ऑर्थोगोनलाइज़ेशन
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रैखिक बीजगणित में, ऑर्थोगोनलाइज़ेशन ऑर्थोगोनल वेक्टर का एक सेट खोजने की प्रक्रिया है जो एक विशेष रैखिक उप-स्थान (रैखिक बीजगणित) को फैलाता है। औपचारिक रूप से, सदिशों {v के रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय से प्रारंभ1, ... , मेंk} एक आंतरिक उत्पाद स्थान में (आमतौर पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष आरn), ऑर्थोगोनलाइज़ेशन का परिणाम ओर्थोगोनालिटी वैक्टर {u1, ... , मेंk} जो सदिश v के समान उप-स्थान उत्पन्न करता है1, ... , मेंk. नए सेट में प्रत्येक वेक्टर नए सेट में हर दूसरे वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है; और नए सेट और पुराने सेट का एक ही रैखिक विस्तार है।
इसके अलावा, यदि हम चाहते हैं कि परिणामी वैक्टर सभी इकाई वैक्टर हों, तो हम प्रत्येक वेक्टर को Unit_vector करते हैं और प्रक्रिया को ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन कहा जाता है।
ऑर्थोगोनलाइजेशन किसी भी सममित द्विरेखीय रूप के संबंध में भी संभव है (जरूरी नहीं कि एक आंतरिक उत्पाद, जरूरी नहीं कि वास्तविक संख्या पर हो), लेकिन इस अधिक सामान्य सेटिंग में मानक एल्गोरिदम को शून्य से विभाजन का सामना करना पड़ सकता है।
ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिदम
ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करने के तरीकों में शामिल हैं:
- ग्राम-श्मिट प्रक्रिया, जो प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) का उपयोग करती है
- गृहस्थ परिवर्तन, जो परावर्तन (गणित) का उपयोग करता है
- रोटेशन देता है
- सममित ऑर्थोगोनलाइजेशन, जो एकवचन मूल्य अपघटन का उपयोग करता है
कंप्यूटर पर ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करते समय, आमतौर पर ग्राम-श्मिट प्रक्रिया पर हाउसहोल्डर ट्रांसफ़ॉर्मेशन को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि यह अधिक संख्यात्मक स्थिरता है, अर्थात राउंडिंग त्रुटियों का कम गंभीर प्रभाव होता है।
दूसरी ओर, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया jवें पुनरावृति के बाद jth ऑर्थोगोनलाइज़्ड वेक्टर का उत्पादन करती है, जबकि हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शंस का उपयोग करके ऑर्थोगोनलाइज़ेशन केवल अंत में सभी वैक्टर उत्पन्न करता है। यह केवल ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को पुनरावृत्त विधियों जैसे अर्नोल्डी पुनरावृत्ति के लिए लागू करता है।
घुमाव देता है हाउसहोल्डर ट्रांसफॉर्मेशन की तुलना में अधिक आसानी से समानांतर कंप्यूटिंग है।
प्रति-ओलोव लोडिन द्वारा सममित ऑर्थोगोनलाइज़ेशन तैयार किया गया था।[1]
स्थानीय ऑर्थोगोनलाइज़ेशन
पारंपरिक शोर क्षीणन दृष्टिकोणों में उपयोगी सिग्नल के नुकसान की भरपाई करने के लिए गलत पैरामीटर चयन या डीनोइजिंग धारणाओं की अपर्याप्तता के कारण, प्रारंभिक शोर अनुभाग से उपयोगी सिग्नल की पुनर्प्राप्ति के लिए आरंभिक खंड पर एक वेटिंग ऑपरेटर लगाया जा सकता है। नई denoising प्रक्रिया को सिग्नल और शोर के स्थानीय ऑर्थोगोनलाइजेशन के रूप में जाना जाता है।[2] इसमें कई सिग्नल प्रोसेसिंग और भूकंपीय अन्वेषण क्षेत्रों में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है।
यह भी देखें
- ऑर्थोगोनलिटी
- बायोर्थोगोनल प्रणाली
- ऑर्थोगोनल आधार
संदर्भ
- ↑ Löwdin, Per-Olov (1970). "On the nonorthogonality problem". क्वांटम रसायन विज्ञान में अग्रिम. Vol. 5. Elsevier. pp. 185–199.
- ↑ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). "स्थानीय सिग्नल और शोर ऑर्थोगोनलाइजेशन का उपयोग करके यादृच्छिक शोर क्षीणन". Geophysics. 80 (6): WD1–WD9. doi:10.1190/GEO2014-0227.1.
