मापदंडों की भिन्नता

गणित में, प्राचलों की भिन्नता, जिसे स्थिरांकों की भिन्नता के रूप में भी जाना जाता है, असमांगी अवकल समीकरण रेखीय अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों को हल करने की एक सामान्य विधि है।

प्रथम-क्रम के विषम रेखीय अवकल समीकरणों के लिए आम तौर पर समाकलन कारकों या काफी कम प्रयास के साथ अनिर्धारित गुणांकों की विधि के माध्यम से समाधान खोजना संभव होता है, हालांकि वे विधियाँ अनुमानों का लाभ उठाती हैं जिनमें अनुमान लगाना शामिल होता है और सभी विषम रेखीय अवकल समीकरणों के लिए काम नहीं करते हैं।

मापदंडों की भिन्नता रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों तक भी फैली हुई है, विशेष रूप से गर्मी समीकरण, तरंग समीकरण और कंपन प्लेट समीकरण जैसे रैखिक विकास समीकरणों के लिए विषम समस्याओं के लिए। इस सेटिंग में, विधि को अक्सर ड्यूहामेल के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम जीन मैरी डुहमेल (1797-1872) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार अमानवीय गर्मी समीकरण को हल करने के लिए विधि लागू की थी। कभी-कभी मापदंडों की भिन्नता को ही डुहमेल का सिद्धांत कहा जाता है और इसके विपरीत।

इतिहास

मापदंडों की भिन्नता की विधि पहले स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा तैयार की गई थी, और बाद में इतालवी-फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लुइस लाग्रेंज | जोसेफ-लुई लाग्रेंज (1736-1813) द्वारा पूरी की गई थी। 1748 में यूलर के काम में एक खगोलीय पिंड के कक्षीय तत्वों की भिन्नता की विधि का एक अग्रदूत दिखाई दिया, जब वह बृहस्पति और शनि के पारस्परिक क्षोभ का अध्ययन कर रहा था। पृथ्वी की गतियों के अपने 1749 के अध्ययन में, यूलर ने कक्षीय तत्वों के लिए अवकल समीकरण प्राप्त किए। 1753 में, उन्होंने चंद्रमा की गतियों के अपने अध्ययन के लिए इस पद्धति को लागू किया। लैग्रेंज ने पहली बार 1766 में इस पद्धति का इस्तेमाल किया था। 1778 और 1783 के बीच, उन्होंने संस्मरणों की दो श्रृंखलाओं में विधि को और विकसित किया: एक ग्रहों की गति में भिन्नता पर और दूसरा तीन अवलोकनों से धूमकेतु की कक्षा निर्धारित करने पर। 1808-1810 के दौरान, लैग्रेंज ने कागजों की तीसरी श्रृंखला में मापदंडों की भिन्नता की विधि को अपना अंतिम रूप दिया।

विधि का विवरण

क्रम n के एक साधारण गैर-सजातीय रैखिक अंतर समीकरण को देखते हुए

$y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x).$

(i)

होने देना $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान के वेक्टर अंतरिक्ष का आधार (रैखिक बीजगणित) बनें

$y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.$

(ii)

तब गैर-सजातीय समीकरण के लिए एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा दिया जाता है

$y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)$

(iii)

जहां $c_{i}(x)$ अलग-अलग कार्य हैं जिन्हें शर्तों को पूरा करने के लिए माना जाता है

$\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0,\quad j=0,\ldots ,n-2.$

(iv)

प्रारंभ स्थल (iii), बार-बार उपयोग के साथ संयुक्त बार-बार भेदभाव (iv) देता है

$y_{p}^{(j)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x),\quad j=0,\ldots ,n-1\,.$

(v)

एक आखिरी अंतर देता है

$y_{p}^{(n)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x)\,.$

(vi)

प्रतिस्थापित करके (iii) में (i) और आवेदन करना (v) और (vi) यह इस प्रकार है कि

$\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x).$

(vii)

रैखिक प्रणाली (iv और vii) n समीकरणों को क्रैमर के नियम उपज का उपयोग करके हल किया जा सकता है

$c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n$

कहाँ $W(x)$ आधार का व्रोनस्कियन निर्धारक है $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ और $W_{i}(x)$ I-th कॉलम द्वारा प्रतिस्थापित किए गए आधार का व्रोनस्कियन निर्धारक है $(0,0,\ldots ,b(x)).$ गैर-सजातीय समीकरण का विशेष समाधान तब लिखा जा सकता है

$\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.$

सहज व्याख्या

मजबूर फैलाव रहित वसंत के समीकरण पर विचार करें, उपयुक्त इकाइयों में:

$x''(t)+x(t)=F(t).$

यहाँ x साम्यावस्था से कमानी का विस्थापन है x = 0, और F(t) एक बाहरी लागू बल है जो समय पर निर्भर करता है। जब बाहरी बल शून्य होता है, तो यह सजातीय समीकरण होता है (जिसके समाधान निरंतर कुल ऊर्जा के साथ दोलन करने वाले वसंत के अनुरूप साइन और कोसाइन के रैखिक संयोजन होते हैं)।

