स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण

स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण (एसपीडीई) आंशिक अंतर समीकरणों को अविभाज्य बल निबंधन और गुणांकों के माध्यम से सामान्यीकृत करते हैं, उसी तरह सामान्य स्टोकास्टिक अंतर समीकरण सामान्य अंतर समीकरणों को सामान्यीकृत करते हैं।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, सांख्यिकीय यांत्रिकी और स्थानिक विश्लेषण के लिए उनकी प्रासंगिकता है।

उदाहरण

सबसे अधिक अध्ययन किए गए एसपीडीई में से एक स्टोकास्टिक गर्मी समीकरण है, जिसे औपचारिक रूप से लिखा जा सकता है

$\partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,$

कहाँ $\Delta$ लाप्लासियन है और $\xi$ अंतरिक्ष-समय वाइट रव को दर्शाता है। अन्य उदाहरणों में प्रसिद्ध रेखीय समीकरणों के स्टोकेस्टिक संस्करण भी शामिल हैं, जैसे तरंग समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण है।

चर्चा

एक कठिनाई उनकी नियमितता की कमी है। एक आयामी अंतरिक्ष में, स्टोकास्टिक गर्मी समीकरण के समाधान अंतरिक्ष में लगभग 1/2-होल्डर निरंतर और समय में 1/4-होल्डर निरंतर होते हैं। आयाम दो और उच्चतर के लिए, समाधान कार्य-मूल्यवान भी नहीं हैं, लेकिन उन्हें यादृच्छिक वितरण (गणित) के रूप में समझा जा सकता है।

एक कठिनाई उनकी नियमितता की कमी है। एक आयामी अंतरिक्ष में, स्टोकास्टिक गर्मी समीकरण के समाधान अंतरिक्ष में लगभग 1/2-होल्डर निरंतर और समय में 1/4-होल्डर निरंतर होते हैं। आयाम दो और उच्चतर के लिए, समाधान कार्य-मूल्यवान भी नहीं हैं, लेकिन उन्हें यादृच्छिक वितरण (गणित) के रूप में समझा जा सकता है।

रैखिक समीकरणों के लिए, आमतौर पर C0-सेमीग्रुप तकनीकों के माध्यम से एक हल्का समाधान खोजा जा सकता है। हालाँकि, गैर-रैखिक समीकरणों पर विचार करने पर समस्याएँ सामने आने लगती हैं। उदाहरण के लिए

$\partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,$

कहाँ $P$ एक बहुपद है। इस मामले में यह भी स्पष्ट नहीं है कि किसी को समीकरण का अर्थ कैसे निकालना चाहिए। इस तरह के समीकरण में एक से बड़े आयाम में फ़ंक्शन-मूल्यवान समाधान भी नहीं होगा, और इसलिए कोई बिंदुवार अर्थ नहीं होगा। यह सर्वविदित है कि वितरण (गणित) के स्थान की कोई उत्पाद संरचना नहीं है। यह इस तरह के सिद्धांत की मूल समस्या है। इससे किसी प्रकार के पुनर्संरचना की आवश्यकता होती है।

कुछ विशिष्ट समीकरणों के लिए ऐसी समस्याओं को दरकिनार करने का एक प्रारंभिक प्रयास तथाकथित दा प्राटो-डेबस्चे ट्रिक था जिसमें ऐसे गैर-रैखिक समीकरणों का अध्ययन करना शामिल था जो रैखिक समीकरणों के क्षोभ के रूप में थे। हालाँकि, इसका उपयोग केवल बहुत ही प्रतिबंधात्मक सेटिंग्स में किया जा सकता है, क्योंकि यह गैर-रैखिक कारक और ड्राइविंग शोर अवधि की नियमितता दोनों पर निर्भर करता है। हाल के वर्षों में, इस क्षेत्र का काफी विस्तार हुआ है, और अब विभिन्न उप-महत्वपूर्ण एसपीडीई के लिए स्थानीय अस्तित्व की गारंटी देने के लिए एक बड़ी मशीनरी मौजूद है।

यह भी देखें

• ब्राउनियन सतह
• कारदार-पेरिसी-झांग समीकरण
• कुशनेर समीकरण
• मल्लियविन पथरी
• बाती उत्पाद
• जकाई समीकरण

अग्रिम पठन

• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010). Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach. Universitext (2nd ed.). New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN 978-0-387-89487-4.

बाहरी संबंध

• "A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations" (PDF). 2006.
• Hairer, Martin (2009). "An Introduction to Stochastic PDEs". arXiv:0907.4178 [math.PR].