सममित और वैकल्पिक समूहों के ऑटोमोर्फिज्म

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, सममित समूहों और वैकल्पिक समूहों के ऑटोमोर्फिज़्म और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म दोनों इन ऑटोमोर्फिज़्म के मानक उदाहरण हैं, और अध्ययन की वस्तुएँ अपने आप में, विशेष रूप से S₆ के असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म, 6 तत्वों पर सममित समूह है।

सारांश

$n$	$\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})$	$\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})$
$n\neq 2,6$	$\mathrm {S} _{n}$	$\mathrm {C} _{1}$
$n=2$	$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm {C} _{1}$
$n=6$	$\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {C} _{2}$

$n$	$\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})$	$\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})$
$n\geq 4,n\neq 6$	$\mathrm {S} _{n}$	$\mathrm {C} _{2}$
$n=1,2$	$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm {C} _{1}$
$n=3$	$\mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {C} _{2}$
$n=6$	$\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {V} =\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$

सामान्य स्थिति

• $n\neq 2,6$: $\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}$, और इस तरह $\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}$.

औपचारिक रूप से, $\mathrm {S} _{n}$ पूरा समूह और प्राकृतिक मानचित्र है $\mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})$ एक समरूपता है।

• $n\neq 1,2,6$: $\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}$, और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म एक सम और विषम क्रमपरिवर्तन द्वारा संयुग्मन है।
• $n\neq 2,3,6$: $\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}$

वास्तव में, प्राकृतिक नक्शे $\mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})$ समाकृतिकता हैं।

असाधारण स्थिति

• $n=1,2$: सामान्य :

$\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{1})=\mathrm {C} _{1}$

$\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{2})=\mathrm {C} _{1}$

• $n=3$: $\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm {A} _{3}=\mathrm {C} _{2}$
• $n=6$: $\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}$, और $\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$ एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।
• $n=6$: $\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$, और $\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}.$

S₆ का असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म

सममित समूहों में केवल S₆ एक गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है, जिसे कोई असाधारण वस्तु (असाधारण लाई बीजगणित के अनुरूप) या विदेशी कह सकता है। वास्तव में, आउट (S₆) = C₂.

इसकी खोज 1895 में ओटो होल्डर ने की थी।

बाह्य स्वरूपवाद की विशिष्ट प्रकृति इस प्रकार है:

• एकमात्र पहचान क्रमचय मानचित्र स्वयं के लिए;
• एक 2-चक्र जैसे (1 2) मानचित्र तीन 2-चक्रों के उत्पाद जैसे (1 2)(3 4)(5 6) और इसके विपरीत, प्रत्येक तरह से 15 क्रमपरिवर्तन होते हैं;
• एक 3-चक्र जैसे (1 2 3) दो 3-चक्रों के उत्पाद जैसे (1 4 5) (2 6 3) और इसके विपरीत, प्रत्येक तरह से 40 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
• एक 4-चक्र जैसे (1 2 3 4) अन्य 4-चक्र जैसे कि (1 6 2 4) 9 0 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
• दो 2-चक्रों का उत्पाद जैसे (1 2)(3 4) दो 2-चक्रों के दूसरे उत्पाद जैसे (3 5) (4 6), 45 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
• एक 5-चक्र जैसे (1 2 3 4 5) अन्य 5-चक्रों के लिए मानचित्र जैसे (1 3 6 5 2) 144 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
• 2-चक्र और 3-चक्र जैसे (1 2 3)(4 5) का गुणनफल 6-चक्र जैसे (1 2 5 3 4 6) और इसके विपरीत, प्रत्येक विधि से 120 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन ;
• 2-चक्र और 4-चक्र का गुणनफल जैसे (1 2 3 4)(5 6) अन्य ऐसे क्रमचय के लिए मैप करता है जैसे (1 4 2 6)(3 5) शेष 90 क्रमचय के लिए लेखांकन।

इस प्रकार, 6 तत्वों पर सभी 720 क्रमचय का उत्तरदाई होता है। बाहरी ऑटोमोर्फिज्म सामान्य रूप से चक्र संरचना को संरक्षित नहीं करता है, एकल चक्रों को दो चक्रों के उत्पाद और इसके विपरीत मानचित्रण करता है।

