घातीय प्रतिक्रिया सूत्र

गणित में, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र (ईआरएफ), जिसे घातीय प्रतिक्रिया और जटिल प्रतिस्थापन के रूप में भी जाना जाता है, किसी भी क्रम के रैखिक_विभेदक_समीकरण#गैर-समरूप_समीकरण_साथ_स्थिर_गुणांक|गैर-सजातीय रैखिक साधारण अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि है। एक्सपोनेंशियल रिस्पॉन्स फॉर्मूला स्थिर गुणांक वाले गैर-समरूप रैखिक साधारण अंतर समीकरणों पर लागू होता है यदि फ़ंक्शन बहुपद #Polynomial_functions, साइन लहर , घातांक प्रकार्य या तीनों का संयोजन है।एक गैर-सजातीय रैखिक साधारण अंतर समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय ODE के सामान्य समाधान और गैर-सजातीय ODE के लिए एक विशेष समाधान का एक सुपरपोजिशन है। उच्च कोटि के साधारण अवकल समीकरणों को हल करने की वैकल्पिक विधियाँ हैं अनिर्धारित गुणांकों की विधि और प्राचलों के विचरण की विधि।

संदर्भ और विधि

प्रयोज्यता

गैर-सजातीय अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की ईआरएफ विधि लागू होती है यदि गैर-सजातीय समीकरण है या इसे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है $f(t)=B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots +B_{n}e^{\gamma _{n}t}$; कहाँ $B,\gamma$ वास्तविक संख्या या जटिल संख्याएँ हैं और $f(t)$ किसी भी क्रम का सजातीय रैखिक अंतर समीकरण है। फिर, इस तरह के समीकरण के दाईं ओर प्रत्येक पद के लिए घातीय प्रतिक्रिया सूत्र लागू किया जा सकता है। रैखिकता के कारण, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र को तब तक लागू किया जा सकता है जब तक कि दाईं ओर शर्तें हों, जो सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा एक साथ जोड़ दी जाती हैं।

जटिल प्रतिस्थापन

जटिल प्रतिस्थापन समीकरण के गैर-सजातीय शब्द को एक जटिल घातांक फलन में परिवर्तित करने की एक विधि है, जो दिए गए अंतर समीकरण को एक जटिल घातीय बनाता है।

अंतर समीकरण पर विचार करें $y''+y=\cos(t)$.

जटिल प्रतिस्थापन करने के लिए, यूलर के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है;

${\begin{aligned}\cos(t)&=\operatorname {Re} (e^{it})=\operatorname {Re} (\cos(t)+i\sin(t))\\\sin(t)&=\operatorname {Im} (e^{it})=\operatorname {Im} (\cos(t)+i\sin(t))\end{aligned}}$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण में परिवर्तन होता है $z''+z=e^{it}$. जटिल अंतर समीकरण का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है $z(t)$, जिससे वास्तविक भाग मूल समीकरण का हल है।

जटिल प्रतिस्थापन का उपयोग अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है जब गैर-सजातीय शब्द एक साइनसॉइडल फ़ंक्शन या एक घातीय फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे एक जटिल घातीय फ़ंक्शन भेदभाव और एकीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। मूल कार्य की तुलना में इस तरह के जटिल घातीय कार्य में हेरफेर करना आसान है।

जब गैर-सजातीय शब्द को एक घातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए ईआरएफ विधि या अनिर्धारित गुणांक विधि का उपयोग किया जा सकता है। यदि गैर-सजातीय पदों को जटिल घातीय फलन में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, तो पैरामीटरों की भिन्नता की लैग्रेंज विधि का समाधान खोजने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय ऑपरेटर

