त्रिकोणीय श्रेणी

गणित में, त्रिकोणीय श्रेणी ऐसी श्रेणी (गणित) है जिसमें किसी अनुवाद को विभिन्न स्थितियों के कारण इसकी अतिरिक्त संरचना और सटीक त्रिकोणों के वर्ग को सम्मिलित करने के लिए उपयोग किया जाता हैं। इसका प्रमुख उदाहरण एबेलियन श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी के साथ-साथ स्थिर होमोटोपी श्रेणी भी हैं। इसके सटीक त्रिकोण एबेलियन श्रेणी में लघु सटीक अनुक्रम के साथ-साथ टोपोलॉजिकल श्रेणी के फ़िब्रेशन अनुक्रम और कोफाइूप को सामान्यीकृत करने की स्थिति भी सम्मिलित हैं।

समरूप बीजगणित का अधिकांश भाग त्रिभुजित श्रेणियों की भाषा द्वारा स्पष्ट और विस्तारित किया जाता हैं, इसका महत्वपूर्ण उदाहरण शेफ कोहोलॉजी का सिद्धांत है। 1960 के दशक में, त्रिकोणीय श्रेणियों का विशिष्ट उपयोग स्थान X पर समूहों के गुणों का विस्तार करने के लिए था, जो X पर समूहों की व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुओं के रूप में देखा जाता था। वर्तमान समय में, त्रिकोणीय श्रेणियां अपने आप में उपयोग हो गई हैं। इस प्रकार की विभिन्न उत्पत्तियों की त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच कई अन्तर को सिद्ध या अनुमानित कर दिया गया हैं। उदाहरण के लिए, समरूप दर्पण समरूपता अनुमान भविष्यवाणी करता है कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड की व्युत्पन्न श्रेणी अपने दर्पण के सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड की श्रेणी के समान निर्गित किया गया है।

इतिहास

डाइटर पप्पे (1962) और जीन लुइस वेर्डियर (1963) द्वारा त्रिकोणीय श्रेणियों को स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत किया गया था, चूंकि डाइटर पप्पे के स्वयं सिद्ध अधिकार (ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध (टीआर 4) की कमी) कम थे । इस कारण पप्पे स्थिर होमोटॉपी श्रेणी से प्रेरित थे। वेर्डियर का प्रमुख उदाहरण एबेलियन श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी थी, जिसे उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के विचारों को विकसित करते हुए भी परिभाषित किया। व्युत्पन्न श्रेणियों के प्रारंभिक अनुप्रयोगों में सुसंगत द्वैत और वर्डीयर द्वैत सम्मिलित थे, जो पॉइंकेयर द्वैत को एकवचन स्थानों तक विस्तारित करता है।

परिभाषा

इस प्रकार की श्रेणी को 'डी' पर होने वाले परिवर्तन या अनुवाद फ़ंक्टर योगात्मक ऑटोमोर्फिज़्म है (या कुछ लेखकों के लिए, श्रेणियों का ऑटो-तुल्यता) $\Sigma$ डी से डी तक किया जाता हैं। इस प्रकार लिखना अधिक सरल है, जो पूर्णांक n के लिए $X[n]=\Sigma ^{n}X$ इस प्रकार हैं।

किसी 'त्रिभुज' (X, Y, Z, u, v, w) तीन वस्तुओं X, Y, और Z से बना है, साथ में संरचना के साथ $u\colon X\to Y$, $v\colon Y\to Z$ और $w\colon Z\to X[1]$ त्रिभुजों को सामान्यतः बिना सही किये हुए लिखा जाता है:

$X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w} X[1],$

या

$X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w}$

एक त्रिकोणीय श्रेणी योगात्मक श्रेणी 'डी' है जिसमें अनुवाद फ़ैक्टर और त्रिभुजों का वर्ग होता है, जिसे सटीक त्रिकोण कहा जाता है (या विशिष्ट त्रिकोण), निम्नलिखित गुणों (टीआर 1), (टीआर 2), (टीआर 3) और (टीआर 4) को संतुष्ट करते हैं। (ये स्वयंसिद्ध पूर्ण रूप से स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि (TR 3) दूसरों से प्राप्त किए जा सकते हैं।)

टीआर 1

• प्रत्येक वस्तु X के लिए, निम्न त्रिभुज सटीक है:

$X{\overset {\text{id}}{\to }}X\to 0\to X[1]$

• हर संरचना परिवर्तन के लिए $u\colon X\to Y$, वस्तु Z है (जिसे संरचना u का 'शंकु' या 'कोफाइबर' कहा जाता है) सटीक त्रिकोण में फ़िट हो रहा है

