सटीक अवकल समीकरण

गणित में, एक सटीक अंतर समीकरण या कुल अंतर समीकरण एक विशेष प्रकार का सामान्य अंतर समीकरण है जो भौतिकी और अभियांत्रिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

'आर' के एक सरल रूप से जुड़े और खुले सेट उपसमुच्चय को देखते हुए² और दो फलन I और J जो कि D पर सतत फलन हैं, एक अन्तर्निहित अवकल समीकरण पहले-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है

$I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,$

एक सटीक विभेदक समीकरण कहा जाता है यदि कोई निरंतर भिन्न फ़ंक्शन F मौजूद है, जिसे संभावित फ़ंक्शन कहा जाता है, ताकि

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

और

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

निम्नलिखित रूप में एक सटीक समीकरण भी प्रस्तुत किया जा सकता है:

$I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0$

जहां अंतर समीकरण के सटीक होने के लिए I और J पर समान प्रतिबंध लागू होते हैं।

सटीक अंतर समीकरण का नामकरण फ़ंक्शन के सटीक अंतर को संदर्भित करता है। एक समारोह के लिए $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$, सटीक या कुल व्युत्पन्न के संबंध में $x_{0}$ द्वारा दिया गया है

${\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.$

उदाहरण

कार्यक्रम $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ द्वारा दिए गए

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

अंतर समीकरण के लिए एक संभावित कार्य है

$x\,dx+y\,dy=0.\,$

प्रथम क्रम सटीक अंतर समीकरण

पहले क्रम के सटीक अंतर समीकरणों की पहचान

कार्यों को करने दें ${\textstyle M}$, ${\textstyle N}$, ${\textstyle M_{y}}$, और ${\textstyle N_{x}}$, जहां सबस्क्रिप्ट सापेक्ष चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है, क्षेत्र में निरंतर हो ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$. फिर अंतर समीकरण

$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$ सटीक है अगर और केवल अगर

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ यानी एक फंक्शन मौजूद है $\psi (x,y)$, एक संभावित कार्य कहा जाता है, जैसे कि

$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ तो, सामान्य तौर पर:

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

प्रमाण

प्रमाण के दो भाग होते हैं।

सबसे पहले, मान लीजिए कि एक समारोह है $\psi (x,y)$ ऐसा है कि$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ इसके बाद यह अनुसरण करता है$M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ तब से $M_{y}$ और $N_{x}$ निरंतर हैं, तो $\psi _{xy}$ और $\psi _{yx}$ भी निरंतर हैं जो उनकी समानता की गारंटी देता है।

प्रमाण के दूसरे भाग में निर्माण शामिल है $\psi (x,y)$ और पहले क्रम के सटीक अंतर समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है। लगता है कि

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

और एक समारोह होने दो $\psi (x,y)$ जिसके लिए $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ के संबंध में पहले समीकरण को एकीकृत करके प्रारंभ करें $x$. व्यवहार में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले या दूसरे समीकरण को एकीकृत करते हैं, जब तक कि एकीकरण उचित चर के संबंध में किया जाता है।

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)$$

$$\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

कहाँ $Q(x,y)$ कोई भिन्न कार्य है जैसे कि $Q_{x}=M$. कार्यक्रम $h(y)$ एकीकरण के एक स्थिरांक की भूमिका निभाता है, लेकिन केवल एक स्थिरांक के बजाय, यह कार्य करता है $y$, क्योंकि हम $M$ दोनों का एक कार्य है $x$ और $y$ और हम केवल इसके संबंध में एकीकरण कर रहे हैं $x$.

अब यह दिखाने के लिए कि एक को खोजना हमेशा संभव है $h(y)$ ऐसा है कि $\psi _{y}=N$.

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित कीजिए $y$.

$${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)$$

परिणाम के बराबर सेट करें $N$ और के लिए हल करें $h'(y)$.

