उपसमूहों की जाली

डीह₄, उनके चक्र ग्राफ (बीजगणित) द्वारा दर्शाए गए उपसमूहों के साथ

गणित में, एक समूह (गणित) के उपसमूहों की जाली $G$ जाली (क्रम) है जिसके तत्व उपसमूह हैं $G$, आंशिक क्रम संबंध (गणित) को शामिल किए जाने के साथ सेट किया जा रहा है।

इस जाली में, दो उपसमूहों का जुड़ाव उनके संघ (सेट सिद्धांत) द्वारा एक समूह का उपसमूह उत्पन्न करने वाला समूह है, और दो उपसमूहों का मिलन उनका प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है।

उदाहरण

डायहेड्रल समूह ऑर्डर 8 का डायहेड्रल समूह | डीह₄दस उपसमूह हैं, खुद की गिनती और तुच्छ समूह। आठ समूह तत्वों में से पांच क्रम दो के उपसमूह उत्पन्न करते हैं, और अन्य दो गैर-पहचान तत्व दोनों क्रम चार के समान चक्रीय समूह उपसमूह उत्पन्न करते हैं। इसके अलावा, क्लेन चार-समूह | जेड के रूप में दो उपसमूह हैं₂ × जेड₂क्रम-दो तत्वों के जोड़े द्वारा उत्पन्न। इन दस उपसमूहों द्वारा बनाई गई जाली को चित्रण में दिखाया गया है।

यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि समूह के सभी उपसमूहों की जाली सामान्य रूप से एक मॉड्यूलर जाली नहीं है। दरअसल, इस विशेष जाली में वर्जित पेंटागन एन शामिल है₅ उपवर्ग के रूप में

गुण

A ≤ C (C का एक उपसमूह) वाले समूह के किसी A, B, और C उपसमूहों के लिए AB ∩ C = A(B ∩ C); यहाँ गुणन उपसमूहों का गुणनफल है। इस संपत्ति को समूहों की मॉड्यूलर संपत्ति कहा गया है (Aschbacher 2000) या (रिचर्ड डेडेकिंड का) मॉड्यूलर कानून (Robinson 1996, Cohn 2000). चूंकि दो सामान्य उपसमूहों के लिए उत्पाद वास्तव में सबसे छोटा उपसमूह है जिसमें दो शामिल हैं, सामान्य उपसमूह एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं।

जाली प्रमेय एक समूह के उपसमूहों की जाली और उसके भागफलों के बीच एक गाल्वा संबंध स्थापित करता है।

Zassenhaus लेम्मा उपसमूहों की जाली में भागफलों और उत्पादों के कुछ संयोजनों के बीच एक समरूपता देता है।

सामान्य तौर पर, उपसमूहों की जाली के आकार पर कोई प्रतिबंध नहीं है, इस अर्थ में कि प्रत्येक जाली किसी समूह के उपसमूह जाली के उप-वर्ग के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके अलावा, प्रत्येक परिमित सेट जाली कुछ परिमित समूह के उपसमूह जाली के उपसमूह के लिए समरूप है (Schmidt 1994, p. 9).

विशेषता जाली

कुछ गुणों वाले उपसमूह जाली बनाते हैं, लेकिन अन्य गुण नहीं होते हैं।

• सामान्य उपसमूह हमेशा एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं। वास्तव में, आवश्यक संपत्ति जो गारंटी देती है कि जाली मॉड्यूलर है, यह है कि उपसमूह एक-दूसरे के साथ यात्रा करते हैं, यानी वे अर्ध-सामान्य उपसमूह हैं।
• निलपोटेंट समूह सामान्य उपसमूह एक जाली बनाते हैं, जो फिटिंग के प्रमेय की सामग्री (का हिस्सा) है।
• सामान्य तौर पर, किसी भी फिटिंग वर्ग एफ के लिए, दोनों उप-सामान्य उपसमूह एफ-उपसमूह और सामान्य एफ-उपसमूह जाली बनाते हैं। इसमें एफ के साथ निलपोटेंट समूहों के वर्ग के साथ-साथ अन्य उदाहरण भी शामिल हैं जैसे कि एफ सॉल्व करने योग्य समूहों का वर्ग। समूहों के एक वर्ग को फिटिंग क्लास कहा जाता है यदि यह आइसोमोर्फिज्म, अर्धसामान्य उपसमूह और असामान्य उपसमूह ्स के उत्पादों के तहत बंद है।
• केंद्र (समूह) उपसमूह एक जाली बनाते हैं।