$X\xrightarrow {{} \atop u} Y\to Z\to X[1]$

शंकु नाम शृंखला परिसरों के मानचित्र के मानचित्रण शंकु (होमोलॉजिकल बीजगणित) से आता है, जो इसके स्थान पर टोपोलॉजी में मानचित्रण शंकु (टोपोलॉजी) से प्रेरित था। यह अन्य स्वयंसिद्धि से अनुसरण करता है कि सटीक त्रिकोण (और विशेष रूप से वस्तु Z) संरचना परिवर्तन द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, इस प्रकार $X\to Y$, चूंकि सदैव अद्वितीय समरूपता तक नहीं हैं।

• हर त्रिकोण सटीक त्रिकोण के लिए समरूप है। इसका अर्थ है कि यदि

$X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w} X[1]$

एक सटीक त्रिकोण है, और $f\colon X\to X'$, $g\colon Y\to Y'$, और $h\colon Z\to Z'$ समरूपता को प्रकट करता हैं, तो

$X'\xrightarrow {guf^{-1}} Y'\xrightarrow {hvg^{-1}} Z'\xrightarrow {f[1]wh^{-1}} X'[1]$

इस कारण यह भी सटीक त्रिभुज है।

टीआर 2

यदि

$X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w} X[1]$

इसके लिए यह एक सटीक त्रिभुज है, तो दो घुमाए गए त्रिभुजों में भी सम्मिलित हैं।

$Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w} X[1]\xrightarrow {-u[1]} Y[1]$

और

$Z[-1]\xrightarrow {-w[-1]} X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z.\$

अंतिम त्रिकोण को ध्यान में रखते हुए, वस्तु Z[−1] को संरचना परिवर्तन $X\to Y$ का 'फाइबर' कहा जाता है।

दूसरे घुमाए गए त्रिभुज का अधिक जटिल रूप होता है जब $[1]$ और $[-1]$ समरूपतावाद नहीं हैं, इसके अतिरिक्त श्रेणियों के केवल परस्पर व्युत्क्रम तुल्यता हैं, क्योंकि $-w[-1]$ से संरचना परिवर्तन है $Z[-1]$ को $(X[1])[-1]$, और माॅर्फिज्म प्राप्त करने के लिए $[X]$ को किसी व्यक्ति के प्राकृतिक परिवर्तन $(X[1])[-1]\xrightarrow {} X$ के साथ रचना करनी चाहिए। यह संभावित स्वयंसिद्धों के बारे में जटिल प्रश्नों की ओर ले जाता है, जिन्हें प्राकृतिक परिवर्तन करने पर लागू करना पड़ता है, जो $[1]$ और $[-1]$ व्युत्क्रम समकक्षों की जोड़ी में उपलब्ध रहता हैं। इस स्थिति के कारण यह धारणा है कि $[1]$ और $[-1]$ त्रिकोणीय श्रेणी की परिभाषा में पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम समरूपता सामान्य विकल्प है।

टीआर 3

दो सटीक त्रिभुजों और प्रत्येक त्रिभुज में पहले माॅर्फिज्म के बीच के प्रारूप को दिया गया है, वहाँ दो त्रिभुजों में से प्रत्येक में तीसरी वस्तुओं के बीच माॅर्फिज्म सम्मिलित है जो क्रमविनिमेय आरेख बनाता है। यही है, निम्नलिखित आरेख में (जहां दो पंक्तियां सटीक त्रिभुज हैं और f और g माॅर्फिज्म हैं जैसे कि gu = u'f), वहां यह प्रारूप एच के कारण सम्मिलित है (यह आवश्यक नहीं हैं कि अद्वितीय स्थिति में हों) सभी वर्गों की गणना करता है:

टीआर 4: अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध

इसमें $u\colon X\to Y$ और $v\colon Y\to Z$ माॅर्फिज्म बनता हैं, और रचित माॅर्फिज्म $vu\colon X\to Z$ पर विचार करें। टीआर 1 के अनुसार इन तीन रूपों में से प्रत्येक के लिए सटीक त्रिकोण बनाएं गए हैं। इस प्रकार अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध कहता है (मोटे तौर पर) कि तीन मानचित्रण शंकु सटीक त्रिभुज के कोने में बनाए जा सकते हैं जिससे कि सब कुछ परिवर्तित कर दिया जाता हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, सटीक त्रिभुज दिए गए हैं