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

निर्धारित करने के लिए $h'(y)$ इस समीकरण से, दाएँ हाथ की ओर केवल पर निर्भर होना चाहिए $y$. यह दिखा कर सिद्ध किया जा सकता है कि इसके व्युत्पन्न के संबंध में $x$ हमेशा शून्य होता है, इसलिए के संबंध में दाहिनी ओर अंतर करें $x$.

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)$$

तब से $Q_{x}=M$,

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)$$

अब, यह हमारे प्रारंभिक अनुमान के आधार पर शून्य है $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ इसलिए,

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

$$h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}+C$$

और यह प्रमाण को पूरा करता है।

पहले आदेश सटीक अंतर समीकरणों के समाधान

फॉर्म के सटीक अंतर समीकरणों का पहला क्रम

$$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$$

संभावित कार्य के संदर्भ में लिखा जा सकता है $\psi (x,y)$

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$$

कहाँ

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

यह का सटीक अंतर लेने के बराबर है $\psi (x,y)$.

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0$$

एक सटीक अंतर समीकरण के समाधान तब द्वारा दिए जाते हैं

$$\psi (x,y(x))=c$$

और समस्या खोजने में कम हो जाती है $\psi (x,y)$.

यह दो भावों को एकीकृत करके किया जा सकता है $M(x,y)dx$ और $N(x,y)dy$ और फिर परिणामी व्यंजकों में प्रत्येक पद को केवल एक बार लिखना और प्राप्त करने के लिए उनका योग करना $\psi (x,y)$.

इसके पीछे निम्नलिखित तर्क है। तब से

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

यह इस प्रकार है, दोनों पक्षों को एकीकृत करके, कि

$${\begin{cases}\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

इसलिए,

$$Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$$

कहाँ $Q(x,y)$ और $P(x,y)$ अलग-अलग कार्य हैं जैसे कि $Q_{x}=M$ और $P_{y}=N$.

यह सच होने के लिए और दोनों पक्षों के लिए सटीक एक ही अभिव्यक्ति में परिणत होने के लिए, अर्थात् $\psi (x,y)$, तब $h(y)$ के लिए अभिव्यक्ति के भीतर निहित होना चाहिए $P(x,y)$ क्योंकि यह भीतर समाहित नहीं हो सकता $g(x)$, क्योंकि यह पूरी तरह से एक कार्य है $y$ और नहीं $x$ और इसलिए इसके साथ कुछ भी करने की अनुमति नहीं है $x$. समानता से, $g(x)$ अभिव्यक्ति में निहित होना चाहिए $Q(x,y)$.

इसलिए,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)$$

कुछ भावों के लिए $f(x,y)$ और $d(x,y)$. उपरोक्त समीकरण में प्लग इन करने पर, हम पाते हैं कि

$$g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$$

इसलिए $f(x,y)$ और $d(x,y)$ एक ही कार्य बन जाते हैं। इसलिए,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)$$

चूंकि हम पहले ही दिखा चुके हैं

$${\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

यह इस प्रकार है कि

$$\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$$

तो, हम निर्माण कर सकते हैं $\psi (x,y)$ ऐसा करके $\int {M(x,y)dx}$ और $\int {N(x,y)dy}$ और फिर सामान्य शब्दों को लेते हुए हम दो परिणामी भावों के भीतर पाते हैं (जो होगा $f(x,y)$ ) और फिर उनमें से किसी एक में विशिष्ट रूप से पाए जाने वाले शब्दों को जोड़ना - $g(x)$ और $h(y)$.

दूसरा क्रम सटीक अंतर समीकरण

यथार्थ अवकल समीकरणों की संकल्पना को द्वितीय कोटि के समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। पहले क्रम के सटीक समीकरण से शुरू करने पर विचार करें:

$I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0$

चूंकि दोनों कार्य करता है $I\left(x,y\right)$, $J\left(x,y\right)$ दो वेरिएबल्स के कार्य हैं, बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन पैदावार को स्पष्ट रूप से अलग करते हैं

${dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

कुल डेरिवेटिव का विस्तार करने से वह मिलता है

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

ओर वो

${dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}$

मिलाना ${\textstyle {dy \over dx}}$ शर्तें देता है

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

यदि समीकरण सटीक है, तो ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$. इसके अतिरिक्त, का कुल व्युत्पन्न $J\left(x,y\right)$ इसके निहित सामान्य व्युत्पन्न के बराबर है ${\textstyle {dJ \over dx}}$. यह पुनर्लेखित समीकरण की ओर जाता है

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

अब, कुछ दूसरे क्रम का अंतर समीकरण होने दें

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

अगर ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ सटीक अंतर समीकरणों के लिए, फिर

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy$

और

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$

कहाँ $h\left(x\right)$ केवल का कुछ मनमाना कार्य है $x$ आंशिक व्युत्पन्न लेने पर इसे शून्य से अलग कर दिया गया था $I\left(x,y\right)$ इसके संबंध में $y$. हालांकि साइन ऑन $h\left(x\right)$ सकारात्मक हो सकता है, अभिन्न परिणामों के बारे में सोचना अधिक सहज है $I\left(x,y\right)$ जिसमें कुछ मूल अतिरिक्त फ़ंक्शन गुम है $h\left(x\right)$ जिसे आंशिक रूप से शून्य में विभेदित किया गया था।

अगला, अगर

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

फिर शब्द ${\partial I \over \partial x}$ केवल का एक कार्य होना चाहिए $x$ और $y$, के संबंध में आंशिक भेदभाव के बाद से $x$ रोक लेंगे $y$ स्थिर और के किसी भी डेरिवेटिव का उत्पादन नहीं $y$. दूसरे क्रम के समीकरण में

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

केवल शब्द $f\left(x,y\right)$ विशुद्ध रूप से एक शब्द है $x$ और $y$. होने देना ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$. अगर ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$, तब

$f\left(x,y\right)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

के कुल व्युत्पन्न के बाद से $I\left(x,y\right)$ इसके संबंध में $x$ निहित सामान्य व्युत्पन्न के बराबर है ${dI \over dx}$ , तब

$f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{dh\left(x\right) \over dx}$

इसलिए,

${dh\left(x\right) \over dx}=f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)$

और

$h\left(x\right)=\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx$

इस प्रकार, दूसरा क्रम अंतर समीकरण

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

केवल तभी सटीक है $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ और केवल अगर नीचे दी गई अभिव्यक्ति

$\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx=\int \left(f\left(x,y\right)-{\partial \left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right) \over \partial x}\right)dx$

का ही कार्य है $x$. एक बार $h\left(x\right)$ इसकी मनमाना स्थिरांक के साथ गणना की जाती है, इसमें जोड़ा जाता है $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ बनाने के लिए $I\left(x,y\right)$. यदि समीकरण सटीक है, तो हम पहले क्रम के सटीक रूप को कम कर सकते हैं जो पहले क्रम के सटीक समीकरणों के लिए सामान्य विधि द्वारा हल करने योग्य है।

$I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0$

अब, हालांकि, अंतिम अंतर्निहित समाधान में एक होगा $C_{1}x$ के एकीकरण से शब्द $h\left(x\right)$ इसके संबंध में $x$ दो बार और साथ ही ए $C_{2}$, दूसरे क्रम के समीकरण से अपेक्षित दो मनमाना स्थिरांक।

उदाहरण

अंतर समीकरण को देखते हुए

$\left(1-x^{2}\right)y''-4xy'-2y=0$

कोई भी आसानी से जांच कर आसानी से सटीकता की जांच कर सकता है $y''$ अवधि। इस मामले में, आंशिक और कुल व्युत्पन्न दोनों $1-x^{2}$ इसके संबंध में $x$ हैं $-2x$, तो उनका योग है $-4x$, जो बिल्कुल सामने शब्द है $y'$. सटीकता के लिए शर्तों में से एक के साथ, कोई भी इसकी गणना कर सकता है

$\int \left(-2x\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)=-2xy$

दे $f\left(x,y\right)=-2y$, तब

$\int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}\left(-2xy\right)\right)dx=\int \left(-2y-2xy'+2xy'+2y\right)dx=\int \left(0\right)dx=h\left(x\right)$

