न्यूनतम चरण

नियंत्रण सिद्धांत और संकेत आगे बढ़ाना में, एक एलटीआई सिस्टम सिद्धांत | रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को न्यूनतम-चरण कहा जाता है यदि सिस्टम और इसके व्युत्क्रम कार्य कारण प्रणाली और बीआईबीओ स्थिरता हैं। सबसे सामान्य कॉसल#इंजीनियरिंग एलटीआई प्रणाली सिद्धांत ट्रांसफर फ़ंक्शन को विशिष्ट रूप से ऑल-पास और न्यूनतम चरण प्रणाली की एक श्रृंखला में शामिल किया जा सकता है। सिस्टम फ़ंक्शन तब दो भागों का उत्पाद होता है, और समय डोमेन में सिस्टम की प्रतिक्रिया दो भाग प्रतिक्रियाओं का संकल्प है। एक न्यूनतम चरण और एक सामान्य स्थानांतरण फ़ंक्शन के बीच का अंतर यह है कि एक न्यूनतम चरण प्रणाली में रों विमान प्रतिनिधित्व के बाएं आधे हिस्से में (क्रमशः असतत समय में, यूनिट सर्कल के अंदर) इसके ट्रांसफर फ़ंक्शन के सभी पोल और शून्य होते हैं। जेड-प्लेन)। चूंकि एक सिस्टम फ़ंक्शन को उलटने से पोल (जटिल विश्लेषण) शून्य (जटिल विश्लेषण) में बदल जाता है और इसके विपरीत, और दाहिनी ओर (एस-प्लेन काल्पनिक रेखा) या बाहर (कॉम्प्लेक्स प्लेन | जेड-प्लेन यूनिट सर्कल) पर पोल होता है। बीआईबीओ स्थिरता रैखिक प्रणालियों के लिए जटिल विमान का नेतृत्व, केवल न्यूनतम चरण प्रणालियों का वर्ग उलटा के तहत बंद है। सहजता से, एक सामान्य कारण प्रणाली का न्यूनतम चरण भाग न्यूनतम समूह विलंब के साथ अपनी आयाम प्रतिक्रिया को लागू करता है, जबकि इसके सभी-पास फ़िल्टर भाग उलटा प्रणाली फ़ंक्शन के अनुरूप होने के लिए अकेले अपने चरण प्रतिक्रिया को ठीक करता है।

ध्रुवों और शून्यों के संदर्भ में विश्लेषण केवल स्थानांतरण कार्यों के मामले में सटीक है जिसे बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। निरंतर समय के मामले में, ऐसी प्रणालियाँ पारंपरिक, आदर्श गांठ वाले तत्व मॉडल के नेटवर्क में तब्दील हो जाती हैं। असतत समय में, वे जोड़, गुणन और इकाई विलंब का उपयोग करके आसानी से सन्निकटन में अनुवाद करते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों मामलों में, बढ़ते क्रम के साथ तर्कसंगत रूप के सिस्टम फ़ंक्शंस का उपयोग किसी रैखिक प्रणाली फ़ंक्शन को कुशलता से अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है; इस प्रकार यहां तक ​​​​कि सिस्टम फ़ंक्शंस में एक तर्कसंगत रूप की कमी है, और इसलिए ध्रुवों और/या शून्यों की अनंतता को व्यवहार में किसी अन्य के रूप में कुशलता से लागू किया जा सकता है।

कार्य-कारण, स्थिर प्रणालियों के संदर्भ में, हम सैद्धांतिक रूप से यह चुनने के लिए स्वतंत्र होंगे कि क्या सिस्टम फ़ंक्शन के शून्य स्थिर सीमा के बाहर हैं (दाईं ओर या बाहर) यदि बंद करने की स्थिति कोई समस्या नहीं थी। हालाँकि, व्युत्क्रम प्रणाली का बड़ा व्यावहारिक महत्व है, जैसे सैद्धांतिक रूप से सही गुणनखंड अपने आप में हैं। (Cf. अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में स्पेक्ट्रल सममित/एंटीसिमेट्रिक अपघटन, उदाहरण के लिए हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म तकनीक।) कई भौतिक प्रणालियाँ भी स्वाभाविक रूप से न्यूनतम चरण प्रतिक्रिया की ओर प्रवृत्त होती हैं, और कभी-कभी समान बाधा का पालन करने वाली अन्य भौतिक प्रणालियों का उपयोग करके उलटा होना पड़ता है।