$X\xrightarrow {u\,} Y\xrightarrow {j} Z'\xrightarrow {k} X[1]$

$Y\xrightarrow {v\,} Z\xrightarrow {l} X'\xrightarrow {i} Y[1]$

$X\xrightarrow {{} \atop vu} Z\xrightarrow {m} Y'\xrightarrow {n} X[1]$,

एक सटीक त्रिकोण सम्मिलित है

$Z'\xrightarrow {f} Y'\xrightarrow {g} X'\xrightarrow {h} Z'[1]$

ऐसा है कि

$l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.$

इस अभिगृहीत को अष्टफलकीय अभिगृहीत कहा जाता है क्योंकि सभी वस्तुओं और संरचना को आरेखित करने से अष्टफलकीय का कंकाल मिलता है, जिसके चार फलक सटीक त्रिभुज हैं। यहाँ प्रस्तुतीकरण वेर्डियर का अपना है, और अष्टफलकीय रेखाचित्र (हार्थशोम 1966) के साथ पूरा होता हुआ दिखाई देता है। निम्नलिखित आरेख में, यू और वी दिए गए संरचना हैं, और प्राथमिक अक्षर विभिन्न मानचित्रों के शंकु हैं (चयनित जिससे कि प्रत्येक सटीक त्रिकोण में एक्स, वाई, और जेड अक्षर हो)। विभिन्न तीरों को [1] के साथ चिह्नित किया गया है यह इंगित करने के लिए कि वे 1 डिग्री के हैं; उदाहरण के लिए Z' से X तक का प्रारूप वास्तव में Z' से X [1] तक है। ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध तब सटीक त्रिभुज बनाने वाले प्रारूप f और g के अस्तित्व पर जोर देता है, और जिससे कि f और g अन्य चेहरों में कम्यूटेटिव त्रिकोण बनाते हैं जिनमें वे सम्मिलित हैं:

इसमें दो अलग-अलग प्रारुप सामने दिखाई देते हैं (बिलिंसन, बर्नस्टेन & डेलिग्न 1982) ((गेल्फैंड & मेनिन 2006) पहले वाले को भी प्रस्तुत करें)। पहला उपरोक्त ऑक्टाहेड्रोन के ऊपरी और निचले पिरामिड को प्रस्तुत करता है और प्रमाणित करता है कि निचला पिरामिड दिया गया है, कोई ऊपरी पिरामिड में भर सकता है जिससे कि Y से Y' और Y' से Y तक के दो रास्ते बराबर हों (यह स्थिति छोड़ दिया गया है, संभवतः ग़लती से, हार्टशोर्न की प्रस्तुति से)। चिन्हित + त्रिभुज क्रमविनिमेय हैं और जो चिन्हित d सटीक हैं:

इसका दूसरा आरेख अधिक नवीन प्रस्तुति करता है। इस प्रकार सटीक त्रिकोणों को रैखिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है, और आरेख इस तथ्य पर जोर देता है कि ऑक्टाहेड्रोन में चार त्रिकोण त्रिभुजों के प्रारूपों की श्रृंखला से जुड़े होते हैं, जहां तीन त्रिकोण (अर्थात्, जो X से Y तक, Y से Z तक संरचना को पूरा करते हैं, और X से Z तक) दिए गए हैं और चौथे के अस्तित्व को प्रमाणित किया गया है। पहले दो के बीच से एक्स के बारे में घूमता है, तीसरे से जेड के बारे में घूमता है, और चौथे से एक्स के बारे में घूमता है। इस आरेख में सभी बाड़े क्रमविनिमेय हैं (त्रिकोण और वर्ग दोनों) अपितु अन्य क्रमविनिमेय वर्ग, Y' से Y तक दो पथों की समानता को व्यक्त करते हुए, स्पष्ट नहीं है। किनारे की ओर इंगित करते हुए सभी तीर डिग्री 1 हैं:

यह अंतिम चित्र अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध की उपयोगी सहज व्याख्या को भी दर्शाता है। त्रिभुजित श्रेणियों में, त्रिभुज सटीक अनुक्रम की भूमिका निभाते हैं, और इसलिए इन वस्तुओं को भागफल के रूप में सोचना विचारोत्तेजक है, इस कारण $Z'=Y/X$ और $Y'=Z/X$ शब्दों में, अंतिम त्रिभुज का अस्तित्व ओर व्यक्त करता है

$X'=Z/Y\$ (त्रिकोण को देखते हुए $Y\to Z\to X'\to$), और

$X'=Y'/Z'$ (त्रिकोण को देखते हुए $Z'\to Y'\to X'\to$)।

इन्हें साथ रखने पर, अष्टफलकीय अभिगृहीत तीसरे तुल्याकारिता प्रमेय को प्रमाणित करता है:

$(Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.$

यदि त्रिकोणीय श्रेणी एबेलियन श्रेणी ए की व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) है, और एक्स, वाई, जेड ए की वस्तुएं हैं जिन्हें डिग्री 0 में केंद्रित परिसरों के रूप में देखा जाता है, और प्रारूप $X\to Y$ और $Y\to Z$ ए में मोनोमोर्फिज़्म हैं, तो डी (ए) में इन संरचना के शंकु वास्तव में ए में ऊपर दिए गए उद्धरणों के लिए आइसोमोर्फिक हैं।

आखिरकार, नीमैन (2001) 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों वाले द्वि-आयामी क्रमविनिमेय आरेख का उपयोग करके अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध बनाता है। (बिलिंसन, बर्नस्टेन & डेलिग्न 1982) अष्टफलकीय अभिगृहीत का सामान्यीकरण भी देते हैं।