इसलिए, $h\left(x\right)$ वास्तव में केवल का एक कार्य है $x$ और दूसरा क्रम अंतर समीकरण सटीक है। इसलिए, $h\left(x\right)=C_{1}$ और $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$. प्रथम-क्रम सटीक समीकरण पैदावार में कमी

$-2xy+C_{1}+\left(1-x^{2}\right)y'=0$

घालमेल $I\left(x,y\right)$ इसके संबंध में $x$ पैदावार

$-x^{2}y+C_{1}x+i\left(y\right)=0$

कहाँ $i\left(y\right)$ का कुछ मनमाना कार्य है $y$. के सम्बन्ध में विभेद करना $y$ व्युत्पन्न और से संबंधित एक समीकरण देता है $y'$ अवधि।

$-x^{2}+i'\left(y\right)=1-x^{2}$

इसलिए, $i\left(y\right)=y+C_{2}$ और पूर्ण निहित समाधान बन जाता है

$C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0$

के लिए स्पष्ट रूप से हल करना $y$ पैदावार

$y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}$

उच्च क्रम सटीक अंतर समीकरण

सटीक अंतर समीकरणों की अवधारणाओं को किसी भी क्रम में बढ़ाया जा सकता है। सटीक दूसरे क्रम के समीकरण से शुरू करना

${d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f\left(x,y\right)=0$

यह पहले दिखाया गया था कि समीकरण इस तरह परिभाषित किया गया है

$f\left(x,y\right)={dh\left(x\right) \over dx}+{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}$

सटीक दूसरे क्रम के समीकरण का अंतर्निहित अंतर $n$ बार एक निकलेगा $\left(n+2\right)$सटीकता के लिए नई शर्तों के साथ वें क्रम का अंतर समीकरण जिसे उत्पादित समीकरण के रूप से आसानी से निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम के सटीक समीकरण को प्राप्त करने के लिए उपरोक्त दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को एक बार अवकलित करने से निम्नलिखित रूप मिलता है

${d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df\left(x,y\right) \over dx}=0$

कहाँ

${df\left(x,y\right) \over dx}={d^{2}h\left(x\right) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$

और कहाँ $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ का ही एक कार्य है $x,y$ और ${dy \over dx}$. सबको मिलाकर ${dy \over dx}$ और ${d^{2}y \over dx^{2}}$ शर्तें नहीं आ रही हैं $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ देता है

${d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0$

इस प्रकार, तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के लिए सटीकता की तीन शर्तें हैं: ${d^{2}y \over dx^{2}}$ अवधि होनी चाहिए $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$, द ${dy \over dx}$ अवधि होनी चाहिए ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ और

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$

केवल का एक कार्य होना चाहिए $x$.

उदाहरण

नॉनलाइनियर थर्ड-ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन पर विचार करें

$yy'''+3y'y''+12x^{2}=0$

अगर $J\left(x,y\right)=y$, तब $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ है $2y'y''$ और $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$जो एक साथ योग करते हैं $3y'y''$. सौभाग्य से, यह हमारे समीकरण में प्रकट होता है। सटीकता की अंतिम शर्त के लिए,

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}$

जो वास्तव में केवल एक कार्य है $x$. अत: अवकल समीकरण यथार्थ है। दो बार एकीकृत करने से वह मिलता है $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$. प्रथम क्रम के सटीक अंतर समीकरण पैदावार के रूप में समीकरण को फिर से लिखना

$x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0$

घालमेल $I\left(x,y\right)$ इसके संबंध में $x$ देता है ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$. के सम्बन्ध में विभेद करना $y$ और उसके सामने पद की बराबरी करना $y'$ पहले क्रम के समीकरण में वह देता है $i'\left(y\right)=y$ ओर वो $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$. पूर्ण निहित समाधान बन जाता है

${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0$

स्पष्ट समाधान, तब है

$y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}$

यह भी देखें

• सटीक अंतर
• अचूक अंतर समीकरण

अग्रिम पठन

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8