इससे A₆ का एक अन्य बाह्य स्वाकारण भी प्राप्त होता है, और यह परिमित सरल समूह का एकमात्र असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म है: साधारण समूहों के अनंत वर्गों के लिए, बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म की संख्या के लिए सूत्र हैं, और क्रम 360 का सरल समूह, A₆ के रूप में माना जाता है, से चार नहीं किंतु दो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म होने की उम्मीद की जाएगी, ।

चूँकि , जब A₆ PSL(2, 9) के रूप में देखा जाता है, बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह में अपेक्षित क्रम होता है। (छिटपुट समूहों के लिए - जिससे जो एक अनंत वर्ग में नहीं आते हैं - असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म की धारणा गलत परिभाषित है, क्योंकि कोई सामान्य सूत्र नहीं है।)

निर्माण

में सूचीबद्ध कई निर्माण हैं (जानुस्ज़ & रोटमैन 1982).

ध्यान दें कि एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में, यह ऑटोमोर्फिज्म का एक वर्ग है, जो केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म तक ही निर्धारित होता है, इसलिए लिखने के लिए कोई स्वाभाविक नहीं है।

एक विधि है:

• एक विदेशी मानचित्र (एम्बेडिंग) S₅ → S₆ का निर्माण करें या विदेशी_नक्शा
• S₆ इस उपसमूह के छह संयुग्मों पर संयुग्मन द्वारा कार्य करता है, एक नक्शा S₆ → S_X उत्पन्न करता है जहाँ X संयुग्मों का समुच्चय है। संख्या 1, ..., 6 के साथ X की पहचान करना (जो संयुग्मों की संख्या के विकल्प पर निर्भर करता है, अर्थात, S₆ के एक तत्व तक (एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म)) एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म S₆ → S₆.उत्पन्न करता है₆→ एस₆.
• यह नक्शा एक बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म है, क्योंकि स्थानांतरण स्थानांतरण के लिए मैप नहीं करता है, किंतु आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म चक्र संरचना को संरक्षित करता है।

निम्नलिखित के समय , सहसमुच्चयों पर गुणन क्रिया या संयुग्मों पर संयुग्मन क्रिया के साथ काम किया जा सकता है।

यह देखने के लिए कि S₆ में एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है, याद रखें कि समूह G से एक सममित समूह S_n तक होमोमोर्फिज़्म अनिवार्य रूप से n तत्वों के एक समूह पर G की क्रियाओं के समान हैं, और एक बिंदु को ठीक करने वाला उपसमूह तब सूचकांक का एक उपसमूह होता है। G में n इसके विपरीत यदि हमारे पास G में सूचकांक n का एक उपसमूह है, तो कोसेट पर गतिविधि n बिंदुओं पर G की एक सकर्मक क्रिया देती है, और इसलिए S_n के लिए एक समरूपता है ।

ग्राफ विभाजन से निर्माण

अधिक गणितीय कठोर निर्माणों से पहले, यह एक सरल निर्माण को समझने में सहायता करता है।

6 शीर्षों, K₆के साथ एक पूर्ण ग्राफ़ लें इसके 15 किनारे हैं, जिन्हें 15 अलग-अलग विधि से पूर्ण मिलान में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक पूर्ण मिलान तीन किनारों का एक समूह है, जिनमें से दो एक शीर्ष साझा करते हैं। 15 के समूह से 5 पूर्ण मिलानों का एक समूह खोजना संभव है, जैसे कि कोई भी दो मिलान एक बढ़त साझा नहीं करते हैं, और उनके बीच में सभी सम्मिलित हैं 5 × 3 = 15 किनारे सम्मिलित हैं यह ग्राफ के किनारे; यह ग्राफ गुणनखंडन 6 अलग-अलग विधि से किया जा सकता है।

6 शीर्षों के क्रमचय पर विचार करें, और 6 विभिन्न गुणनखंडों पर इसका प्रभाव देखें। हमें 720 इनपुट क्रमपरिवर्तन से 720 आउटपुट क्रमपरिवर्तन तक का नक्शा मिलता है। वह नक्शा ठीक S₆ का बाहरी स्वाकारवाद है.

