डोमेन का व्युत्क्रम

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के होमियोमॉर्फिक सबसेट के बारे में टोपोलॉजी में डोमेन का एक प्रमेय है $\mathbb {R} ^{n}$. वो कहता है:

अगर $U$ का एक खुला सेट है $\mathbb {R} ^{n}$ और $f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ एक इंजेक्शन निरंतर नक्शा है, फिर $V:=f(U)$ में खुला है $\mathbb {R} ^{n}$ और $f$ के बीच एक होमियोमोर्फिज्म है $U$ और $V$.

प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित L. E. J. Brouwer के कारण है। सबूत बीजगणितीय टोपोलॉजी के उपकरण का उपयोग करता है, विशेष रूप से ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय।

टिप्पणियाँ

The conclusion of the theorem can equivalently be formulated as: "$f$ is an open map".

Normally, to check that $f$ is a homeomorphism, one would have to verify that both $f$ and its inverse function $f^{-1}$ are continuous; the theorem says that if the domain is an open subset of $\mathbb {R} ^{n}$ and the image is also in $\mathbb {R} ^{n},$ then continuity of $f^{-1}$ is automatic. Furthermore, the theorem says that if two subsets $U$ and $V$ of $\mathbb {R} ^{n}$ are homeomorphic, and $U$ is open, then $V$ must be open as well. (Note that $V$ is open as a subset of $\mathbb {R} ^{n},$ and not just in the subspace topology. Openness of $V$ in the subspace topology is automatic.) Both of these statements are not at all obvious and are not generally true if one leaves Euclidean space.

A map which is not a homeomorphism onto its image: $g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ with $g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right).$

It is of crucial importance that both domain and image of $f$ are contained in Euclidean space of the same dimension. Consider for instance the map $f:(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ defined by $f(t)=(t,0).$ This map is injective and continuous, the domain is an open subset of $\mathbb {R}$, but the image is not open in $\mathbb {R} ^{2}.$ A more extreme example is the map $g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ defined by $g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right)$ because here $g$ is injective and continuous but does not even yield a homeomorphism onto its image.

The theorem is also not generally true in infinitely many dimensions. Consider for instance the Banach L^p space $\ell ^{\infty }$ of all bounded real sequences. Define $f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }$ as the shift $f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).$ Then $f$ is injective and continuous, the domain is open in $\ell ^{\infty }$, but the image is not.

परिणाम

डोमेन इनवैरियंस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं हो सकता $\mathbb {R} ^{m}$ अगर $m\neq n.$ दरअसल, का कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है $\mathbb {R} ^{n}$ के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक हो सकता है $\mathbb {R} ^{m}$ इस मामले में।

सामान्यीकरण

डोमेन इनवैरियंस प्रमेय को कई गुना सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि $M$ और $N$ टोपोलॉजिकल हैं n-कई गुना सीमा के बिना और $f:M\to N$ एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से इंजेक्शन फ़ंक्शन है | स्थानीय रूप से एक-से-एक (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु में $M$ एक नेबरहुड (टोपोलॉजी) ऐसा है $f$ इस पड़ोस तक सीमित इंजेक्शन है), फिर $f$ एक खुला नक्शा है (जिसका अर्थ है कि $f(U)$ में खुला है $N$ जब कभी भी $U$ का खुला उपसमुच्चय है $M$) और एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म।

कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए एक बनच स्थान से स्वयं के लिए सामान्यीकरण भी हैं।

यह भी देखें

• Open mapping theorem अन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Mill, J. van (2001) [1994], "Domain invariance", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press