गुण

त्रिकोणीय श्रेणी डी के लिए स्वयंसिद्धों के कुछ सरल परिणाम यहां दिए गए हैं।

• एक सटीक त्रिभुज दिया गया है

$X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w} X[1]$

डी में, किन्हीं दो क्रमिक संरचना का संघटन शून्य होता है अर्ताथ, वीयू = 0, डब्ल्यूवी = 0, यू [1] डब्ल्यू = 0, और इसी प्रकार अन्य भी दिए गए हैं।

• एक माॅर्फिज्म दिया $u\colon X\to Y$, टीआर 1 सटीक त्रिभुज को पूरा करने वाले शंकु जेड के अस्तित्व की वास्तविकता दी जाती है। इस कारण यू के कोई भी दो शंकु तुल्याकारी हैं, अपितु तुल्याकारिता सदैव विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

• डी में प्रत्येक एकरूपता प्रत्यक्ष योग का समावेश है, $X\to X\oplus Y$, और प्रत्येक उपसंरचना परिवर्तन प्रक्षेपण है $X\oplus Y\to X$. संबंधित बिंदु यह है कि त्रिकोणीय श्रेणी में संरचना के लिए इंजेक्शन या प्रक्षेप्यता के बारे में बात नहीं करनी चाहिए। हर संरचना परिवर्तन $X\to Y$ यह समरूपता नहीं है जिसमें गैर-शून्य कोकर्नेल Z है (जिसका अर्थ है कि सटीक त्रिभुज है $X\to Y\to Z\to X[1]$) और शून्येतर कर्नेल भी, अर्थात् Z[-1] दिए जाते हैं।

शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता

त्रिकोणीय श्रेणियों के साथ विधियों को जटिलता से प्रदर्शित करने का तथ्य यह है कि शंकु निर्माण क्रियात्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, अंगूठी दी $R$ और विशिष्ट त्रिभुजों का आंशिक प्रारूप${\begin{matrix}R&\to &0&\to &R[+1]&\to \\\downarrow &&\downarrow &&&\\0&\to &R[+1]&\to &R[+1]&\to \end{matrix}}$

इसमें $D^{b}(R)$, दो मानचित्र हैं जो इस आरेख को पूरा करते हैं। यह आइडेंटिटी मैप या ज़ीरो मैप हो सकता है।${\begin{aligned}{\text{id}}:&R[+1]\to R[+1]\\0:&R[+1]\to R[+1]\end{aligned}}$ इस प्रकार दोनों ही क्रमविनिमेय हैं। इसका तथ्य यह है कि दो प्रारूप सम्मिलित हैं, इस तथ्य की छाया है कि त्रिकोणीय श्रेणी उपकरण है जो होमोटॉपी कोलिमिट को एन्कोड करता है। इस समस्या का समाधान अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तावित किया गया था जहां न केवल व्युत्पन्न श्रेणी पर विचार किया जाता है, इसके अतिरिक्त इस श्रेणी पर आरेखों की व्युत्पन्न श्रेणी भी मानी जाती है। ऐसी वस्तु को व्युत्पन्न कहा जाता है।

उदाहरण

1. Vector spaces over a field k form an elementary triangulated category in which X[1] = X for all X. An exact triangle is a sequence $X\to Y\to Z\to X\to Y$ of k-linear maps (writing the same map $X\to Y$ twice) which is exact at X, Y and Z.
2. If A is an additive category (for example, an abelian category), define the homotopy category $K(A)$ to have as objects the chain complexes in A, and as morphisms the homotopy classes of morphisms of complexes. Then $K(A)$ is a triangulated category. The shift X[1] is the complex X moved one step to the left (and with differentials multiplied by −1). An exact triangle in $K(A)$ is a triangle which is isomorphic in $K(A)$ to the triangle $X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]$ associated to some map $f\colon X\to Y$ of chain complexes. (Here ${\text{cone}}(f)$ denotes the mapping cone of a chain map.)
3. The derived category D(A) of an abelian category A is a triangulated category. It is constructed from the category of complexes C(A) by localizing with respect to all quasi-isomorphisms. That is, formally adjoin an inverse morphism for every quasi-isomorphism. The objects of D(A) are unchanged; that is, they are chain complexes. An exact triangle in D(A) is a triangle which is isomorphic in D(A) to the triangle $X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]$ associated to some map $f\colon X\to Y$ of chain complexes.
   A key motivation for the derived category is that derived functors on A can be viewed as functors on the derived category. Some natural subcategories of D(A) are also triangulated categories, for example the subcategory of complexes X whose cohomology objects $H^{i}(X)$ in A vanish for i sufficiently negative, sufficiently positive, or both, called $D^{+}(A),D^{-}(A),D^{\text{b}}(A)$, respectively.
4. In topology, the stable homotopy category $h{\cal {S}}$ is a triangulated category. The objects are spectra, the shift X[1] is the suspension $\Sigma X$ (or equivalently the delooping $\Omega ^{-1}X$), and the exact triangles are the cofiber sequences. A distinctive feature of the stable homotopy category (compared to the unstable homotopy category) is that fiber sequences are the same as cofiber sequences. In fact, in any triangulated category, exact triangles can be viewed as fiber sequences and also as cofiber sequences.
5. In modular representation theory of a finite group G, the stable module category StMod(kG) is a triangulated category. Its objects are the representations of G over a field k, and the morphisms are the usual ones modulo those that factor via projective (or equivalently injective) kG-modules. More generally, the stable module category is defined for any Frobenius algebra in place of kG.