ऑटोमोर्फिज्म होने के नाते, मानचित्र को तत्वों के क्रम को संरक्षित करना चाहिए, किंतु यह चक्र संरचना को संरक्षित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, तीन 2-चक्रों के उत्पाद के लिए एक 2-चक्र मानचित्र; यह देखना आसान है कि 2-चक्र सभी 6 ग्राफ़ गुणनखंडों को किसी न किसी रूप में प्रभावित करता है, और इसलिए जब गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन के रूप में देखा जाता है तो इसका कोई निश्चित बिंदु नहीं होता है। तथ्य यह है कि इस ऑटोमोर्फिज्म का निर्माण संभव है, बड़ी संख्या में संख्यात्मक संयोगों पर निर्भर करता है जो केवल n = 6 प्रयुक्त होते हैं .

विदेशी नक्शा S₅ → S₆

S₆ का एक उपसमूह (वास्तव में, 6 संयुग्मित उपसमूह) है जो S₅ के लिए अमूर्त रूप से आइसोमोर्फिक है, किंतु जो S₆ के उपसमूहों के रूप में सकर्मक रूप से कार्य करता है 6 तत्वों के एक समूह पर (स्पष्ट मानचित्र S_n → S_n+1 की छवि एक तत्व को ठीक करता है और इस प्रकार सकर्मक नहीं है।)

साइलो 5-उपसमूह

जानुस्ज़ और रोटमैन इसका निर्माण इस प्रकार करते हैं:

• S₆ इसके 6 साइलो उपसमूह साइलो 5-उपसमूहों के समूह पर संयुग्मन द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है, एक एम्बेडिंग S₅ → S₆उत्पन्न करता है₅→ एस₆ क्रम 120 के सकर्मक उपसमूह के रूप में है।

यह 5-चक्रों के निरीक्षण से आता है: प्रत्येक 5-चक्र क्रम 5 का एक समूह उत्पन्न करता है (इस प्रकार एक सिलो उपसमूह), 5!/5 = 120/5 = 24  5-चक्र होते हैं, जो 6 उपसमूह देते हैं (क्योंकि प्रत्येक उपसमूह भी पहचान सम्मिलित है), और S_n किसी दिए गए वर्ग के चक्रों के समूह पर संयुग्मन द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है, इसलिए इन उपसमूहों पर संयुग्मन द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है।

वैकल्पिक रूप से, कोई साइलो प्रमेय का उपयोग कर सकता है, जो सामान्यतः बताता है कि सभी साइलो पी-उपसमूह संयुग्मित हैं।

पीजीएल (2,5)

पांच तत्वों, PGL(2, 5) के साथ परिमित क्षेत्र पर आयाम दो का प्रक्षेपी रैखिक समूह, पांच तत्वों, P¹(F₅) के साथ क्षेत्र पर प्रक्षेपी रेखा पर कार्य करता है, जिसमें छह तत्व होते हैं। इसके अतिरिक्त , यह क्रिया विश्वासयोग्य और 3-सकर्मक है, जैसा कि प्रक्षेपी रेखा पर प्रक्षेपी रेखीय समूह की क्रिया के लिए सदैव होता है। यह एक सकर्मक उपसमूह के रूप में PGL(2, 5) → S₆ का नक्शा देता है। S₅ के साथ PGL(2, 5) की पहचान और A₅ के साथ प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, 5) वांछित विदेशी मानचित्र S₅ → S₆ और A₅ → A₆ प्राप्त करता है।

• क्रमचय समूह के रूप में सामान्य क्रिया;
• प्रक्षेपी रेखा P¹(F₅) के रूप में निर्धारित एक सार 6-तत्व की छह असमान संरचनाएं - रेखा में 6 बिंदु हैं, और प्रक्षेपी रैखिक समूह 3-सकर्मक रूप से कार्य करता है, इसलिए 3 बिंदुओं को ठीक करते हुए, 3 हैं! = शेष 3 बिंदुओं को व्यवस्थित करने के लिए 6 अलग-अलग विधि , जो वांछित वैकल्पिक क्रिया उत्पन्न करते हैं।

फ्रोबेनियस समूह

दूसरा विधि : S₆ के एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का निर्माण करने के लिए, हमें S₆ में सूचकांक 6 का एक "असामान्य" उपसमूह बनाने की आवश्यकता है, दूसरे शब्दों में एक बिंदु को ठीक करने वाले छह स्पष्ट S₅ उपसमूहों में से एक नहीं है (जो सिर्फ S₆ के आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के अनुरूप है)

परिमित क्षेत्र के परिशोधन परिवर्तनों का फ्रोबेनियस समूह | एफ₅(मैप्स X$\mapsto$ax + b जहां a ≠ 0) का क्रम 20 = (5 − 1) ·5 है और 5 तत्वों के साथ क्षेत्र पर कार्य करता है, इसलिए S का एक उपसमूह है₅. (वास्तव में, यह ऊपर बताए गए साइलो 5-समूह का सामान्यीकरण है, जिसे F के अनुवादों के क्रम-5 समूह के रूप में माना जाता है₅.)