प्राकृतिक घटनाओं का अनुकरण करने में अंतर समीकरण महत्वपूर्ण हैं। विशेष रूप से, उच्च क्रम रैखिक अंतर समीकरणों के रूप में वर्णित कई घटनाएं हैं, उदाहरण के लिए वसंत कंपन, एलआरसी सर्किट, विक्षेपण (इंजीनियरिंग), संकेत आगे बढ़ाना , नियंत्रण सिद्धांत और फीडबैक लूप के साथ समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली। गणितीय रूप से, जब भी इनपुट होता है, तो सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय होता है $f(t)$ प्रतिक्रिया है $x(t)$ फिर किसी भी स्थिरांक a के लिए, इनपुट $f(t-a)$ प्रतिक्रिया है $x(t-a)$. भौतिक रूप से, टाइम इनवेरियन का अर्थ है कि सिस्टम की प्रतिक्रिया इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि इनपुट किस समय शुरू होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक स्प्रिंग-मास सिस्टम संतुलन बिंदु पर है, तो यह किसी दिए गए बल पर उसी तरह प्रतिक्रिया करेगा, चाहे बल लागू किया गया हो।

जब समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी रैखिक होती है, तो इसे रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली (एलटीआई प्रणाली) कहा जाता है। इनमें से अधिकांश LTI प्रणालियाँ रेखीय अंतर समीकरणों से ली गई हैं, जहाँ गैर-सजातीय शब्द को इनपुट संकेत कहा जाता है और गैर-सजातीय समीकरणों के समाधान को प्रतिक्रिया संकेत कहा जाता है। यदि इनपुट संकेत घातीय रूप से दिया जाता है, तो संबंधित प्रतिक्रिया संकेत भी घातीय रूप से बदलता है।

निम्नलिखित को ध्यान में रखते हुए $n$वें क्रम रैखिक अंतर समीकरण

$a_{n}{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)$

और निरूपित करना

$L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{1}D^{1}+a_{0}I,$

$D^{k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots ,n),$

कहाँ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ निरंतर गुणांक हैं, अंतर ऑपरेटर पैदा करता है $L$, जो रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय है और एलटीआई ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। परिचालक, $L$ इसकी विशेषता बहुपद से प्राप्त की जाती है;

$P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{0}$

यहाँ औपचारिक रूप से अनिश्चित s को अवकलन संकारक से प्रतिस्थापित करके $D$

$L=P(D)$

$P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I$

इसलिए, समीकरण (1) को इस रूप में लिखा जा सकता है

$P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

समस्या सेटिंग और ईआरएफ विधि

उपरोक्त एलटीआई अंतर समीकरण को ध्यान में रखते हुए, घातीय इनपुट के साथ $f(t)=Be^{\gamma t}$, कहाँ $B$ और $\gamma$ नंबर दिए गए हैं। फिर, एक विशेष उपाय है

$y_{p}={\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\qquad$

केवल वही प्रदान करें $P(\gamma )\neq 0$.

प्रमाण: संकारक की रैखिकता के कारण $P(D)$, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

$P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)(e^{\gamma t})\qquad \qquad (3)$

दूसरी ओर, चूंकि

$P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t},$

इसे समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करते हुए, उत्पादन करता है

$P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\gamma t}=Be^{\gamma t}.$

इसलिए, $y_{p}$ असमघात अवकल समीकरण का एक विशेष हल है।

इस प्रकार, एक विशेष प्रतिक्रिया के लिए उपरोक्त समीकरण $y_{p}$ दिए गए घातीय इनपुट के लिए घातीय प्रतिक्रिया सूत्र (ERF) कहा जाता है।

विशेष रूप से, के मामले में $P(\gamma )=0$, समीकरण का समाधान (2) द्वारा दिया गया है

$y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}},\qquad P'(\gamma )\neq 0$

और गुंजयमान प्रतिक्रिया सूत्र कहा जाता है।

उदाहरण

आइए दूसरे क्रम के रैखिक गैर-सजातीय ODE का विशेष समाधान खोजें;

$2x''+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t).$

विशेषता बहुपद है $P(s)=2s^{2}+s+1$. इसके अलावा, गैर-सजातीय शब्द, $f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)$ इस प्रकार लिखा जा सकता है

$f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)=2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).$

फिर, संबंधित विशेष समाधान $f_{1}(t),f_{2}(t)$ और $f_{3}(t)$, क्रमशः पाए जाते हैं।

सबसे पहले, गैर-सजातीय शब्द पर विचार करते हुए, $f_{1}(t)=1$. इस मामले में, के बाद से $f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0$ और $P(\gamma )=P(0)=1\neq 0$.

