मंद विलयन

गणित में, एक साधारण अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण के लिए एक कमजोर समाधान (जिसे सामान्यीकृत समाधान भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसके लिए डेरिवेटिव सभी मौजूद नहीं हो सकते हैं, लेकिन फिर भी कुछ सटीक परिभाषित अर्थों में समीकरण को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है। . कमजोर समाधान की कई अलग-अलग परिभाषाएं हैं, जो विभिन्न वर्गों के समीकरणों के लिए उपयुक्त हैं। सबसे महत्वपूर्ण में से एक वितरण (गणित) की धारणा पर आधारित है।

वितरण की भाषा से बचने के लिए, एक अंतर समीकरण के साथ शुरू होता है और इसे इस तरह से फिर से लिखता है कि समीकरण के समाधान का कोई डेरिवेटिव दिखाई नहीं देता (नए रूप को कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है, और इसके समाधान को कमजोर समाधान कहा जाता है) . कुछ आश्चर्यजनक रूप से, एक अवकल समीकरण के ऐसे हल हो सकते हैं जो अवकलनीय फलन नहीं हैं; और कमजोर सूत्रीकरण किसी को ऐसे समाधान खोजने की अनुमति देता है।

कमजोर समाधान महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वास्तविक दुनिया की घटनाओं के मॉडलिंग में आने वाले कई विभेदक समीकरण पर्याप्त रूप से सहज समाधानों को स्वीकार नहीं करते हैं, और ऐसे समीकरणों को हल करने का एकमात्र तरीका कमजोर सूत्रीकरण का उपयोग करना है। यहां तक ​​कि उन स्थितियों में भी जहां एक समीकरण के अलग-अलग समाधान होते हैं, यह अक्सर पहले कमजोर समाधानों के अस्तित्व को साबित करने के लिए सुविधाजनक होता है और बाद में केवल यह दिखाता है कि वे समाधान वास्तव में काफी सहज हैं।

एक ठोस उदाहरण

अवधारणा के उदाहरण के रूप में, प्रथम-क्रम तरंग समीकरण पर विचार करें:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

(1)

जहाँ u = u(t, x) दो वास्तविक संख्या चरों का फलन है। अप्रत्यक्ष रूप से एक संभावित समाधान यू के गुणों की जांच करने के लिए, इसे एक मनमाने ढंग से सुचारू कार्य के खिलाफ एकीकृत किया जाता है $\varphi \,\!$ कॉम्पैक्ट समर्थन का, जिसे टेस्ट फंक्शन के रूप में जाना जाता है, लेना

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt$

उदाहरण के लिए, यदि $\varphi$ एक बिंदु के पास केंद्रित एक सहज संभाव्यता वितरण है $(t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })$, अभिन्न लगभग है $u(t_{\circ },x_{\circ })$. ध्यान दें कि जबकि इंटीग्रल से जाते हैं $-\infty$ को $\infty$, वे अनिवार्य रूप से एक परिमित बॉक्स के ऊपर हैं जहाँ $\varphi$ गैर-शून्य है।

इस प्रकार, एक समाधान मान लें यू यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'आर' पर निरंतर अलग-अलग है², समीकरण को गुणा करें (1) एक परीक्षण समारोह द्वारा $\varphi$ (कॉम्पैक्ट समर्थन की चिकनी), और एकीकृत करें:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करना जो एक को एकीकरण के क्रम को बदलने की अनुमति देता है, साथ ही भागों द्वारा एकीकरण (पहली अवधि के लिए टी में और दूसरी अवधि के लिए एक्स में) यह समीकरण बन जाता है:

$-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

(2)

(सीमा शर्तों के बाद से गायब हो जाते हैं $\varphi$ एक परिमित बॉक्स के बाहर शून्य है।) हमने वह समीकरण दिखाया है (1) का अर्थ है समीकरण (2) जब तक कि यू निरंतर अवकलनीय है।