क्या उत्तम स्वयंसिद्ध हैं?

कुछ विशेषज्ञों को संदेह है^{पृष्ठ 190} (देखें, उदाहरण के लिए, (गेल्फैंड & मेनिन 2006, जानकारी, अध्याय चार)) कि त्रिकोणीय श्रेणियां वास्तव में सही अवधारणा नहीं हैं। आवश्यक कारण यह है कि आकृतिवाद का शंकु केवल गैर-अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है। विशेष रूप से, आकृतिवाद का शंकु सामान्य रूप से संरचना पर क्रियात्मक रूप से निर्भर नहीं करता है (उदाहरण के लिए स्वयंसिद्ध (TR 3) में गैर-विशिष्टता पर ध्यान दें)। यह गैर-विशिष्टता त्रुटियों का संभावित स्रोत है। चूंकि, स्वयंसिद्ध व्यवहार में पर्याप्त रूप से कार्य करते हैं, और उनके अध्ययन के लिए समर्पित साहित्य का बड़ा भाग है।

व्युत्पन्न

एक वैकल्पिक प्रस्ताव 80 के दशक में ग्रोथेंडिक द्वारा पीछा करने वाले समूह में प्रस्तावित डेरिवेटिव का सिद्धांत है^{पृष्ठ 191}, और बाद में 90 के दशक में इस विषय पर उनकी पांडुलिपि में विकसित हुआ था। अनिवार्य रूप से, ये आरेख श्रेणियों द्वारा दी गई होमोटॉपी श्रेणियों की प्रणाली है। इस प्रकार $I\to M$ कमजोर तुल्यता वाले वर्ग के लिए $(M,W)$ के रूप में होता हैं। इस प्रकार ये श्रेणियां तब आरेखों के माॅर्फिज्म से संबंधित हैं $I\to J$ को प्रदर्शित करती हैं। इस औपचारिकता का लाभ होमोटॉपी सीमाओं और कोलिमिट्स को पुनर्प्राप्त करने में सक्षम होने का है, जो शंकु निर्माण को प्रतिस्थापित करता है।

स्थिर ∞-श्रेणियां

निर्मित अन्य विकल्प स्थिर ∞-श्रेणी|स्थिर ∞-श्रेणियों का सिद्धांत है। स्थिर ∞-श्रेणी की होमोटॉपी श्रेणी कैनोनिक रूप से त्रिकोणीय है, और इसके अतिरिक्त मानचित्रण शंकु अनिवार्य रूप से अद्वितीय (एक सटीक समस्थानिक अर्थ में) बन जाते हैं। इसके अतिरिक्त, स्थिर ∞-श्रेणी स्वाभाविक रूप से अपनी होमोटॉपी श्रेणी के लिए अनुकूलता के पूरे पदानुक्रम को कूटबद्ध करती है, जिसके निचले भाग में ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध बैठता है। इस प्रकार, स्थिर ∞-श्रेणी का डेटा देने के लिए इसकी होमोटोपी श्रेणी के त्रिकोणासन के डेटा देने की तुलना में अधिक शक्तिशाली है। इसके अभ्यास में उत्पन्न होने वाली लगभग सभी त्रिकोणीय श्रेणियां स्थिर ∞-श्रेणियों से आती हैं। त्रिकोणीय श्रेणियों का समान (अपितु अधिक विशेष) संवर्धन डीजी-श्रेणी की धारणा है।

कुछ स्थितियों में, स्थिर ∞-श्रेणियाँ या डीजी-श्रेणियाँ त्रिकोणीय श्रेणियों से उत्तम कार्य करती हैं। उदाहरण त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच सटीक फ़ैक्टर की धारणा है, जिसकी चर्चा नीचे की गई है। क्षेत्र के ऊपर समतल योजना प्रक्षेपी प्रकारों वाले एक्स के लिए, सुसंगत समूहों की सीमाबद्ध व्युत्पन्न श्रेणी ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ डीजी-श्रेणी से प्राकृतिक विधियों से आता है। प्रकारों के लिए एक्स और वाई के लिए, एक्स के डीजी-श्रेणी से लेकर वाई तक के प्रत्येक फंक्शनल पर समूहों $X\times Y$ के परिसर से आता है। इस प्रकार फूरियर-मुकाई रूपांतरण द्वारा इसे प्रकट करते हैं। इसके विपरीत, से सटीक फ़ैक्टर का उदाहरण ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ को ${\text{D}}^{\text{b}}(Y)$ है, जो समूहों के परिसर $X\times Y$ से नहीं आता है। इस उदाहरण को देखते हुए, त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच संरचना की सही धारणा ऐसी प्रतीत होती है जो अंतर्निहित डीजी-श्रेणियों (या स्थिर ∞-श्रेणियों) के संरचना से आती है।

