आंशिक आदर्श

गणित में, विशेष रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में, आंशिक आदर्श की अवधारणा को अभिन्न डोमेन के संदर्भ में पेश किया जाता है और डेडेकिंड डोमेन के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। कुछ अर्थों में, एक अभिन्न डोमेन के आंशिक आदर्श आदर्श (रिंग थ्योरी) की तरह होते हैं जहां भाजक की अनुमति होती है। संदर्भों में जहां भिन्नात्मक आदर्श और साधारण अंगूठी आदर्श दोनों चर्चा के अधीन हैं, बाद वाले को कभी-कभी स्पष्टता के लिए 'अभिन्न आदर्श' कहा जाता है।

परिभाषा और मूल परिणाम

होने देना $R$ एक अभिन्न डोमेन बनें, और दें $K=\operatorname {Frac} R$ इसके अंशों का क्षेत्र हो।

का एक भिन्नात्मक आदर्श $R$ एक $R$-सबमॉड्यूल $I$ का $K$ ऐसा है कि वहाँ एक गैर शून्य मौजूद है $r\in R$ ऐसा है कि $rI\subseteq R$. तत्व $r$ में denominators को साफ़ करने के बारे में सोचा जा सकता है $I$, इसलिए नाम भिन्नात्मक आदर्श।

प्रमुख आंशिक आदर्श वे हैं $R$- के सबमॉड्यूल $K$ के एक एकल अशून्य तत्व द्वारा उत्पन्न $K$. एक आंशिक आदर्श $I$ में निहित है $R$ अगर, और केवल अगर, यह एक ('अभिन्न') आदर्श है $R$.

एक आंशिक आदर्श $I$ यदि कोई अन्य भिन्नात्मक गुणजावली हो तो उसे व्युत्क्रमणीय कहा जाता है $J$ ऐसा है कि

$IJ=R$

कहाँ

$IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}$

दो भिन्नात्मक आदर्शों का गुणनफल कहा जाता है)।

इस मामले में, आंशिक आदर्श $J$ विशिष्ट रूप से निर्धारित और सामान्यीकृत आदर्श भागफल के बराबर है

$(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्शों का सेट उपरोक्त उत्पाद के संबंध में एक एबेलियन समूह बनाता है, जहां पहचान इकाई आदर्श है $(1)=R$ अपने आप। इस समूह को के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह कहा जाता है $R$. प्रमुख भिन्नात्मक आदर्श एक उपसमूह बनाते हैं। ए (अशून्य) भिन्नात्मक आदर्श उलटा है अगर, और केवल अगर, यह एक के रूप में प्रक्षेपी मॉड्यूल है $R$-मापांक। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि एक व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श को एक रिंग के स्पेक्ट्रम पर रैंक 1 वेक्टर बंडल (बीजीय ज्यामिति) के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। ${\text{Spec}}(R)$.

प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल | K का अंतिम रूप से उत्पन्न R-सबमॉड्यूल एक भिन्नात्मक आदर्श है और यदि $R$ नोएदरियन वलय है, ये सभी भिन्नात्मक गुणजावली हैं $R$.

डेडेकिंड डोमेन

Dedekind डोमेन में स्थिति बहुत आसान है। विशेष रूप से, प्रत्येक शून्येतर भिन्नात्मक गुणजावली व्युत्क्रमणीय होती है। वास्तव में, यह गुण Dedekind डोमेन की विशेषता बताता है:

एक अभिन्न डोमेन एक Dedekind डोमेन है अगर, और केवल अगर, प्रत्येक गैर-शून्य आंशिक आदर्श व्युत्क्रमणीय है।

Dedekind डोमेन पर भिन्नात्मक आदर्शों का सेट $R$ निरूपित किया जाता है ${\text{Div}}(R)$.

प्रधान भिन्नात्मक आदर्शों के उपसमूह द्वारा भिन्नात्मक आदर्शों का इसका भागफल समूह एक डेडेकिंड डोमेन का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है जिसे आदर्श वर्ग समूह कहा जाता है।

संख्या क्षेत्र

बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के विशेष मामले के लिए $K$ (जैसे कि $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$) वहाँ एक संबद्ध वलय निरूपित है ${\mathcal {O}}_{K}$ के पूर्णांकों का वलय कहा जाता है $K$. उदाहरण के लिए, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ के लिए $d$ वर्ग मुक्त और बराबर $2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)$. इन छल्लों की प्रमुख संपत्ति ${\mathcal {O}}_{K}$ क्या वे Dedekind डोमेन हैं। इसलिए संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले के लिए भिन्नात्मक आदर्शों के सिद्धांत का वर्णन किया जा सकता है। वास्तव में, वर्ग क्षेत्र सिद्धांत क्लास रिंग्स के ऐसे समूहों का अध्ययन है।