कमजोर समाधान की अवधारणा की कुंजी यह है कि ऐसे कार्य मौजूद हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं (2) किसी के लिए $\varphi$, लेकिन इस तरह आप अवकलनीय नहीं हो सकते हैं और इसलिए समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं (1). एक उदाहरण u(t, x) = |t − x| है, जैसा कि क्षेत्रों x ≥ t और x ≤ t पर समाकलों को विभाजित करके जाँचा जा सकता है जहाँ u सुचारू है, और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके उपरोक्त गणना को उल्टा कर सकता है। समीकरण का एक कमजोर समाधान (1) का अर्थ है समीकरण का कोई हल u (2) सभी परीक्षण कार्यों पर $\varphi$.

सामान्य मामला

इस उदाहरण से जो सामान्य विचार आता है, वह यह है कि u में अवकल समीकरण को हल करते समय, एक परीक्षण फलन का उपयोग करके इसे फिर से लिखा जा सकता है। $\varphi$, जैसे कि यू में जो भी डेरिवेटिव समीकरण में दिखाई देते हैं, उन्हें एकीकरण के माध्यम से भागों में स्थानांतरित कर दिया जाता है $\varphi$, जिसके परिणामस्वरूप यू के डेरिवेटिव के बिना समीकरण होता है। यह नया समीकरण उन समाधानों को शामिल करने के लिए मूल समीकरण का सामान्यीकरण करता है जो आवश्यक रूप से अवकलनीय नहीं हैं।

ऊपर वर्णित दृष्टिकोण महान सामान्यता में काम करता है। दरअसल, 'आर' में खुले सेट डब्ल्यू में एक रैखिक अंतर ऑपरेटर पर विचार करें^एन:

$P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),$

जहां बहु सूचकांक (α₁, ए₂, ..., ए_n) एन में कुछ परिमित सेट पर भिन्न होता हैⁿ और गुणांक $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ 'आर' में एक्स के पर्याप्त चिकनी कार्य हैं^एन.

विभेदक समीकरण P(x, ∂)u(x) = 0, एक सहज परीक्षण फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए जाने के बाद $\varphi$ डब्ल्यू में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ और भागों द्वारा एकीकृत, के रूप में लिखा जाए

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

जहां अवकल संकारक Q(x, ∂) सूत्र द्वारा दिया गया है

$Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].$

जो नंबर

$(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

दिखाता है क्योंकि किसी को α की आवश्यकता होती है₁ + ए₂ + ⋯ + ए_n सभी आंशिक डेरिवेटिव को यू से स्थानांतरित करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण $\varphi$ अंतर समीकरण के प्रत्येक पद में, और भागों द्वारा प्रत्येक एकीकरण में -1 से गुणन होता है।

अवकल संकारक Q(x, ∂) P(x, ∂) का 'औपचारिक संलग्न' है (संचालक का cf संलग्न)।

संक्षेप में, यदि मूल (मजबूत) समस्या एक |α|-समय अलग-अलग समारोह को खोजने के लिए थी जिसे खुले सेट डब्ल्यू पर परिभाषित किया गया था जैसे कि

$P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W$

(एक तथाकथित मजबूत समाधान), तो एक पूर्णांक समारोह 'यू' को एक कमजोर समाधान कहा जाएगा यदि

$\int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

हर सुचारू कार्य के लिए $\varphi$ डब्ल्यू में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ।

अन्य प्रकार के कमजोर समाधान

बंटन पर आधारित कमजोर समाधान की धारणा कभी-कभी अपर्याप्त होती है। अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों के मामले में, वितरण के आधार पर कमजोर समाधान की धारणा अद्वितीयता की गारंटी नहीं देती है, और एन्ट्रापी स्थितियों या कुछ अन्य चयन मानदंड के साथ इसे पूरक करना आवश्यक है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण जैसे पूरी तरह से अरैखिक पीडीई में, कमजोर समाधान की एक बहुत अलग परिभाषा है जिसे विस्कोसिटी समाधान कहा जाता है।

संदर्भ

• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.