निकट बहुभुज

व्यास d = 2 के साथ बहुभुज के पास घना

गणित में, निकट बहुभुज 1980 में अर्नेस्ट ई. शल्ट और आर्थर यानुष्का द्वारा प्रस्तुत एक आपतन ज्यामिति है। शल्ट और यानुष्का ने यूक्लिडियन रिक्त स्थान में तथाकथित टेट्राहेड्रली बंद लाइन-सिस्टम और घटना ज्यामिति के एक वर्ग के बीच संबंध दिखाया। पॉइंट-लाइन ज्यामिति जिसे उन्होंने पॉलीगॉन के पास कहा। ये संरचनाएं सामान्यीकृत बहुभुज की धारणा को सामान्यीकृत करती हैं क्योंकि प्रत्येक सामान्यीकृत 2n-गॉन एक विशेष प्रकार का लगभग 2n-गॉन है। लगभग बहुभुजों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया और उनके और दोहरे ध्रुवीय स्थानों के बीच संबंध का अध्ययन किया गया 1980 और 1990 के दशक की शुरुआत में दिखाया गया था। कुछ छिटपुट समूह, उदाहरण के लिए हॉल-जान्को समूह और मैथ्यू समूह, निकट बहुभुजों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों के रूप में कार्य करते हैं।

परिभाषा

नियर 2d-गॉन एक आपतन संरचना है ($P,L,I$), कहाँ $P$ बिंदुओं का समूह है, $L$ लाइनों का सेट है और $I\subseteq P\times L$ घटना संबंध है, जैसे कि:

• दो बिंदुओं (तथाकथित व्यास) के बीच की अधिकतम दूरी d है।
• हर बिंदु के लिए $x$ और हर पंक्ति $L$ पर एक अनूठा बिंदु मौजूद है $L$ जो सबसे निकट है $x$.

ध्यान दें कि दूरी को बिंदुओं के संरेखता ग्राफ़ (विच्छेद गणित) में मापा जाता है, अर्थात, बिंदुओं को शीर्षों के रूप में लेकर और शीर्षों की एक जोड़ी को जोड़कर बनाया गया ग्राफ़, यदि वे एक सामान्य रेखा के साथ घटित होते हैं। हम एक वैकल्पिक ग्राफ (असतत गणित) की परिभाषा भी दे सकते हैं, नियर 2d-गॉन संपत्ति के साथ परिमित व्यास d का एक जुड़ा हुआ ग्राफ है जो प्रत्येक शीर्ष x और प्रत्येक अधिकतम क्लिक M के लिए M में एक अद्वितीय शीर्ष x' मौजूद है जो निकटतम है एक्स। इस तरह के ग्राफ के अधिकतम समूह घटना संरचना परिभाषा में रेखाओं के अनुरूप होते हैं। A नियर 0-गॉन (d = 0) एक सिंगल पॉइंट है जबकि a नियर 2-गॉन (d = 1) केवल एक लाइन है, यानी एक पूरा ग्राफ। एक निकट चतुर्भुज (डी = 2) एक (संभवतः पतित) सामान्यीकृत चतुर्भुज के समान है। वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक सामान्यीकृत बहुभुज | सामान्यीकृत 2d-गॉन एक निकट 2d-गॉन है जो निम्नलिखित दो अतिरिक्त शर्तों को पूरा करता है:

• हर बिंदु कम से कम दो पंक्तियों के साथ घटना है।
• दूरी i < d पर प्रत्येक दो बिंदु x, y के लिए, x से दूरी i − 1 पर y का एक अनूठा पड़ोसी मौजूद है।

एक निकट बहुभुज को सघन कहा जाता है यदि प्रत्येक रेखा कम से कम तीन बिंदुओं के साथ आपतित होती है और यदि प्रत्येक दो बिंदुओं की दूरी पर कम से कम दो आम पड़ोसी होते हैं। ऐसा कहा जाता है कि क्रम (s, t) है यदि प्रत्येक पंक्ति ठीक s + 1 बिंदुओं के साथ आपतित होती है और प्रत्येक बिंदु ठीक t + 1 रेखाओं के साथ आपतित होती है। पॉलीगॉन के पास डेंस का एक समृद्ध सिद्धांत है और उनमें से कई वर्ग (जैसे पॉलीगॉन के पास स्लिम डेंस) को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।