अंतर्दृष्टि नीचे दी गई है कि इस प्रणाली को न्यूनतम-चरण क्यों कहा जाता है, और मूल विचार तब भी क्यों लागू होता है जब सिस्टम फ़ंक्शन को एक तर्कसंगत रूप में नहीं डाला जा सकता है जिसे लागू किया जा सकता है।

उलटा प्रणाली

एक प्रणाली $\mathbb {H}$ उलटा है अगर हम इसके आउटपुट से इसके इनपुट को विशिष्ट रूप से निर्धारित कर सकते हैं। यानी, हम एक प्रणाली पा सकते हैं $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ ऐसे कि अगर हम आवेदन करते हैं $\mathbb {H}$ के बाद $\mathbb {H} _{\text{inv}}$, हम पहचान प्रणाली प्राप्त करते हैं $\mathbb {I}$. (परिमित-आयामी एनालॉग के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स देखें)। वह है,

$$\mathbb {H} _{\text{inv}}\,\mathbb {H} =\mathbb {I}$$

लगता है कि ${\tilde {x}}$ सिस्टम का इनपुट है $\mathbb {H}$ और आउटपुट देता है ${\tilde {y}}$.

$$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}$$

उलटा प्रणाली लागू करना $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ को ${\tilde {y}}$ निम्नलिखित देता है

$$\mathbb {H} _{\text{inv}}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}$$

तो हम देखते हैं कि उलटा सिस्टम $\mathbb {H} _{inv}$ हमें विशिष्ट रूप से इनपुट निर्धारित करने की अनुमति देता है ${\tilde {x}}$ आउटपुट से ${\tilde {y}}$.

असतत समय उदाहरण

मान लीजिए कि सिस्टम $\mathbb {H}$ आवेग प्रतिक्रिया द्वारा वर्णित एक असतत-समय, एलटीआई प्रणाली सिद्धांत | रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली है $h(n)$ के लिए n में Z. इसके अतिरिक्त, मान लीजिए $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ आवेग प्रतिक्रिया है $h_{\text{inv}}(n)$. दो LTI सिस्टम का कैस्केड एक कनवल्शन है। इस मामले में, उपरोक्त संबंध निम्न है:

$$(h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{\text{inv}}(n-k)=\delta (n)$$

कहाँ $\delta (n)$ अलग-अलग समय के मामले में क्रोनकर डेल्टा या पहचान मैट्रिक्स प्रणाली है। (के क्रम में परिवर्तन $h_{\text{inv}}$ और $h$ कनवल्शन ऑपरेशन की कम्यूटेटिविटी के कारण अनुमति दी जाती है।) ध्यान दें कि यह उलटा सिस्टम है $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।

न्यूनतम चरण प्रणाली

जब हम कार्य-कारण और बीआईबीओ स्थिरता की बाधाओं को लागू करते हैं, तो उलटा सिस्टम अद्वितीय होता है; और प्रणाली $\mathbb {H}$ और इसका उलटा $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ न्यूनतम चरण कहलाते हैं। असतत-समय के मामले में कार्य-कारण और स्थिरता की बाधाएँ निम्नलिखित हैं (समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए जहाँ h सिस्टम की आवेग प्रतिक्रिया है):

कारणता

$$h(n)=0\,\,\forall \,n<0$$

और

$$h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0$$

स्थिरता

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty$$

और

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{\text{inv}}(n)\right|}=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty$$

निरंतर-समय के मामले के लिए समान स्थितियों के लिए BIBO स्थिरता पर आलेख देखें।

आवृत्ति विश्लेषण

असतत-समय आवृत्ति विश्लेषण

असतत-समय के मामले के लिए आवृत्ति विश्लेषण करना कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान करेगा। समय-डोमेन समीकरण निम्नलिखित है:

$$(h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n)$$

जेड को बदलने लागू करने से जेड-डोमेन में निम्नलिखित संबंध मिलता है

$$H(z)\,H_{\text{inv}}(z)=1$$

इस संबंध से हमें इसका एहसास होता है

$$H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}$$

सादगी के लिए, हम केवल तर्कसंगत फ़ंक्शन स्थानांतरण प्रकार्य के मामले पर विचार करते हैं H(z). कार्य-कारण और स्थिरता का अर्थ है कि सभी ध्रुव (जटिल विश्लेषण)। H(z) पूरी तरह से यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए (BIBO स्थिरता#डिस्क्रीट-टाइम सिग्नल देखें)। कल्पना करना

$$H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}$$

कहाँ A(z) और D(z) में बहुपद हैं z. कार्य-कारण और स्थिरता का अर्थ है कि शून्य (जटिल विश्लेषण) - के कार्यों की जड़ D(z) - पूरी तरह से यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए। हम यह भी जानते हैं

$$H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}$$

तो, कारणता और स्थिरता के लिए $H_{\text{inv}}(z)$ इसका मतलब है कि इसकी पोल (जटिल विश्लेषण) - की जड़ें A(z) - यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए। इन दो बाधाओं का अर्थ है कि न्यूनतम चरण प्रणाली के शून्य और ध्रुव दोनों को यूनिट सर्कल के अंदर सख्ती से होना चाहिए।

निरंतर-समय आवृत्ति विश्लेषण

निरंतर-समय के मामले का विश्लेषण एक समान तरीके से आगे बढ़ता है सिवाय इसके कि हम आवृत्ति विश्लेषण के लिए लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करते हैं। समय-डोमेन समीकरण निम्नलिखित है।

$$(h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t)$$

कहाँ $\delta (t)$ डिराक डेल्टा समारोह है। डायराक डेल्टा फ़ंक्शन निरंतर-समय के मामले में पहचान ऑपरेटर है क्योंकि किसी भी संकेत के साथ सिफ्टिंग संपत्ति है x(t).

$$(\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)$$

लाप्लास रूपांतरण लागू करने से एस-प्लेन में निम्न संबंध मिलता है।

$$H(s)\,H_{\text{inv}}(s)=1$$

इस संबंध से हमें इसका एहसास होता है

$$H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}$$

फिर से, सादगी के लिए, हम केवल तर्कसंगत फ़ंक्शन ट्रांसफर फ़ंक्शन के मामले पर विचार करते हैं H(s). कार्य-कारण और स्थिरता का अर्थ है कि सभी ध्रुव (जटिल विश्लेषण)। H(s) बाएँ-आधे एस-प्लेन के अंदर सख्ती से होना चाहिए (BIBO स्थिरता#निरंतर-समय के संकेत देखें)। कल्पना करना

$$H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}$$

कहाँ A(s) और D(s) में बहुपद हैं s. कार्य-कारण और स्थिरता का अर्थ है कि ध्रुव (जटिल विश्लेषण) - एक कार्य की जड़ D(s) - बाएं-आधे एस-प्लेन के अंदर होना चाहिए। हम यह भी जानते हैं

$$H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}.$$

तो, कारणता और स्थिरता के लिए $H_{\text{inv}}(s)$ इसका मतलब है कि इसकी पोल (जटिल विश्लेषण) - की जड़ें A(s) - बाएं-आधे एस-प्लेन के अंदर सख्ती से होना चाहिए। इन दो बाधाओं का अर्थ है कि न्यूनतम चरण प्रणाली के दोनों शून्य और ध्रुव बाएं-आधे एस-प्लेन के अंदर कड़ाई से होना चाहिए।

चरण प्रतिक्रिया के परिमाण प्रतिक्रिया का संबंध

See also: Kramers–Kronig relations § Magnitude (gain)–phase relation

एक न्यूनतम-चरण प्रणाली, चाहे असतत-समय या निरंतर-समय, में एक अतिरिक्त उपयोगी संपत्ति होती है जो आवृत्ति प्रतिक्रिया के परिमाण का प्राकृतिक लघुगणक (नेपर्स में मापा गया लाभ जो डेसिबल के समानुपाती होता है) के चरण कोण से संबंधित होता है हिल्बर्ट रूपांतरण द्वारा आवृत्ति प्रतिक्रिया (कांति में मापी गई)। यानी निरंतर समय के मामले में, चलो

$$H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }$$

प्रणाली की जटिल आवृत्ति प्रतिक्रिया हो H(s). फिर, केवल न्यूनतम-चरण प्रणाली के लिए, चरण की प्रतिक्रिया H(s) द्वारा लाभ से संबंधित है

$$\arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace$$

कहाँ ${\mathcal {H}}$ हिल्बर्ट परिवर्तन को दर्शाता है, और, व्युत्क्रम,

$$\log \left(|H(j\omega )|\right)=\log \left(|H(j\infty )|\right)+{\mathcal {H}}\lbrace \arg \left[H(j\omega )\right]\rbrace \ .$$