ईआरएफ से, एक विशेष समाधान के अनुरूप $f_{1}(t)$ पाया जा सकता है।

$x_{1p}={\frac {f_{1}(t)}{P(0)}}={\frac {1}{1}}=1$.

इसी प्रकार, एक विशेष समाधान के अनुरूप पाया जा सकता है $f_{2}(t)$.

$x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{t}}{2}}.$ आइए तीसरे पद के संगत DE का एक विशेष हल ज्ञात करें;

$2x''+x'+x=e^{-t}\cos(t).$

ऐसा करने के लिए, समीकरण को जटिल-मूल्यवान समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसका यह वास्तविक भाग है:

$2z''+z'+z=e^{(-1+i)t}.$

घातीय प्रतिक्रिया सूत्र (ईआरएफ) को लागू करने से उत्पादन होता है

${\begin{aligned}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}\\&={\frac {ie^{(-1+i)t}}{3}}&&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+1=-3i\end{aligned}}$

और असली हिस्सा है

$x_{3p}=-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).$

इसलिए, दिए गए समीकरण का विशेष समाधान, $x_{p}$ है

$x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac {e^{t}}{2}}-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).$

अनिर्धारित गुणांकों की विधि के साथ तुलना

अनिर्धारित गुणांक विधि गैर-सजातीय पद के रूप के अनुसार एक समाधान प्रकार का उचित रूप से चयन करने और अनिर्धारित स्थिरांक का निर्धारण करने की एक विधि है, ताकि यह गैर-सजातीय समीकरण को संतुष्ट करे। दूसरी ओर, ईआरएफ विधि अंतर ऑपरेटर के आधार पर एक विशेष समाधान प्राप्त करती है।दोनों विधियों के लिए समानता यह है कि स्थिर गुणांक वाले गैर-सजातीय रैखिक अंतर समीकरणों के विशेष समाधान प्राप्त किए जाते हैं, जबकि विचाराधीन समीकरण का रूप दोनों विधियों में समान है।

उदाहरण के लिए, का एक विशेष समाधान खोजना $y''+y=e^{t}$ अनिर्धारित गुणांक की विधि के साथ विशेषता समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है $\lambda ^{2}+1=0,\lambda =\pm i$. गैर सजातीय शब्द $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ तब माना जाता है और तब से $\gamma =1$ एक आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर नहीं है, यह एक विशेष समाधान के रूप में रखता है $y_{p}(t)=Ae^{\gamma t}$, कहाँ $A$ अनिर्धारित स्थिर है। अनंतिम स्थिर प्रतिफल निर्धारित करने के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करना

$\lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}$ इसलिए

$A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}}.$

विशेष समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

$y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.$

दूसरी ओर, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि के लिए विशिष्ट बहुपद की आवश्यकता होती है $P(s)=s^{2}+1$ पाया जाना है, जिसके बाद गैर-सजातीय शब्द $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ जटिल प्रतिस्थापित है। विशेष समाधान तब सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है

$y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}{P(\lambda )}}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.$

सामान्यीकृत घातीय प्रतिक्रिया सूत्र

के मामले में घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि पर चर्चा की गई थी $P(\gamma )\neq 0$. के मामले में $P(\gamma )=0,P'(\gamma )\neq 0$गुंजयमान प्रतिक्रिया सूत्र भी माना जाता है।

के मामले में $P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0$, हम चर्चा करेंगे कि इस खंड में ईआरएफ पद्धति का वर्णन कैसे किया जाएगा।