उदाहरण

• सभी जुड़े द्विपक्षीय ग्राफ बहुभुज के पास हैं। वास्तव में, कोई भी निकट बहुभुज जिसमें प्रति पंक्ति ठीक दो बिंदु हों, एक जुड़ा हुआ द्विदलीय ग्राफ होना चाहिए।
• प्रक्षेपी तलों को छोड़कर सभी परिमित सामान्यीकृत बहुभुज।
• सभी ध्रुवीय स्थान।
• अष्टकोना के पास हॉल-जानको, जिसे अष्टकोना के पास कोहेन-जैक्स स्तन के रूप में भी जाना जाता है हॉल-जान्को समूह से संबद्ध। इसका निर्माण हॉल-जानको समूह के 315 केंद्रीय अंतर्विरोधों के संयुग्मन वर्ग को बिंदुओं और रेखाओं के रूप में तीन तत्व उपसमुच्चय {x, y, xy} के रूप में चुनकर किया जा सकता है जब भी x और y यात्रा करते हैं।
• उन्हें₂₄ मैथ्यू समूह M24 और बाइनरी भाषा में कोड से संबंधित हेक्सागोन के पास। इसका निर्माण गोले कोड के अनुरूप विट डिजाइन एस (5, 8, 24) में 759 ऑक्टैड्स (ब्लॉक) को बिंदुओं के रूप में और लाइनों के रूप में तीन जोड़ीदार असंयुक्त ऑक्टैड्स के ट्रिपल द्वारा किया गया है। * {1, 2, ..., 2n + 2} के समुच्चय के विभाजन को n + 1 2-उपसमुच्चय में बिंदुओं के रूप में लें और विभाजनों को n − 1 2-उपसमुच्चय और एक 4-उपसमुच्चय को रेखाओं के रूप में लें। एक बिंदु एक रेखा की घटना है यदि विभाजन के रूप में यह रेखा का परिशोधन है। यह हमें प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के साथ लगभग 2n-गॉन देता है, जिसे आमतौर पर 'H' के रूप में दर्शाया जाता है।_n. इसका पूर्ण ऑटोमोर्फिज़्म समूह सममित समूह S है_2n+2.

बहुभुज के पास नियमित

एक परिमित निकट $2d$-गॉन एस को नियमित कहा जाता है अगर इसका कोई आदेश हो $(s,t)$ और अगर वहाँ स्थिरांक मौजूद हैं $t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}$, जैसे कि हर दो बिंदुओं के लिए $x$ और $y$ दूरी पर $i$, ठीक हैं $t_{i}+1$ के माध्यम से लाइनें $y$ दूरी पर एक (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) बिंदु युक्त $i-1$ से $x$. यह पता चला है कि नियमित रूप से पास $2d$-गन ठीक वही हैं जो पास हैं $2d$-गोंस जिसका पॉइंट ग्राफ़ (जिसे कोलीनियरिटी#कोलीनियरिटी ग्राफ़ के रूप में भी जाना जाता है) एक दूरी-नियमित ग्राफ़ है। एक सामान्यीकृत $2d$-आदेश का $(s,t)$ एक नियमित निकट है $2d$-पैरामीटर के साथ $t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t$

यह भी देखें

• परिमित ज्यामिति
• ध्रुवीय स्थान
• आंशिक रैखिक स्थान
• संघ योजना
• हॉल-जान्को ग्राफ

संदर्भ

• Brouwer, A.E.; Cohen, A. M.; Wilbrink, H. A.; Hall, J. J. (1994), "Near polygons and Fischer spaces" (PDF), Geometriae Dedicata, 49 (3): 349–368, doi:10.1007/BF01264034.

• Brouwer, A.E.; Cohen, A.M.; Neumaier, A. (1989), Distance Regular Graphs, Berlin, New York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, MR 1002568.

• Brouwer, A.E.; Wilbrink, H. A. (1983), Two infinite sequences of near polygons (PDF), Report ZW194/83, Mathematisch Centrum.

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• De Bruyn, Bart (2006), Near Polygons, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-7643-7553-9, ISBN 3-7643-7552-3, MR 2227553.

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