क्षैतिज रेखा परीक्षण

गणित में, क्षैतिज रेखा परीक्षण एक परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि कोई फ़ंक्शन (गणित) इंजेक्शन (यानी, एक-से-एक) है या नहीं।

कलन में

एक क्षैतिज रेखा एक सीधी, सपाट रेखा होती है जो बाएं से दाएं जाती है। एक समारोह दिया $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (अर्थात वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक), हम यह तय कर सकते हैं कि क्या यह क्षैतिज रेखाओं को देखकर इंजेक्शन है जो किसी फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करती है। यदि कोई क्षैतिज रेखा $y=c$ ग्राफ़ को एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, फ़ंक्शन इंजेक्शन नहीं है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि चौराहे के बिंदुओं का समान y- मान है (क्योंकि वे रेखा पर स्थित हैं $y=c$) लेकिन भिन्न x मान, जिसका परिभाषा के अनुसार फलन अंतःक्षेपी नहीं हो सकता।

Passes the test (injective)

Fails the test (not injective)

क्षैतिज रेखा परीक्षण की विविधताओं का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई फ़ंक्शन विशेषण या विशेषण है:

• फलन f आच्छादक (अर्थात् आच्छादक) है यदि और केवल यदि इसका ग्राफ किसी भी क्षैतिज रेखा को 'कम से कम' एक बार काटता है।
• f विशेषण है यदि और केवल यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ को 'बिल्कुल' एक बार काटती है।

सेट सिद्धांत में

एक समारोह पर विचार करें $f\colon X\to Y$ कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में फ़ंक्शन के संबंधित ग्राफ़ के साथ $X\times Y$. में क्षैतिज रेखाओं पर विचार करें $X\times Y$ :$\{(x,y_{0})\in X\times Y:y_{0}{\text{ is constant}}\}=X\times \{y_{0}\}$. फलन f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा ग्राफ को अधिकतम एक बार काटती है। इस मामले में कहा जाता है कि ग्राफ क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है। यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को एक से अधिक बार काटती है, तो फ़ंक्शन क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है और इंजेक्शन नहीं होता है।

यह भी देखें

• कार्यक्षेत्र रेखा परीक्षण
• उलटा काम करना
• मोनोटोनिक फ़ंक्शन