द्वैत (आदेश सिद्धांत)
आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित सेट P एक 'दोहरी' (या 'विपरीत') आंशिक रूप से आदेशित सेट को जन्म देता है जिसे अक्सर P द्वारा निरूपित किया जाता है।ऑप या पीघ. यह दोहरा क्रम पीop को एक ही सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन उलटे क्रम के साथ, यानी x ≤ y P में होल्ड करता हैop अगर और केवल अगर y ≤ x P में रहता है। यह देखना आसान है कि यह निर्माण, जिसे P के लिए हस्से आरेख को उल्टा करके दिखाया जा सकता है, वास्तव में आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का उत्पादन करेगा। व्यापक अर्थ में, दो आंशिक रूप से आदेशित सेटों को भी दोहरी कहा जाता है यदि वे 'दोहरी समरूपता' हैं, अर्थात यदि एक पॉसेट दूसरे के दोहरे के लिए आदेश समरूपता है।
इस सरल परिभाषा का महत्व इस तथ्य से उपजा है कि आदेश सिद्धांत की हर परिभाषा और प्रमेय को आसानी से दोहरे क्रम में स्थानांतरित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, यह आदेशित सेटों के लिए 'द्वंद्व सिद्धांत' द्वारा कब्जा कर लिया गया है:
- यदि एक दिया गया कथन सभी आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेटों के लिए मान्य है, तो सभी ऑर्डर संबंधों की दिशा को उल्टा करके और सभी ऑर्डर सैद्धांतिक परिभाषाओं को दोहराकर प्राप्त किया गया इसका दोहरा बयान सभी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के लिए भी मान्य है।
यदि कोई कथन या परिभाषा उसके द्वैत के तुल्य है तो उसे 'स्वद्वैत' कहा जाता है। ध्यान दें कि दोहरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अक्सर निहित रूप से होता है।
उदाहरण
स्वाभाविक रूप से, दोहरी अवधारणाओं के लिए बड़ी संख्या में उदाहरण हैं:
- सबसे बड़ा तत्व
- अधिकतम तत्व
- कम से कम ऊपरी सीमा (सुप्रिमा, ∨) और सबसे बड़ी निचली सीमा (इन्फ़िमा, ∧)
- ऊपरी सेट
- आदर्श (आदेश सिद्धांत) और फिल्टर (गणित)
- क्लोजर ऑपरेटर और कर्नेल ऑपरेटर।
स्व-दोहरी धारणाओं के उदाहरणों में शामिल हैं:
- एक (पूर्ण जाली) जाली होना (आदेश)
- कार्यों का मोनोटोनिक फ़ंक्शन
- वितरणात्मक जाली, यानी जाली जिसके लिए ∀x, y, z: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) धारण करता है, वास्तव में वे हैं जिनके लिए दोहरी कथन ∀x, y, z : x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) धारण करता है[1]
- बूलियन बीजगणित (संरचना) होना
- एक आदेश समरूपता होना।
चूंकि आंशिक आदेश एंटीसिमेट्रिक संबंध हैं, केवल वे ही जो स्व-द्वैत हैं, तुल्यता संबंध हैं (लेकिन आंशिक आदेश की धारणा स्व-द्वैत है)।
यह भी देखें
- विपरीत संबंध
- बूलियन बीजगणित विषयों की सूची
- ट्रांसपोज़ ग्राफ
- द्वैत (श्रेणी सिद्धांत), जिनमें से क्रम सिद्धांत में द्वैत एक विशेष मामला है
संदर्भ
- ↑ The quantifiers are essential: for individual elements x, y, z, e.g. the first equation may be violated, but the second may hold; see the N5 lattice for an example.
- Davey, B.A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1
