नलिकाकार प्रतिवेश

एक वक्र, नीले रंग में, और कुछ रेखाएँ इसके लम्बवत्, हरे रंग में। वक्र के चारों ओर उन रेखाओं के छोटे हिस्से लाल रंग में हैं।

ऊपर की आकृति का एक क्लोज अप। वक्र नीले रंग में है, और इसका ट्यूबलर पड़ोस T लाल रंग में है। लेख में संकेतन के साथ, वक्र S है, वक्र युक्त स्थान M है, और $T=j(N).$

शून्य खंड के साथ सामान्य बंडल एन का एक योजनाबद्ध चित्रण $N_{0}$ नीले रंग में। परिवर्तन जे मानचित्र एन₀ ऊपर की आकृति में वक्र S के लिए, और N S के ट्यूबलर पड़ोस के लिए।

गणित में, एक चिकनी मैनिफोल्ड के सबमेनफोल्ड का एक ट्यूबलर पड़ोस सामान्य बंडल जैसा दिखने वाला एक खुला सेट है।

एक ट्यूबलर नेबरहुड के पीछे के विचार को एक सरल उदाहरण में समझाया जा सकता है। स्व-चौराहों के बिना विमान में एक चिकना कार्य वक्र पर विचार करें। वक्र के प्रत्येक बिंदु पर वक्र के लंबवत एक रेखा खींचें। जब तक वक्र सीधा न हो, ये रेखाएँ एक जटिल विधि से आपस में प्रतिच्छेद करेंगी। चूंकि , यदि कोई केवल वक्र के चारों ओर एक संकीर्ण बैंड में दिखता है, तो उस बैंड में रेखाओं के भाग एक दूसरे को नहीं काटेंगे, और पूरे बैंड को बिना अंतराल के कवर करेंगे। यह बैंड एक ट्यूबलर पड़ोस है।

सामान्यतः , S को कई गुना M का सबमेनिफोल्ड होने दें, और N को M में S का सामान्य बंडल होने दें। यहाँ S वक्र की भूमिका निभाता है और M वक्र वाले तल की भूमिका निभाता है। प्राकृतिक मानचित्र पर विचार करें

$i:N_{0}\to S$

जो शून्य खंड के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करता है $N_{0}$ N का और M का सबमनिफोल्ड S। इस मानचित्र का विस्तार j पूरे सामान्य बंडल N में M के मानों के साथ है $j(N)$ M में एक खुला सेट है और j, N और के बीच एक होमियोमोर्फिज्म है $j(N)$ ट्यूबलर पड़ोस कहा जाता है।

अधिकांशतः कोई ओपन सेट कहता है $T=j(N),$ स्वयं j के अतिरिक्त , S का एक ट्यूबलर पड़ोस, यह निहित रूप से माना जाता है कि होमोमोर्फिज्म j मैपिंग N से T उपस्थित है।

सामान्य ट्यूब

एक चिकनी कार्य वक्र के लिए एक सामान्य ट्यूब कई गुना है जिसे सभी डिस्क के संघ (सेट सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया गया है

• सभी डिस्कों का एक ही निश्चित दायरा होता है;
• प्रत्येक डिस्क का केंद्र वक्र पर स्थित होता है; और
• प्रत्येक डिस्क उस वक्र की ओर्थोगोनालिटी के समतल में स्थित होती है जहाँ वक्र उस डिस्क के केंद्र से होकर गुजरता है।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $S\subseteq M$ कई गुना चिकना हो। का एक ट्यूबलर पड़ोस $S$ में $M$ एक वेक्टर बंडल है $\pi :E\to S$ एक साथ एक चिकने नक्शे के साथ $J:E\to M$ ऐसा है कि

• $J\circ 0_{E}=i$ कहाँ $i$ एम्बेडिंग है $S\hookrightarrow M$ और $0_{E}$ शून्य खंड
• कुछ उपस्थित है $U\subseteq E$ और कुछ $V\subseteq M$ साथ $0_{E}[S]\subseteq U$ और $S\subseteq V$ ऐसा है कि $J\vert _{U}:U\to V$ डिफियोमोर्फिज्म है।

सामान्य बंडल एक ट्यूबलर पड़ोस है और दूसरे बिंदु में भिन्नता की स्थिति के कारण, सभी ट्यूबलर पड़ोस का एक ही आयाम है, अर्थात् (वेक्टर बंडल के आयाम को कई गुना माना जाता है) $M.$

सामान्यीकरण

स्मूथ मैनिफोल्ड के सामान्यीकरण से ट्यूबलर पड़ोस का सामान्यीकरण होता है, जैसे कि नियमित पड़ोस, या स्फीयर_बंडल#स्फेरिकल_फिब्रेशन फॉर पोंकारे स्पेस।

इन सामान्यीकरणों का उपयोग सामान्य बंडल के अनुरूप या स्थिर सामान्य बंडल के लिए किया जाता है, जो स्पर्शरेखा बंडल के लिए प्रतिस्थापन हैं (जो इन रिक्त स्थान के लिए प्रत्यक्ष विवरण स्वीकार नहीं करता है)।

यह भी देखें

• Parallel curve (उर्फ ऑफ़सेट वक्र)
• Tube lemma

संदर्भ

• Raoul Bott, Loring W. Tu (1982). Differential forms in algebraic topology. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.

• Morris W. Hirsch (1976). Differential Topology. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.

• Waldyr Muniz Oliva (2002). Geometric Mechanics. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44242-1.