डोमेन का व्युत्क्रम

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समरूपी उपसमुच्चय के बारे में संस्थित विज्ञान में डोमेन की एक प्रमेय है

अगर $U$ का एक खुला समूह $\mathbb {R} ^{n}$ है और $f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ एक अंतक्षेपण निरंतर नक्शा है फिर $V:=f(U)$ में खुला है तथा $\mathbb {R} ^{n}$ और $f$ के बीच एक समंलैंगिगता के प्रति प्रबल घृणा $U$ और $V$ है।

प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित हुआ बीजगणितीय उपसमुच्चय के उपकरण का उपयोग ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय के रूप में प्रयोग करता है।

टिप्पणियाँ

प्रमेय का निष्कर्ष समान रूप से तैयार किया जा सकता है जैसे एक खुला नक्शा है

सामान्य तौर पर यह जांचने के लिए एक समलैंगिकता है किसी को यह सत्यापित करना होगा कि दोनों और इसका उलटा कार्य निरंतर हैं प्रमेय कहता है कि यदि डोमेन का एक खुला उपसमुच्चय और छवि अंदर है फिर निरंतरता स्वचालित है प्रमेय कहता है कि यदि दो उपसमुच्चय हैं

ो त

डोतरिक्ष में ससमरूपीे लिए मानचित्र पर विचार कंद्वारा परिभाष है एक अधिक चरम उदाहरण मान। छवि नहीं है।

परिणाम

डोमेन इनवैरियंस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं हो सकता $\mathbb {R} ^{m}$ अगर $m\neq n.$ दरअसल, का कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है $\mathbb {R} ^{n}$ के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक हो सकता है $\mathbb {R} ^{m}$ इस मामले में।

सामान्यीकरण

डोमेन इनवैरियंस प्रमेय को कई गुना सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि $M$ और $N$ टोपोलॉजिकल हैं n-कई गुना सीमा के बिना और $f:M\to N$ एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से इंजेक्शन फ़ंक्शन है | स्थानीय रूप से एक-से-एक (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु में $M$ एक नेबरहुड (टोपोलॉजी) ऐसा है $f$ इस पड़ोस तक सीमित इंजेक्शन है), फिर $f$ एक खुला नक्शा है (जिसका अर्थ है कि $f(U)$ में खुला है $N$ जब कभी भी $U$ का खुला उपसमुच्चय है $M$) और एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म।

कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए एक बनच स्थान से स्वयं के लिए सामान्यीकरण भी हैं।

यह भी देखें

• Open mapping theorem अन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।

संदर्भ

• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 139. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1224675.
• Cao Labora, Daniel (2020). "When is a continuous bijection a homeomorphism?". Amer. Math. Monthly. 127 (6): 547–553. doi:10.1080/00029890.2020.1738826. MR 4101407. S2CID 221066737.
• Cartan, Henri (1945). "Méthodes modernes en topologie algébrique". Comment. Math. Helv. (in français). 18: 1–15. doi:10.1007/BF02568096. MR 0013313. S2CID 124671921.
• Deo, Satya (2018). Algebraic topology: A primer. Texts and Readings in Mathematics. Vol. 27 (Second ed.). New Delhi: Hindustan Book Agency. ISBN 978-93-86279-67-5. MR 3887626.
• Dieudonné, Jean (1982). "8. Les théorèmes de Brouwer". Éléments d'analyse. Cahiers Scientifiques (in français). Vol. IX. Paris: Gauthier-Villars. pp. 44–47. ISBN 2-04-011499-8. MR 0658305.
• Hirsch, Morris W. (1988). Differential Topology. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0. (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
• Hilton, Peter J.; Wylie, Sean (1960). Homology theory: An introduction to algebraic topology. New York: Cambridge University Press. ISBN 0521094224. MR 0115161.
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Dimension Theory. Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press. MR 0006493.
• Kulpa, Władysław (1998). "Poincaré and domain invariance theorem" (PDF). Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1): 129–136. MR 1696596.
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58059-5. MR 1454127.
• Munkres, James R. (1966). Elementary differential topology. Annals of Mathematics Studies. Vol. 54 (Revised ed.). Princeton University Press. MR 0198479.
• Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic topology. New York-Toronto-London: McGraw-Hill.
• Tao, Terence (2011). "Brouwer's fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert's fifth problem". terrytao.wordpress.com. Retrieved 2 February 2022.

बाहरी संबंध

• Mill, J. van (2001) [1994], "Domain invariance", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press