स्यूडोमेट्रिक स्पेस

गणित में, एक स्यूडोमीट्रिक स्थान एक मीट्रिक स्पेस का सामान्यीकरण है जिसमें दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी शून्य हो सकती है। ड्यूरो कुरेपा द्वारा स्यूडोमेट्रिक रिक्त स्थान पेश किए गए थे 1934 में। जिस तरह से हर नॉर्म्ड स्पेस एक मेट्रिक स्पेस है, वैसे ही हर अर्धवृत्ताकार स्थान एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस है। इस सादृश्य के कारण शब्द अर्धमितीय स्थान (जिसका टोपोलॉजी में एक अलग अर्थ है) को कभी-कभी एक पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में।

जब स्यूडोमेट्रिक्स के परिवार का उपयोग करके एक टोपोलॉजी उत्पन्न होती है, तो अंतरिक्ष को गेज अंतरिक्ष कहा जाता है।

परिभाषा

एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस $(X,d)$ एक सेट है $X$ एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के साथ $d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$ को फ़ोन कियाpseudometric, जैसे कि हर के लिए $x,y,z\in X,$

1. $d(x,x)=0.$
2. समरूपता: $d(x,y)=d(y,x)$
3. उपयोगात्मकता/त्रिभुज असमानता: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

एक मीट्रिक स्थान के विपरीत, एक स्यूडोमेट्रिक स्थान में बिंदुओं को अविवेकी पहचान की आवश्यकता नहीं है; यानी किसी के पास हो सकता है $d(x,y)=0$ विशिष्ट मूल्यों के लिए $x\neq y.$

उदाहरण

कोई भी मीट्रिक स्पेस एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस है। कार्यात्मक विश्लेषण में स्यूडोमेट्रिक्स स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। अंतरिक्ष पर विचार करें ${\mathcal {F}}(X)$ वास्तविक मूल्यवान कार्यों की $f:X\to \mathbb {R}$ साथ में एक विशेष बिंदु $x_{0}\in X.$ यह बिंदु तब दिए गए कार्यों के स्थान पर एक स्यूडोमेट्रिक को प्रेरित करता है

$$d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|$$

के लिए $f,g\in {\mathcal {F}}(X)$ एक सेमिनोर्म $p$ स्यूडोमेट्रिक को प्रेरित करता है $d(x,y)=p(x-y)$. यह affine फलन का उत्तल फलन है $x$ (विशेष रूप से, एक अनुवाद (ज्यामिति)), और इसलिए उत्तल है $x$. (इसी तरह के लिए $y$.)

इसके विपरीत, एक सजातीय, अनुवाद-अपरिवर्तनीय स्यूडोमेट्रिक एक सेमिनोर्म को प्रेरित करता है।

हाइपरबोलिक जटिल कई गुना के सिद्धांत में स्यूडोमेट्रिक्स भी उत्पन्न होते हैं: कोबायाशी मीट्रिक देखें।

हर माप अंतरिक्ष $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ परिभाषित करके एक पूर्ण स्यूडोमेट्रिक स्पेस के रूप में देखा जा सकता है

$$d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)$$

सभी के लिए $A,B\in {\mathcal {A}},$ जहाँ त्रिभुज सममित अंतर को दर्शाता है।

अगर $f:X_{1}\to X_{2}$ एक समारोह है और डी₂ X पर छद्ममितीय है₂, तब $d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))$ X पर छद्ममितीय देता है₁. अगर डी₂ एक मीट्रिक है और f अंतःक्रियात्मक फलन है, तो d₁ एक पैमाना है।

टोपोलॉजी

pseudometric topology खुली गेंदों द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी (संरचना) है

$$B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},$$

जो टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं। एक टोपोलॉजिकल स्पेस को कहा जाता हैpseudometrizable space यदि स्थान को एक स्यूडोमेट्रिक दिया जा सकता है जैसे कि स्यूडोमेट्रिक टोपोलॉजी अंतरिक्ष में दिए गए टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है।

स्यूडोमेट्रिक्स और मेट्रिक्स के बीच का अंतर पूरी तरह से सामयिक है। यही है, एक स्यूडोमेट्रिक एक मीट्रिक है अगर और केवल अगर यह उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी T0 स्पेस है। टी₀(अर्थात, अलग-अलग बिंदु स्थैतिक रूप से अलग-अलग होते हैं)।

मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए कॉची अनुक्रम और समापन (मीट्रिक स्थान) की परिभाषाएँ अपरिवर्तित स्यूडोमेट्रिक रिक्त स्थान पर ले जाती हैं।

मीट्रिक पहचान

स्यूडोमेट्रिक का लुप्त होना एक तुल्यता संबंध को प्रेरित करता है, जिसे मीट्रिक पहचान कहा जाता है, जो छद्ममितीय स्थान को एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में परिवर्तित करता है। यह परिभाषित करके किया जाता है $x\sim y$ अगर $d(x,y)=0$. होने देना $X^{*}=X/{\sim }$ का भागफल स्थान (टोपोलॉजी) हो $X$ इस तुल्यता संबंध से और परिभाषित करें

$${\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}$$

यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि किसी के लिए $x'\in [x]$ हमारे पास वह है $d(x,x')=0$ इसलिए $d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)$ और इसके विपरीत। तब $d^{*}$ पर एक मीट्रिक है $X^{*}$ और $(X^{*},d^{*})$ एक अच्छी तरह से परिभाषित मीट्रिक स्थान है, जिसे छद्ममितीय स्थान द्वारा प्रेरित मीट्रिक स्थान कहा जाता है $(X,d)$. मीट्रिक पहचान प्रेरित टोपोलॉजी को संरक्षित करती है। यानी एक उपसमुच्चय $A\subseteq X$ में खुला (या बंद) है $(X,d)$ अगर और केवल अगर $\pi (A)=[A]$ में खुला (या बंद) है $\left(X^{*},d^{*}\right)$ और $A$ संतृप्त है। सामयिक पहचान कोलमोगोरोव भागफल है।

इस निर्माण का एक उदाहरण है पूर्ण मीट्रिक स्पेस#पूर्णता इसके कॉची क्रमों द्वारा।

यह भी देखें

• Generalised metric
• Metric signature
• Metric space
• Metrizable topological vector space

संदर्भ

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer. ISBN 3-540-18178-4.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (new ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.
• Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley
• This article incorporates material from Pseudometric space on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
• "Example of pseudometric space". PlanetMath.