त्रिकोणीय श्रेणियों पर स्थिर ∞-श्रेणियों या डीजी-श्रेणियों का अन्य लाभ बीजगणितीय के-सिद्धांत में प्रकट होता है। इसके स्थिर ∞-श्रेणी या डीजी-श्रेणी सी के बीजगणितीय के-सिद्धांत को परिभाषित कर सकता है, एबेलियन समूहों का अनुक्रम दे सकता है $K_{i}(C)$ पूर्णांकों के लिए i को समूह $K_{0}(C)$ सी से जुड़ी त्रिकोणीय श्रेणी के संदर्भ में सरल विवरण है। अपितु उदाहरण से पता चलता है कि डीजी-श्रेणी के उच्च के-समूह सदैव संबंधित त्रिकोणीय श्रेणी द्वारा निर्धारित नहीं होते हैं। इस प्रकार त्रिकोणीय श्रेणी में $K_{0}$ समूह अच्छी तरह से परिभाषित है, अपितु सामान्य रूप से उच्च के-समूह नहीं होते हैं।

दूसरी ओर त्रिकोणीय श्रेणियों का सिद्धांत स्थिर ∞-श्रेणियों या डीजी-श्रेणियों के सिद्धांत से सरल है, और कई अनुप्रयोगों में त्रिकोणीय संरचना पर्याप्त है। उदाहरण बलोच-काटो अनुमान का प्रमाण है, जहां त्रिकोणीय श्रेणियों के स्तर पर कई संगणनाएं की गई थीं, और ∞-श्रेणियों या डीजी-श्रेणियों की अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं थी।

त्रिकोणीय श्रेणियों में कोहोलॉजी

त्रिकोणीय श्रेणियां कोहोलॉजी की धारणा को स्वीकार करती हैं, और प्रत्येक त्रिकोणीय श्रेणी में कोहोलॉजिकल फ़ैक्टरों की बड़ी आपूर्ति होती है। त्रिकोणीय श्रेणी डी से एबेलियन श्रेणी ए के लिए कोहोलॉजिकल फंक्‍टर एफ ऐसा फन्‍क्‍टर है जो प्रत्‍येक सटीक त्रिकोण के लिए है

$X\to Y\to Z\to X[1],\$

क्रम $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ ए में सटीक है। चूंकि सटीक त्रिकोण दोनों दिशाओं में सटीक त्रिकोणों का अनंत अनुक्रम निर्धारित करता है,

$\cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\$

एक कोहोलॉजिकल फ़ैक्टर F वास्तव में एबेलियन श्रेणी A में लंबा सटीक अनुक्रम देता है:

$\cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\$

एक प्रमुख उदाहरण है: त्रिकोणीय श्रेणी डी में प्रत्येक वस्तु बी के लिए, फंक्शन $\operatorname {Hom} (B,{\text{-}})$ और $\operatorname {Hom} ({\text{-}},B)$ कोहोलॉजिकल हैं, एबेलियन समूहों की श्रेणी में मानों के साथ प्रकट होता हैं। (सटीक होने के लिए, बाद वाला विरोधाभासी फ़ैक्टर है, जिसे डी की विपरीत श्रेणी पर फ़ैक्टर के रूप में माना जा सकता है।) अर्ताथ, सटीक त्रिकोण $X\to Y\to Z\to X[1]$ एबेलियन समूहों के दो लंबे सटीक अनुक्रम निर्धारित करें:

$\cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots$

और

$\cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .$

विशेष त्रिकोणीय श्रेणियों के लिए, इन सटीक अनुक्रमों से शीफ कोहोलॉजी, समूह कोहोलॉजी और गणित के अन्य क्षेत्रों में कई महत्वपूर्ण सटीक अनुक्रम मिलते हैं।

कोई नोटेशन का भी उपयोग कर सकता है

$\operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])$

पूर्णांक i के लिए, एबेलियन श्रेणी में एक्स्ट फंक्शन का सामान्यीकरण। इस संकेतन में, ऊपर दिया गया पहला सटीक क्रम लिखा जाएगा:

$\cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\$

एक एबेलियन श्रेणी ए के लिए, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) पर कोहोलॉजिकल फ़ैक्टर का और मूल उदाहरण वस्तु को एक्स $H^{0}(X)$ ए में भेजता है। अर्ताथ सटीक त्रिकोण $X\to Y\to Z\to X[1]$ डी (ए) में ए में लंबा सटीक अनुक्रम निर्धारित करता है:

$\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,$

उसका उपयोग करना $H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)$.