अधिक कॉम्पैक्ट रूप से कहा गया है, चलो

$$H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}$$

कहाँ $\alpha (\omega )$ और $\phi (\omega )$ एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य हैं। तब

$$\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace$$

और

$$\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\lbrace \phi (\omega )\rbrace \ .$$

हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है

$${\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \ .$$

असतत-समय न्यूनतम-चरण प्रणालियों के लिए एक समान संगत संबंध भी सही है।

समय डोमेन में न्यूनतम चरण

सभी कारण और बीआईबीओ स्थिरता प्रणालियों के लिए जिनकी आवृत्ति प्रतिक्रिया समान होती है, न्यूनतम चरण प्रणाली में इसकी ऊर्जा आवेग प्रतिक्रिया की शुरुआत के पास केंद्रित होती है। यानी, यह निम्नलिखित कार्य को कम करता है जिसे हम आवेग प्रतिक्रिया में ऊर्जा की देरी के रूप में सोच सकते हैं।

$$\sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\quad \forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}$$

न्यूनतम समूह विलंब के रूप में न्यूनतम चरण

समान आवृत्ति प्रतिक्रिया वाले सभी कारणात्मक और BIBO स्थिरता प्रणालियों के लिए, न्यूनतम चरण प्रणाली में न्यूनतम समूह विलंब होता है। निम्न प्रमाण न्यूनतम समूह विलंब के इस विचार को दर्शाता है।

मान लीजिए हम एक शून्य पर विचार करते हैं (जटिल विश्लेषण) $a$ स्थानांतरण समारोह का $H(z)$. आइए इस शून्य को रखें (जटिल विश्लेषण) $a$ यूनिट सर्कल के अंदर ($\left|a\right|<1$) और देखें कि समूह विलंब कैसे प्रभावित होता है।

$$a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)$$

शून्य के बाद से (जटिल विश्लेषण) $a$ कारक योगदान देता है $1-az^{-1}$ स्थानांतरण समारोह के लिए, इस शब्द द्वारा योगदान दिया गया चरण निम्नलिखित है।

$${\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}$$

$\phi _{a}(\omega )$ समूह विलंब में निम्नलिखित योगदान देता है।

$${\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}$$

भाजक और $\theta _{a}$ शून्य को प्रतिबिंबित करने के लिए अपरिवर्तनीय हैं (जटिल विश्लेषण) $a$ यूनिट सर्कल के बाहर, यानी, की जगह $a$ साथ $(a^{-1})^{*}$. हालाँकि, प्रतिबिंबित करके $a$ यूनिट सर्कल के बाहर, हम का परिमाण बढ़ाते हैं $\left|a\right|$ अंश में। इस प्रकार, होने $a$ यूनिट सर्कल के अंदर कारक द्वारा योगदान किए गए समूह विलंब को कम करता है $1-az^{-1}$. हम इस परिणाम को एक से अधिक शून्य (जटिल विश्लेषण) के सामान्य मामले में बढ़ा सकते हैं क्योंकि प्रपत्र के गुणात्मक कारकों का चरण $1-a_{i}z^{-1}$ योज्य है। यानी, ट्रांसफर फंक्शन के साथ $N$ शून्य (जटिल विश्लेषण) एस,

$$\operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)$$

इसलिए, यूनिट सर्कल के अंदर सभी शून्य (जटिल विश्लेषण) के साथ एक न्यूनतम चरण प्रणाली समूह विलंब को कम करती है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति शून्य (जटिल विश्लेषण) के समूह विलंब को कम किया जाता है।

उपरोक्त कलन का चित्रण। ऊपर और नीचे समान लाभ प्रतिक्रिया वाले फ़िल्टर हैं (बाईं ओर: Nyquist आरेख, दाईं ओर: चरण प्रतिक्रियाएं), लेकिन शीर्ष पर फ़िल्टर के साथ $a=0.8<1$ चरण प्रतिक्रिया में सबसे छोटा आयाम है।