होने देना $P(D)$ निरंतर गुणांक वाले बहुपद संकारक बनें, और $P^{(m)}$ इसका $m$-वें व्युत्पन्न। फिर ओडीई

$P(D)y=Be^{\gamma t}$, कहाँ $\gamma$ वास्तविक या जटिल है।

निम्नलिखित के रूप में विशेष समाधान है।

• $P(\gamma )\neq 0$. इस मामले में, द्वारा एक विशेष समाधान दिया जाएगा $y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}$(प्रतिपादक प्रतिक्रिया सूत्र)

• $P(\gamma )=0$ लेकिन $P'(\gamma )\neq 0$. इस मामले में, द्वारा एक विशेष समाधान दिया जाएगा $y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}$(गुंजयमान प्रतिक्रिया सूत्र)

• $P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0$ लेकिन $P^{k}(\gamma )\neq 0$. इस मामले में, द्वारा एक विशेष समाधान दिया जाएगा

$y_{p}(t)={\frac {Bt^{k}e^{\gamma t}}{P^{(k)}(\gamma )}},k=2,\ldots ,m$

उपरोक्त समीकरण को सामान्यीकृत घातीय प्रतिक्रिया सूत्र कहा जाता है।

उदाहरण

निम्नलिखित ODE का एक विशेष समाधान खोजने के लिए;

$y'''-3y'+2y=6e^{t}.$

विशेषता बहुपद है $P(s)=s^{3}-3s+2$.

गणना करके, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$P(1)=0,P'(1)=0,P''(1)=6\neq 0.$

शून्य से विभाजन के कारण मूल घातीय प्रतिक्रिया सूत्र इस मामले पर लागू नहीं होता है। इसलिए, सामान्यीकृत घातीय प्रतिक्रिया सूत्र और परिकलित स्थिरांक का उपयोग करके, विशेष समाधान है

$y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P''(1)}}={\frac {6t^{2}e^{t}}{6}}=t^{2}e^{t}.$

आवेदन उदाहरण

स्प्रिंग से लटकी हुई वस्तु की गति

विस्थापन के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर#स्प्रिंग/मास सिस्टम $d$. अभिनय करने वाला बल गुरुत्वाकर्षण, वसंत बल, वायु प्रतिरोध और कोई अन्य बाहरी बल है।

हुक के नियम से, वस्तु की गति का समीकरण इस प्रकार व्यक्त किया जाता है;

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F(t),$

कहाँ $F(t)$ बाह्य बल है।

अब, ड्रैग (भौतिकी) को उपेक्षित माना जाता है और $F(t)=F_{0}\cos(\omega t)$, कहाँ $\omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}$ (बाह्य बल आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है)। इसलिए, साइनसोइडल फोर्सिंग टर्म के साथ लयबद्ध दोलक निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F(t).$

फिर, एक विशेष उपाय है

$x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).$

जटिल प्रतिस्थापन और ईआरएफ लागू करना: यदि $z_{p}$ जटिल DE का समाधान है

$m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+kz=F_{0}e^{i\omega t},$

तब $x_{p}=\operatorname {Re} (z_{p})$ दिए गए DE का समाधान होगा।

विशेषता बहुपद है $P(s)=ms^{2}+k$, और $\gamma =i\omega$, ताकि $P(\gamma )=0$. हालाँकि, तब से $P'(s)=2ms$, तब $P'(\gamma )=P'(i\omega )=2m\omega i\neq 0$. इस प्रकार, ईआरएफ का गुंजयमान मामला देता है

${\begin{aligned}y_{p}&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega }}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m\omega }}\right)\\[4pt]&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }}\\[4pt]&={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).\end{aligned}}$

इलेक्ट्रिकल सर्किट

एक विद्युत परिपथ के माध्यम से प्रवाहित विद्युत धारा को ध्यान में रखते हुए, जिसमें एक प्रतिरोध होता है ($R$), एक संधारित्र ($C$), एक कुंडल तार ($L$), और एक बैटरी ($E$), श्रृंखला में जुड़ा हुआ है।