F₅ के एफ़िन परिवर्तनों का फ्रोबेनियस समूह (मानचित्र x $\mapsto$ax + b जहां a ≠ 0) का क्रम 20 = (5 − 1) · 5 है और 5 तत्वों के साथ क्षेत्र पर कार्य करता है, इसलिए S₅ का एक उपसमूह है। (वास्तव में , यह ऊपर बताए गए साइलो 5-समूह का सामान्यकर्ता है, जिसे F₅ के अनुवादों के क्रम -5 समूह के रूप में माना जाता है।)

S₅ कोसेट स्पेस पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, जो 120/20 = 6 तत्वों का एक समूह है (या संयुग्मन द्वारा, जो उपरोक्त क्रिया को उत्पन्न करता है)।

अन्य निर्माण

अर्न्स्ट विट ने मैथ्यू समूह M₁₂ (S₆ के लिए एक उपसमूह T आइसोमोर्फिक और एक तत्व σ जो T को सामान्य करता है और बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म द्वारा कार्य करता है) में ऑट (S₆ ) की एक प्रति पाई। इसी तरह S₆ 6 तत्वों के एक समूह पर 2 अलग-अलग विधि से कार्य करता है (बाहरी ऑटोमोर्फिज्म होने पर), M12 12 तत्वों के समूह पर 2 अलग-अलग विधि से कार्य करता है (एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है), चूंकि M₁₂ स्वयं असाधारण है, कोई नहीं करता है इस बाहरी स्वरूपवाद को ही असाधारण मानें।

A₆ का पूर्ण ऑटोमोर्फिज्म समूह मैथ्यू समूह M₁₂ के अधिकतम उपसमूह के रूप में स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है 2 विधि से, या तो एक उपसमूह के रूप में 12 बिंदुओं के विभाजन को 6-तत्व समूहों की एक जोड़ी में तय करना, या एक उपसमूह के रूप में 2 बिंदुओं के उपसमूह को ठीक करना है ।

यह देखने का एक और विधि है कि S₆ इस तथ्य का उपयोग करना है कि A₆ PSL₂₍₉₎ के लिए आइसोमोर्फिक है, जिसका ऑटोमोर्फिज्म समूह प्रक्षेपी सेमिलिनियर समूह PΓL₂(9) है, जिसमें PSL₂(9) सूचकांक 4 का है, जो क्रम 4 के एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह की उपज है। इस ऑटोमोर्फिज्म को देखने का सबसे दृश्य विधि परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से एक व्याख्या देना है, जो इस प्रकार है। S₆ की कार्रवाई पर विचार करें 3 तत्वों के साथ क्षेत्र k पर 6-स्पेस को परिबद्ध करें। यह क्रिया कई चीजों को संरक्षित करती है: हाइपरप्लेन H जिस पर निर्देशांक का योग 0 होता है, H में रेखा L जहां सभी निर्देशांक मेल खाते हैं, और सभी 6 निर्देशांकों के वर्गों के योग द्वारा दिया गया द्विघात रूप q। Q से H के प्रतिबंध में दोष रेखा L है, इसलिए 4-आयामी H/L पर एक प्रेरित द्विघात रूप Q है जो एक जाँच गैर-पतित और गैर-विभाजित है। H/L में Q की शून्य योजना एक चिकनी चतुष्कोणीय सतह X को संबंधित प्रक्षेप्य 3-स्पेस ओवर के में परिभाषित करती है। K के एक बीजगणितीय संवरण पर, X दो प्रक्षेपी रेखाओं का गुणनफल है, इसलिए एक अवरोही तर्क के द्वारा X द्विघात ईटेल बीजगणित K पर प्रक्षेपी रेखा के k के लिए वेल प्रतिबंध है। चूँकि Q, k से विभाजित नहीं है, एक सहायक तर्क k पर विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के साथ K को एक क्षेत्र होने के लिए विवश करता है (k की दो प्रतियों के उत्पाद के अतिरिक्त )। प्राकृतिक एस₆-दृष्टि में सब कुछ पर कार्रवाई S₆ से एक मानचित्र को परिभाषित करती है X के के-ऑटोमोर्फिज्म समूह के लिए, जो PGL₂(K) = PGL₂(9) का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद जी है गाल्वा के आक्रमण के विरुद्ध यह मानचित्र साधारण समूह A₆ को वहन करता है गैर-तुच्छ रूप से उपसमूह PSL₂(9) में (इसलिए पर) अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद जी में सूचकांक 4 का, इसलिए S₆ इसके द्वारा G के एक सूचकांक -2 उपसमूह के रूप में पहचाना जाता है (अर्थात्, PSL₂(9) द्वारा उत्पन्न G का उपसमूह और गैलोज़ इनवोल्यूशन)। S₆के बाहर G के किसी तत्व द्वारा संयुग्मन S₆के गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है.