संबंधित संरचनाएं

पूर्णांकों की अंगूठी के लिए^{पीजी 2} ${\mathcal {O}}_{K}$ एक संख्या क्षेत्र में, आंशिक आदर्शों का समूह एक निरूपित समूह बनाता है ${\mathcal {I}}_{K}$ और प्रमुख भिन्नात्मक आदर्शों के उपसमूह को निरूपित किया जाता है ${\mathcal {P}}_{K}$. आदर्श वर्ग समूह भिन्नात्मक आदर्शों का समूह है जो प्रमुख भिन्नात्मक आदर्शों को मापता है, इसलिए

${\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}$

और इसकी कक्षा संख्या $h_{K}$ समूह का क्रम है $h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|$. कुछ मायनों में, वर्ग संख्या इस बात का माप है कि पूर्णांकों का वलय कितना दूर है ${\mathcal {O}}_{K}$ एक अद्वितीय कारककरण डोमेन होने से है। यह है क्योंकि $h_{K}=1$ अगर और केवल अगर ${\mathcal {O}}_{K}$ एक यूएफडी है।

आदर्श वर्ग समूहों के लिए सटीक क्रम

एक सटीक क्रम है

$0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0$

हर संख्या क्षेत्र से जुड़ा हुआ है।

आंशिक आदर्शों के लिए संरचना प्रमेय

किसी संख्या क्षेत्र के भिन्नात्मक आदर्शों के लिए महत्वपूर्ण संरचना प्रमेयों में से एक में कहा गया है कि प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श $I$ के रूप में ऑर्डर करने तक विशिष्ट रूप से विघटित होता है

$I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}$

प्रमुख आदर्शों के लिए

${\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$.

की एक अंगूठी की कल्पना में ${\mathcal {O}}_{K}$. उदाहरण के लिए,

${\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}$ कारकों के रूप में $(1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}$

इसके अलावा, क्योंकि एक संख्या क्षेत्र पर भिन्नात्मक गुण सभी परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं, हम हर को कुछ से गुणा करके स्पष्ट कर सकते हैं $\alpha$ एक आदर्श पाने के लिए $J$. इस तरह

$I={\frac {1}{\alpha }}J$

एक अन्य उपयोगी संरचना प्रमेय यह है कि अभिन्न आंशिक आदर्श 2 तत्वों तक उत्पन्न होते हैं। हम एक आंशिक आदर्श कहते हैं जो का एक उपसमुच्चय है ${\mathcal {O}}_{K}$ अभिन्न।

उदाहरण

• ${\frac {5}{4}}\mathbb {Z}$ एक भिन्नात्मक आदर्श है $\mathbb {Z}$
• के लिए $K=\mathbb {Q} (i)$ आदर्श $(5)$ में बंट जाता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]$ जैसा $(2-i)(2+i)$
• में $\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}$ हमारे पास गुणनखंड है $(3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि अगर हम इसे गुणा करते हैं, तो हमें मिलता है

  ${\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}$

तब से $\zeta _{3}$ संतुष्ट $\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1$, हमारा गुणनखंडन समझ में आता है।

• में $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ हम आंशिक आदर्शों को गुणा कर सकते हैं

• $I=(2,(1/2){\sqrt {-23}}-(1/2))$ और
• $J=(4,(1/2){\sqrt {-23}}+(3/2))$

आदर्श प्राप्त करने के लिए

$IJ=(-(1/2){\sqrt {-23}}-(3/2)).$

विभागीय आदर्श

होने देना ${\tilde {I}}$ एक शून्येतर भिन्नात्मक आदर्श वाले सभी प्रमुख भिन्नात्मक आदर्शों के प्रतिच्छेदन को निरूपित करें $I$.

समान रूप से,

${\tilde {I}}=(R:(R:I)),$

जहां ऊपर के रूप में

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$ अगर ${\tilde {I}}=I$ तब मुझे 'विभाजन' कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक विभाजक आदर्श भिन्नात्मक प्रमुख आदर्शों के कुछ गैर-खाली सेट का एक गैर-शून्य प्रतिच्छेदन है।

यदि I विभाज्य है और J एक शून्येतर भिन्नात्मक गुणजावली है, तो (I : J) भाज्य है।

आर को स्थानीय रिंग क्रुल डोमेन होने दें (उदाहरण के लिए, एक नोथेरियन रिंग अभिन्न रूप से बंद डोमेन स्थानीय रिंग डोमेन)। तब R एक असतत मूल्यांकन वलय है यदि और केवल यदि R का अधिकतम आदर्श विभाज्य है। एक अभिन्न डोमेन जो विभाजक आदर्शों पर आरोही श्रृंखला शर्तों को पूरा करता है, उसे मोरी टोडो माइन कहा जाता है।

यह भी देखें

• मंडल पुलिया
• डेडेकाइंड-कुमेर प्रमेय

संदर्भ

• Barucci, Valentina (2000), "Mori domains", in Glaz, Sarah; Chapman, Scott T. (eds.), Non-Noetherian commutative ring theory, Mathematics and its Applications, vol. 520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 57–73, ISBN 978-0-7923-6492-4, MR 1858157
• Stein, William, A Computational Introduction to Algebraic Number Theory (PDF)
• Chapter 9 of Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1994), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Chapter VII.1 of Bourbaki, Nicolas (1998), Commutative algebra (2nd ed.), Springer Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Chapter 11 of Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461