सटीक कारक और समकक्ष

त्रिकोणीय श्रेणी D से त्रिकोणीय श्रेणी E तक सटीक फ़ंक्टर (जिसे त्रिकोणीय फ़ंक्टर भी कहा जाता है) योगात्मक फ़ंक्टर है $F\colon D\to E$ जो इन तरीके से बोलना, अनुवाद के साथ संचार करता है और सटीक त्रिकोणों को सटीक त्रिकोणों में भेजता है। इसके अधिक विस्तार से, सटीक फ़ैक्टर प्राकृतिक परिवर्तन के साथ $\eta \colon F\Sigma \to \Sigma F$ आता है। (जहां पहले $\Sigma$ डी और दूसरे के अनुवाद फ़ैक्टर को दर्शाता है $\Sigma$ ई के अनुवाद फ़ैक्टर को दर्शाता है), जैसे कि जब भी $X\xrightarrow {{} \atop u} Y\xrightarrow {{} \atop v} Z\xrightarrow {{} \atop w} X[1]$ डी में सटीक त्रिकोण होता हैं,

$F(X)\xrightarrow {F(u)} F(Y)\xrightarrow {F(v)} F(Z)\xrightarrow {\eta _{X}F(w)} F(X)[1]$ ई में सटीक त्रिकोण है।

त्रिकोणीय श्रेणियों का 'समतुल्य' सटीक फ़ंक्टर है $F\colon D\to E$ वह भी श्रेणियों की समानता है। इस मामले में, सटीक फ़ैक्टर है $G\colon E\to D$ जैसे कि FG और GF स्वाभाविक रूप से संबंधित पहचान फ़ैक्टरों के लिए आइसोमोर्फिक हैं।

सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणियां

डी को त्रिकोणीय श्रेणी होने दें, जैसे कि इस समूह (आवश्यक नहीं है कि परिमित हो) द्वारा अनुक्रमित प्रत्यक्ष योग डी में सम्मिलित किया जाता हैंं। इस प्रकार डी में वस्तु एक्स को 'कॉम्पैक्ट' कहा जाता है, यदि इस स्थिति ${\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})$ सीधे मान के साथ उपयोग किया जाता है। इसके कारण स्पष्ट रूप से इसका अर्थ है कि वस्तुओं के प्रत्येक परिवार के लिए $Y_{i}$ डी में सेट एस द्वारा अनुक्रमित, एबेलियन समूहों का प्राकृतिक समरूपता $\oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})$ समरूपता है। यह श्रेणी सिद्धांत में कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) की सामान्य धारणा से अलग है, जिसमें केवल उत्पाद के अतिरिक्त सभी कोलिमिट सम्मिलित हैं।

उदाहरण के लिए, स्थिर होमोटॉपी श्रेणी में कॉम्पैक्ट वस्तु $h{\cal {S}}$ परिमित स्पेक्ट्रम है। इस रिंग की व्युत्पन्न श्रेणी में कॉम्पैक्ट वस्तु, या योजना के अर्ध-सुसंगत शीफ|अर्ध-सुसंगत व्युत्पन्न श्रेणी में, आदर्श परिसर है। क्षेत्र पर समतल प्रक्षेप्य प्रकारों एक्स के मामले में, सही परिसरों की श्रेणी Perf (X) को सुसंगत समूहों की बंधी हुई व्युत्पन्न श्रेणी $D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)$ के रूप में भी देखा जा सकता है।

एक त्रिकोणीय श्रेणी डी 'कॉम्पैक्टली जेनरेट' है यदि

• डी में (जरूरी नहीं कि परिमित) सीधा योग किया जाता हैं;
• D में कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स का सेट S है जैसे कि D में प्रत्येक नॉनज़रो ऑब्जेक्ट X के लिए, S में नॉनज़रो मैप के साथ ऑब्जेक्ट Y है $Y[n]\to X$ कुछ पूर्णांक n के लिए।

कई स्वाभाविक रूप से होने वाली बड़ी त्रिकोणीय श्रेणियां कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होती हैं:

• एक रिंग आर पर मॉड्यूल की व्युत्पन्न श्रेणी वस्तु, आर-मॉड्यूल आर द्वारा कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होती है।
• अर्ध-कॉम्पैक्ट संरचना की अर्ध-सुसंगत व्युत्पन्न श्रेणी|क्वैसी-कॉम्पैक्ट अर्ध-पृथक योजना वस्तु द्वारा सघन रूप से उत्पन्न होती है।
• स्थिर होमोटॉपी श्रेणी वस्तु, गोलाकार स्पेक्ट्रम द्वारा सघन रूप से उत्पन्न होती है $S^{0}$.