चकांक 4 का, इसलिए S₆ इसके द्वारा G के एक सूचकांक -2 उपसमूह के रूप में पहचाना जाता है (अर्थात्, PSL₂(9) द्वारा उत्पन्न G का उपसमूह और गैलोज़ इनवोल्यूशन)। S₆के बाहर G के किसी तत्व द्वारा संयुग्मन S₆के गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म को परिभाषित

बाहरी स्वाकारवाद की संरचना

चक्रों पर, यह प्रकार (12) के साथ (12)(34)(56) (कक्षा 2¹ के साथ कक्षा 2³), और प्रकार (123) के साथ (145)(263) (कक्षा 3¹ के साथ वर्ग 3²) के क्रमपरिवर्तन का आदान-प्रदान करता है। बाहरी ऑटोमोर्फिज्म भी प्रकार (12)(345) के साथ (123456) (वर्ग 2¹3¹ वर्ग 6¹ के साथ) के क्रमपरिवर्तन का आदान-प्रदान करता है। S₆ में प्रत्येक अन्य चक्र प्रकार के लिए, बाहरी ऑटोमोर्फिज्म चक्र प्रकार के क्रमपरिवर्तन के वर्ग को ठीक करता है।

A₆ पर, यह 3-चक्रों (जैसे (123)) को कक्षा 3² के तत्वों (जैसे (123)(456)) के साथ बदल देता है।

कोई अन्य बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं

यह देखने के लिए कि अन्य सममित समूहों में से किसी के पास बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, दो चरणों में आगे बढ़ना सबसे आसान है:

1. सबसे पहले, दिखाएँ कि कोई भी ऑटोमोर्फिज्म जो स्थानांतरण के संयुग्मन वर्ग को संरक्षित करता है, एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म है। (इससे यह भी पता चलता है कि S₆ का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म निराला है; नीचे देखें।) ध्यान दें कि एक ऑटोमोर्फिज्म को प्रत्येक संयुग्मन वर्ग (चक्रीय क्रमचय द्वारा विशेषता जो इसके तत्व साझा करते हैं) को एक (संभवतः अलग) संयुग्मी वर्ग में भेजना चाहिए।
2. दूसरा, दिखाएँ कि प्रत्येक ऑटोमोर्फिज़्म (S₆ के लिए उपरोक्त के अतिरिक्त ) स्थानान्तरण के वर्ग को स्थिर करता है।

उत्तरार्द्ध को दो विधि से दिखाया जा सकता है:

• S₆ के अतिरिक्त हर सममित समूह के लिए, क्रम 2 के तत्वों से युक्त कोई अन्य संयुग्मन वर्ग नहीं है जिसमें तत्वों की संख्या उतनी ही हो जितनी कि स्थानांतरण के वर्ग में।
• या इस प्रकार है:

क्रम दो का प्रत्येक क्रमचय (इनवोल्यूशन कहा जाता है) k > 0 असंयुक्त प्रतिस्थापन का एक उत्पाद है, जिससे इसकी चक्रीय संरचना 2^k1^n−2k हो। स्थानापन्न वर्ग (k = 1) के बारे में क्या विशेष है?