इस प्रणाली का वर्णन किरचॉफ द्वारा किरचॉफ के सर्किट कानूनों # किरचॉफ के वोल्टेज कानून (केवीएल) नामक इंटीग्रल-डिफरेंशियल समीकरण द्वारा किया गया है। किरचॉफ का वोल्टेज कानून, प्रतिरोधी से संबंधित $R$, संधारित्र $C$, प्रारंभ करनेवाला $L$, बैटरी $E$, और वर्तमान $I$ एक सर्किट में इस प्रकार है,

$LI'(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}I(s)\,ds=\int _{t_{0}}^{t}E(s)\,ds$

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करने से निम्नलिखित ODE उत्पन्न होता है।

$LI''(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C}}I(t)=E(t)$

अब, मान रहा हूँ $E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)$, कहाँ $\omega _{0}={\sqrt {\tfrac {1}{LC}}}$. ($\omega _{0}$ एलआरसी सर्किट में अनुनाद आवृत्ति कहा जाता है)। उपरोक्त धारणा के तहत, इनपुट के अनुरूप आउटपुट (विशेष समाधान)। $E(t)$ पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, दिए गए इनपुट को जटिल रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

$E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatorname {Im} (E_{0}e^{i\omega _{0}t})$

विशेषता बहुपद है $P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}$, कहाँ $P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0$. इसलिए, ईआरएफ से, एक विशेष समाधान निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है;

${\begin{aligned}I_{p}&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{P(i\omega _{0})}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{i\omega _{0}R}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {-E_{0}(i\cos(\omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}}\right)\\[4pt]&={\frac {-E_{0}\cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}}\end{aligned}}$

जटिल लाभ और चरण अंतराल

सामान्य एलटीआई प्रणाली को ध्यान में रखते हुए

$P(D)x=Q(D)f(t)$

कहाँ $f(t)$ इनपुट है और $P(D),Q(D)$ यह मानते हुए बहुपद संकारक दिए गए हैं $P(s)\neq 0$. उस मामले में $f(r)=F_{0}\cos(\omega t)$, दिए गए समीकरण का एक विशेष समाधान है

$x_{p}(t)=\operatorname {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}\right).$

मुख्य रूप से भौतिकी और सिग्नल प्रोसेसिंग में उपयोग की जाने वाली निम्नलिखित अवधारणाओं को ध्यान में रखते हुए।

• इनपुट का आयाम है $F_{0}$. इसमें इनपुट मात्रा के समान इकाइयाँ हैं।
• इनपुट की कोणीय आवृत्ति है $\omega$. इसमें रेडियन/समय की इकाई होती है। अक्सर इसे आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाएगा, भले ही तकनीकी रूप से आवृत्ति में चक्र/समय की इकाइयां हों।
• प्रतिक्रिया का आयाम है $A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|$. इसमें प्रतिक्रिया मात्रा के समान इकाइयाँ होती हैं।
• लाभ है $g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|$. लाभ वह कारक है जो प्रतिक्रिया के आयाम को प्राप्त करने के लिए इनपुट आयाम को गुणा करता है। इसमें इनपुट इकाइयों को आउटपुट इकाइयों में बदलने के लिए आवश्यक इकाइयाँ होती हैं।
• चरण अंतराल है $\phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))$. फेज़ लैग में रेडियन की इकाइयाँ होती हैं, यानी यह आयाम रहित है।
• समय का अंतराल है $\phi /\omega$. इसमें समय की इकाइयाँ हैं। यह वह समय है जब आउटपुट का शिखर इनपुट से पीछे रह जाता है।
• जटिल लाभ है $Q(i\omega )/P(i\omega )$. यह वह कारक है जिससे जटिल आउटपुट प्राप्त करने के लिए जटिल इनपुट को गुणा किया जाता है।

बाहरी संबंध

• Operators and the exponential response formula
• Generalized exponential response formula
• Basics of LTI operators and ERF