गैर-न्यूनतम चरण

ऐसी प्रणालियाँ जो कारणात्मक और स्थिर हैं जिनके व्युत्क्रम कारणात्मक और अस्थिर हैं, उन्हें गैर-न्यूनतम-चरण प्रणाली के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए गैर-न्यूनतम चरण प्रणाली में समतुल्य परिमाण प्रतिक्रिया के साथ न्यूनतम-चरण प्रणाली की तुलना में अधिक चरण योगदान होगा।

अधिकतम चरण

अधिकतम चरण प्रणाली न्यूनतम चरण प्रणाली के विपरीत है। एक कारणात्मक और स्थिर LTI प्रणाली एक अधिकतम-चरण प्रणाली है यदि इसका व्युत्क्रम कारणात्मक और अस्थिर है। वह है,

• डिस्क्रीट-टाइम सिस्टम के शून्य यूनिट सर्कल के बाहर हैं।
• निरंतर-समय प्रणाली के शून्य जटिल तल के दाईं ओर हैं।

ऐसी प्रणाली को अधिकतम-चरण प्रणाली कहा जाता है क्योंकि इसमें सिस्टम के सेट का अधिकतम समूह विलंब होता है जिसकी समान परिमाण प्रतिक्रिया होती है। समान-परिमाण-प्रतिक्रिया प्रणालियों के इस सेट में, अधिकतम चरण प्रणाली में अधिकतम ऊर्जा विलंब होगा।

उदाहरण के लिए, स्थानांतरण कार्यों द्वारा वर्णित दो निरंतर-समय एलटीआई सिस्टम

$${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}$$

समतुल्य परिमाण प्रतिक्रियाएं हैं; हालाँकि, दूसरी प्रणाली का चरण बदलाव में बहुत बड़ा योगदान है। इसलिए, इस सेट में, दूसरी प्रणाली अधिकतम-चरण प्रणाली है और पहली प्रणाली न्यूनतम-चरण प्रणाली है। इन प्रणालियों को प्रसिद्ध रूप से गैर-न्यूनतम-चरण प्रणालियों के रूप में भी जाना जाता है जो नियंत्रण में कई स्थिरता चिंताओं को उठाती हैं। इन प्रणालियों का एक हालिया समाधान पीएफसीडी विधि का उपयोग करके आरएचपी शून्य को एलएचपी में ले जा रहा है।

मिश्रित चरण

एक मिश्रित-चरण प्रणाली में इसके कुछ शून्य (जटिल विश्लेषण) यूनिट सर्कल के अंदर होते हैं और अन्य यूनिट सर्कल के बाहर होते हैं। इस प्रकार, इसका समूह विलंब न तो न्यूनतम या अधिकतम है, बल्कि कहीं न कहीं न्यूनतम और अधिकतम चरण समतुल्य प्रणाली के समूह विलंब के बीच है।

उदाहरण के लिए, ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा वर्णित निरंतर-समय एलटीआई प्रणाली

$${\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$$

स्थिर और कारण है; हालाँकि, इसमें जटिल तल के बाएँ और दाएँ दोनों ओर शून्य हैं। इसलिए, यह एक मिश्रित चरण प्रणाली है। इन प्रणालियों को शामिल करने वाले स्थानांतरण कार्यों को नियंत्रित करने के लिए कुछ तरीके जैसे आंतरिक मॉडल नियंत्रक (IMC), सामान्यीकृत स्मिथ के भविष्यवक्ता (जीएसपी) और व्युत्पन्न (पीएफसीडी) के साथ समानांतर फीडफॉर्वर्ड नियंत्रण प्रस्तावित हैं।

रैखिक चरण

एक रेखीय चरण | रैखिक-चरण प्रणाली में निरंतर समूह विलंब होता है। गैर-तुच्छ रैखिक चरण या लगभग रैखिक चरण प्रणाली भी मिश्रित चरण हैं।

यह भी देखें

• ऑल-पास फिल्टर – एक विशेष गैर-न्यूनतम-चरण मामला।
• क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध – भौतिकी में न्यूनतम चरण प्रणाली

अग्रिम पठन

• Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
• Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6