यदि कोई दो भिन्न परिवर्तनों τ1 और τ2 का गुणनफल बनाता है, तो उसे सदैव या तो 3-चक्र या 2²1ⁿ⁻⁴, प्रकार का क्रमचय प्राप्त होता है, इसलिए उत्पादित तत्व का क्रम या तो 2 या 3 है। दूसरी ओर, यदि एक प्रकार k> 1 के दो अलग-अलग इनवॉल्यूशन σ1, σ2 का उत्पाद बनाता है, फिर n ≥ 7 प्रदान किया जाता है, निम्नानुसार क्रम 6, 7 या 4 के तत्व का उत्पादन करना सदैव संभव होता है। हम यह व्यवस्था कर सकते हैं कि उत्पाद में कोई भी हो

• दो 2-चक्र और एक 3-चक्र (k = 2 और n ≥ 7 के लिए)
• एक 7-चक्र (k = 3 और n ≥ 7 के लिए)
• दो 4-चक्र (k = 4 और n ≥ 8 के लिए)

K ≥ 5 के लिए, पिछले उदाहरण के क्रमचय σ1, σ2 में जोड़ें जो निरर्थक 2-चक्र हैं जो एक दूसरे को समाप्त करते हैं, और हमें अभी भी दो 4-चक्र मिलते हैं।

अब हम एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं, क्योंकि यदि ट्रांसपोज़िशन का वर्ग ऑटोमोर्फिज़्म f के माध्यम से एक ऐसे इनवॉल्यूशन के वर्ग में भेजा जाता है जिसमें k> 1 है, तो दो ट्रांसपोज़िशन τ₁, τ₂ उपस्थित हैं जैसे कि f(τ₁) f(τ₂) का क्रम है 6, 7 या 4, किंतु हम जानते हैं किτ₁τ₂ का क्रम 2 या 3 है।

S का कोई अन्य बाहरी स्वरूपवाद नहीं₆

एस₆ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का बिल्कुल एक (वर्ग) है: आउट (S₆) = C₂.

इसे देखने के लिए, निरीक्षण करें कि आकार 15 के S₆ के केवल दो संयुग्मन वर्ग हैं: स्थानान्तरण और वर्ग 23 के ऑट (S₆ ) का प्रत्येक तत्व या तो इन संयुग्मन वर्गों में से प्रत्येक को संरक्षित करता है, या उनका आदान-प्रदान करता है। ऊपर निर्मित बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का कोई भी प्रतिनिधि संयुग्मन वर्गों का आदान-प्रदान करता है, जबकि एक सूचकांक 2 उपसमूह ट्रांसपोज़िशन को स्थिर करता है। लेकिन एक ऑटोमोर्फिज़्म जो स्थानांतरण को स्थिर करता है, आंतरिक है, इसलिए आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म ऑट (S₆ ) का एक सूचकांक 2 उपसमूह बनाते हैं, इसलिए आउट (S₆ ) = C₂।

अधिक सारगर्भित: एक ऑटोमोर्फिज़्म जो स्थानांतरण को स्थिर करता है, आंतरिक है, और क्रम 15 (स्थानांतरण और ट्रिपल ट्रांसपोज़िशन) के केवल दो संयुग्मन वर्ग हैं, इसलिए बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह अधिकतम क्रम 2 है।

छोटा एन

सममित

n = 2 के लिए, S₂ = C₂ = Z/2 और ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ है (स्पष्ट रूप से, किंतु अधिक औपचारिक रूप से क्योंकि Aut(Z/2) = GL(1, Z/2) = Z/2* = C₁)। इस प्रकार आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह भी तुच्छ है (क्योंकि S₂ एबेलियन है)।

वैकल्पिक

n = 1 और 2 के लिए, A₁ = A₂ = C₁ तुच्छ है, इसलिए ऑटोमोर्फिज़्म समूह भी तुच्छ है। n = 3 के लिए, A₃ = C₃ = Z/3 एबेलियन (और चक्रीय) है: ऑटोमोर्फिज़्म समूह GL(1, Z/3^*) = C₂ है, और आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह तुच्छ है (क्योंकि यह एबेलियन है)।

संदर्भ

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• Some Thoughts on the Number 6, by John Baez: relates outer ऑटोमोर्फिज़्म to the regular icosahedron
• "12 points in PG(3, 5) with 95040 self-transformations" in "The Beauty of Geometry", by Coxeter: discusses outer ऑटोमोर्फिज़्म on first 2 pages
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