हम इस प्रकार भौतिक रूप से समाधान का निर्माण कर सकते हैं। समय के बीच $t=s$ और $t=s+ds$, समाधान के अनुरूप संवेग में शुद्ध परिवर्तन होता है $F(s)\,ds$ (देखें: आवेग (भौतिकी))। वर्तमान समय में विषम समीकरण का समाधान t > 0, इस तरह से प्राप्त समाधानों को रैखिक रूप से सुपरपोज़ करके प्राप्त किया जाता है s 0 और के बीच जा रहा है t.

एक छोटे से आवेग का प्रतिनिधित्व करने वाली सजातीय प्रारंभिक-मूल्य समस्या $F(s)\,ds$ समय पर समाधान में जोड़ा जा रहा है $t=s$, है

$x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.$

इस समस्या का अनूठा समाधान आसानी से देखा जा सकता है $x(t)=F(s)\sin(t-s)\,ds$. इन सभी समाधानों का रैखिक सुपरपोजिशन अभिन्न द्वारा दिया गया है:

$x(t)=\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds.$

यह सत्यापित करने के लिए कि यह आवश्यक समीकरण को संतुष्ट करता है:

$x'(t)=\int _{0}^{t}F(s)\cos(t-s)\,ds$

$x''(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds=F(t)-x(t),$

आवश्यकतानुसार (देखें: लीबनिज अभिन्न नियम)।

मापदंडों की भिन्नता की सामान्य विधि एक विषम रेखीय समीकरण को हल करने की अनुमति देती है

$Lx(t)=F(t)$

दूसरे क्रम के रैखिक अंतर ऑपरेटर L को शुद्ध बल मानने के माध्यम से, इस प्रकार समय s और s+ds के बीच समाधान के लिए कुल आवेग F(s)ds है। द्वारा निरूपित करें $x_{s}$ सजातीय प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान

$Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.$

तब विषम समीकरण का एक विशेष समाधान है

$x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,$

अत्यल्प सजातीय विलयनों को रैखिक रूप से सुपरपोज़ करने का परिणाम। उच्च क्रम रैखिक अंतर ऑपरेटरों के लिए सामान्यीकरण हैं।

व्यवहार में, मापदंडों की भिन्नता में आमतौर पर सजातीय समस्या का मौलिक समाधान, अतिसूक्ष्म समाधान शामिल होता है $x_{s}$ फिर रैखिक रूप से स्वतंत्र मौलिक समाधानों के स्पष्ट रैखिक संयोजनों के संदर्भ में दिया जा रहा है। मजबूर फैलाव रहित वसंत के मामले में, कर्नेल $\sin(t-s)=\sin t\cos s-\sin s\cos t$ मौलिक समाधानों में संबद्ध अपघटन है।

उदाहरण

प्रथम-क्रम समीकरण

$y'+p(x)y=q(x)$

हमारे मूल (असजातीय) समीकरण का पूरक समाधान संबंधित सजातीय समीकरण (नीचे लिखा गया) का सामान्य समाधान है:

$y'+p(x)y=0$

इस सजातीय अंतर समीकरण को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए चरों का पृथक्करण:

${\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0$

${\frac {dy}{dx}}=-p(x)y$

${dy \over y}=-{p(x)\,dx},$

$\int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx$

$\ln |y|=-\int p(x)\,dx+C$

$y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}$

हमारे मूल समीकरण का पूरक समाधान इसलिए है:

$y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}$

अब हम असमघात समीकरण को हल करने की ओर लौटते हैं:

$y'+p(x)y=q(x)$

मापदंडों की विधि भिन्नता का उपयोग करते हुए, विशेष समाधान एक अज्ञात फलन C(x) द्वारा पूरक समाधान को गुणा करके बनाया जाता है:

$y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}$

असमघात समीकरण में विशेष हल को प्रतिस्थापित करके, हम C(x) पा सकते हैं:

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}$

$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}$

हमें केवल एक विशेष समाधान की आवश्यकता है, इसलिए हम मनमाने ढंग से चयन करते हैं $C_{1}=0$ सरलता के लिए। इसलिए विशेष समाधान है:

$y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx$

अंतर समीकरण का अंतिम समाधान है:

${\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}$

यह कारकों को एकीकृत करने की विधि को पुन: बनाता है।

विशिष्ट द्वितीय-क्रम समीकरण

आइए सुलझाते हैं

$y''+4y'+4y=\cosh x$

हम अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजना चाहते हैं, अर्थात हम सजातीय अंतर समीकरण का समाधान खोजना चाहते हैं

$y''+4y'+4y=0.$

विशेषता समीकरण (पथरी) है:

$\lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0$

तब से $\lambda =-2$ एक दोहराया रूट है, हमें रैखिक स्वतंत्रता सुनिश्चित करने के लिए एक समाधान के लिए x का एक कारक पेश करना होगा: $u_{1}=e^{-2x}$ और $u_{2}=xe^{-2x}$. इन दो कार्यों का Wronskian है

$W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.$

क्योंकि Wronskian गैर-शून्य है, दो कार्य रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए यह वास्तव में सजातीय अंतर समीकरण (और इसका एक उपसमुच्चय नहीं) के लिए सामान्य समाधान है।

हम फलन A(x) और B(x) की तलाश करते हैं इसलिए A(x)u₁+ बी(एक्स)यू₂ असमघात समीकरण का एक विशेष हल है। हमें केवल समाकलन की गणना करने की आवश्यकता है

$A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x$

इस उदाहरण के लिए इसे याद करें

$b(x)=\cosh x$

वह है,

$A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}$

$B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}$

कहाँ $C_{1}$ और $C_{2}$ एकीकरण के स्थिरांक हैं।

सामान्य द्वितीय क्रम समीकरण

हमारे पास फॉर्म का एक अंतर समीकरण है

$u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)$

और हम रैखिक संकारक को परिभाषित करते हैं

$L=D^{2}+p(x)D+q(x)$

जहां डी अंतर ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए हमें समीकरण को हल करना है $Lu(x)=f(x)$ के लिए $u(x)$, कहाँ $L$ और $f(x)$ ज्ञात हैं।

हमें पहले इसी सजातीय समीकरण को हल करना चाहिए:

$u''+p(x)u'+q(x)u=0$

हमारी पसंद की तकनीक से। एक बार जब हम इस सजातीय अंतर समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त कर लेते हैं (क्योंकि यह ODE दूसरे क्रम का है) - उन्हें यू कहते हैं₁ और आप₂ - हम मापदंडों की भिन्नता के साथ आगे बढ़ सकते हैं।

अब, हम अवकल समीकरण के व्यापक हल की तलाश करते हैं $u_{G}(x)$ जिसे हम स्वरूप मानते हैं

$u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).$

यहाँ, $A(x)$ और $B(x)$ अनजान हैं और $u_{1}(x)$ और $u_{2}(x)$ सजातीय समीकरण के समाधान हैं। (ध्यान दें कि अगर $A(x)$ और $B(x)$ स्थिर हैं, तो $Lu_{G}(x)=0$।) चूंकि उपरोक्त केवल एक समीकरण है और हमारे पास दो अज्ञात कार्य हैं, इसलिए दूसरी शर्त लगाना उचित है। हम निम्नलिखित चुनते हैं:

$A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.$

अब,

${\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}$

फिर से अंतर करना (मध्यस्थ चरणों को छोड़ना)

$u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).$

अब हम आप पर L की क्रिया लिख ​​सकते हैं_G जैसा

$Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).$

यू के बाद से₁ और आप₂ समाधान हैं, तो

$Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).$

हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है

${\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.$

विस्तार करना,

${\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.$

तो उपरोक्त प्रणाली सटीक स्थितियों को निर्धारित करती है

$A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.$

$A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.$

हम इन शर्तों से ए (एक्स) और बी (एक्स) की तलाश करते हैं, इसलिए, दिया गया

${\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}$

हम (ए'(एक्स), बी'(एक्स)) के लिए हल कर सकते हैं^टी, इसलिए

${\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},$

जहाँ W, u के व्रोनस्कियन को दर्शाता है₁ और आप₂. (हम जानते हैं कि डब्ल्यू अशून्य है, इस धारणा से कि यू₁ और आप₂ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।) तो,

${\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

जबकि सजातीय समीकरणों को हल करना अपेक्षाकृत आसान है, यह विधि विषम समीकरण के सामान्य समाधान के गुणांकों की गणना की अनुमति देती है, और इस प्रकार विषम समीकरण का पूर्ण सामान्य समाधान निर्धारित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि $A(x)$ और $B(x)$ प्रत्येक केवल एक मनमाना योज्य स्थिरांक (एकीकरण का स्थिरांक) तक निर्धारित किया जाता है। में एक स्थिरांक जोड़ना $A(x)$ या $B(x)$ का मान नहीं बदलता है $Lu_{G}(x)$ क्योंकि अतिरिक्त पद केवल यू का एक रैखिक संयोजन है₁ और आप₂, जिसका समाधान है $L$ परिभाषा से।

संदर्भ

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill.
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th ed.). Wiley. pp. 186–192, 237–241.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society.

यह भी देखें

• आदेश में कमी
• अलेक्सेव-ग्रोबनेर सूत्र, स्थिरांक सूत्र की भिन्नता का एक सामान्यीकरण।

बाहरी संबंध

• Online Notes / Proof by Paul Dawkins, Lamar University.
• PlanetMath page.
• A NOTE ON LAGRANGE’S METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS