम
• पहली तरह का अंतर

संदर्भ

• P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 23–25. ISBN 0-471-05059-8.
• Wells, R. O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.