अम्नोन नीमन ने ब्राउन प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय को किसी भी सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी के लिए सामान्यीकृत किया, जो इस प्रकार है। बता दें कि D सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी है, $H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}$ कोहोलॉजिकल फ़ैक्टर जो उत्पादों के लिए उत्पाद लेता है। तब एच प्रतिनिधित्व योग्य है। (अर्थात्, D की वस्तु W ऐसी है कि $H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)$ सभी एक्स के लिए।) दूसरे संस्करण के लिए, डी को कॉम्पैक्ट रूप से जेनरेट की गई त्रिभुज श्रेणी, टी किसी भी त्रिकोणीय श्रेणी होने दें। यदि सटीक फ़ैक्टर $F\colon D\to T$ कोप्रोडक्ट्स को कोप्रोडक्ट्स भेजता है, तो एफ के पास सहायक कारक है।

त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच विभिन्न प्रकार्यों को परिभाषित करने के लिए ब्राउन प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से, नीमन ने असाधारण व्युत्क्रम छवि फ़ैक्टर के निर्माण को सरल और सामान्य बनाने के लिए इसका उपयोग किया $f^{!}$ योजना (गणित) के संरचना f के लिए, सुसंगत द्वैत सिद्धांत की केंद्रीय विशेषता को प्रदर्शित करता हैं।

टी-संरचना

Main article: टी संरचना

प्रत्येक एबेलियन श्रेणी ए के लिए, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) त्रिकोणीय श्रेणी है, जिसमें ए पूर्ण उपश्रेणी के रूप में होता है। अलग-अलग एबेलियन श्रेणियों में समान व्युत्पन्न श्रेणियां हो सकती हैं, इसलिए ए को डी (ए) से त्रिकोणीय श्रेणी के रूप में पुनर्निर्माण करना सदैव संभव नहीं होता है।

एलेक्जेंडर बेलिंसन, जोसेफ बर्नस्टीन और पियरे डेलिग्ने ने त्रिकोणीय श्रेणी डी पर टी-संरचना की धारणा से इस स्थिति का वर्णन किया हैं। डी पर टी-संरचना डी के अंदर एबेलियन श्रेणी निर्धारित करती है, और डी पर अलग-अलग टी-संरचनाएं अलग-अलग एबेलियन श्रेणियां उत्पन्न कर सकती हैं।

स्थानीयकरण और उपश्रेणियाँ

इस स्थिति में डी त्रिकोणीय श्रेणी है जिसमें प्रत्यक्ष योग हैं। डी का 'स्थानीयकरण उपश्रेणी' पूर्ण रूप से पूर्ण उपश्रेणी त्रिकोणीय उपश्रेणी है जो प्रत्यक्ष मान के अनुसार बंद है। इस प्रकार इस नाम की व्याख्या करने के लिए: यदि सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी डी का स्थानीयकरण उपश्रेणी S वस्तुओं के सेट द्वारा उत्पन्न होता है, तो बाउसफील्ड स्थानीयकरण फ़ैक्टर है $L\colon D\to D$ कर्नेल एस के साथ (अर्थात, D में प्रत्येक वस्तु X के लिए सटीक त्रिभुज है $Y\to X\to LX\to Y[1]$ अर्ध-ऑर्थोगोनल अपघटन स्वीकार्य उपश्रेणी में एस और एलएक्स में वाई के साथ $S^{\perp }$.) उदाहरण के लिए, इस निर्माण में प्राइम नंबर पर स्पेक्ट्रम के टोपोलॉजिकल स्पेस का स्थानीयकरण सम्मिलित है, या स्पेस पर समूहों के जटिल से खुले उपसमुच्चय पर प्रतिबंध है।

छोटी त्रिकोणीय श्रेणियों के लिए समानांतर धारणा अधिक प्रासंगिक है: त्रिकोणीय श्रेणी सी की उपश्रेणी सख्ती से पूर्ण त्रिकोणीय उपश्रेणी है जो प्रत्यक्ष योग के अनुसार बंद है। (यदि सी छद्म-अबेलियन श्रेणी है। इस प्रकार इडेम्पोटेंट-पूर्ण, उपश्रेणी है यदि और केवल यदि यह इडेमपोटेंट-पूर्ण भी है।) स्थानीयकरण उपश्रेणी है। इसलिए यदि S त्रिकोणीय श्रेणी D की स्थानीयकरण उपश्रेणी है, तो उपश्रेणी के साथ S का प्रतिच्छेदन $D^{\text{c}}$ कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स की उपश्रेणी $D^{\text{c}}$ है।

उदाहरण के लिए, डेविनेट्ज-माइकल जे. हॉपकिंस-स्मिथ ने मोरवा के-सिद्धांत के संदर्भ में परिमित स्पेक्ट्रा की त्रिकोणीय श्रेणी की सभी उपश्रेणियों का वर्णन किया था। संपूर्ण स्थिर होमोटॉपी श्रेणी के स्थानीयकरण उपश्रेणियों को वर्गीकृत नहीं किया गया है।

यह भी देखें

• फूरियर-मुकाई रूपांतरण
• छह ऑपरेशन
• विकृत शीफ
• डी-मॉड्यूल
• बेइलिनसन-बर्नस्टीन स्थानीयकरण
• मॉड्यूल स्पेक्ट्रम
• सेमीऑर्थोगोनल अपघटन
• ब्रिजलैंड स्थिरता की स्थिति

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• J. Peter May, The axioms for triangulated categories
• The Stacks Project Authors, The Stacks Project