हालांकि, न तो परिमित उपसमूह और न ही मरोड़ उपसमूह एक जाली बनाते हैं: उदाहरण के लिए, मुक्त उत्पाद $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} *\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ दो मरोड़ वाले तत्वों से उत्पन्न होता है, लेकिन अनंत होता है और इसमें अनंत क्रम के तत्व होते हैं।

तथ्य यह है कि सामान्य उपसमूह एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं, एक अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी भी माल्टसेव किस्म में (जिनमें से समूह एक उदाहरण हैं), अनुरूपता जाली मॉड्यूलर है (Kearnes & Kiss 2013).

उनके उपसमूह जाल द्वारा समूहों की विशेषता

उपसमूहों की जाली के बारे में जाली सैद्धांतिक जानकारी का उपयोग कभी-कभी मूल समूह के बारे में जानकारी का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, एक ऐसा विचार जो काम पर वापस जाता है Øystein Ore (1937, 1938). उदाहरण के लिए, जैसा कि अयस्क ने सिद्ध किया है, एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय समूह है यदि और केवल अगर इसके उपसमूहों की जाली वितरणकारी जाली है। यदि अतिरिक्त रूप से जाली आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है, तो समूह चक्रीय होता है।

जिन समूहों के उपसमूहों की जाली एक पूरक जाली है, उन्हें पूरक समूह कहा जाता है (Zacher 1953), और जिन समूहों के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर जाली हैं, उन्हें इवासावा समूह या मॉड्यूलर समूह कहा जाता है (Iwasawa 1941). इस प्रकार के जाली-सैद्धांतिक लक्षण भी हल करने योग्य समूहों और पूर्ण समूहों के लिए मौजूद हैं (Suzuki 1951).

संदर्भ

• Aschbacher, M. (2000). Finite Group Theory. Cambridge University Press. p. 6. ISBN 978-0-521-78675-1.
• Baer, Reinhold (1939). "The significance of the system of subgroups for the structure of the group". American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press. 61 (1): 1–44. doi:10.2307/2371383. JSTOR 2371383.
• Cohn, Paul Moritz (2000). Classic algebra. Wiley. p. 248. ISBN 978-0-471-87731-8.
• Iwasawa, Kenkiti (1941), "Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen", J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo. Sect. I., 4: 171–199, MR 0005721
• Kearnes, Keith; Kiss, Emil W. (2013). The Shape of Congruence Lattices. American Mathematical Soc. p. 3. ISBN 978-0-8218-8323-5.
• Ore, Øystein (1937). "Structures and group theory. I". Duke Mathematical Journal. 3 (2): 149–174. doi:10.1215/S0012-7094-37-00311-9. MR 1545977.
• Ore, Øystein (1938). "Structures and group theory. II". Duke Mathematical Journal. 4 (2): 247–269. doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3. hdl:10338.dmlcz/100155. MR 1546048.
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• Rottlaender, Ada (1928). "Nachweis der Existenz nicht-isomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen". Mathematische Zeitschrift. 28 (1): 641–653. doi:10.1007/BF01181188. S2CID 120596994.
• Schmidt, Roland (1994). Subgroup Lattices of Groups. Expositions in Math. Vol. 14. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-011213-9. Review by Ralph Freese in Bull. AMS 33 (4): 487–492.
• Suzuki, Michio (1951). "On the lattice of subgroups of finite groups". Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 70 (2): 345–371. doi:10.2307/1990375. JSTOR 1990375.
• Suzuki, Michio (1956). Structure of a Group and the Structure of its Lattice of Subgroups. Berlin: Springer Verlag.
• Yakovlev, B. V. (1974). "Conditions under which a lattice is isomorphic to a lattice of subgroups of a group". Algebra and Logic. 13 (6): 400–412. doi:10.1007/BF01462952. S2CID 119943975.
• Zacher, Giovanni (1953). "Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito complementati". Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 22: 113–122. ISSN 0041-8994. MR 0057878.

बाहरी संबंध

• PlanetMath entry on lattice of subgroups
• Example: Lattice of subgroups of the symmetric group S4