पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह

मॉड्यूलर अंकगणित में, पूर्णांक सेट से n तक सह अभाज्य (अपेक्षाकृत प्रधान) होते हैं $\{0,1,\dots ,n-1\}$ n गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समूह (गणित) गुणन पूर्णांक मॉड्यूलो n के अंतर्गत बनता है, जिसे 'पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह' कहा जाता है। समतुल्य रूप से, इस समूह के तत्वों को मॉड्यूलर अंकगणित # सर्वांगसमता वर्ग के रूप में माना जा सकता है, जिसे अवशेष मॉडुलो एन के रूप में भी जाना जाता है, जो कि एन के लिए कोप्राइम हैं। इसलिए अन्य नाम 'आदिम अवशेष वर्ग मॉड्यूलो एन' का समूह है। रिंग (बीजगणित) में, अमूर्त बीजगणित की शाखा, इसे पूर्णांक मॉड्यूलो एन की अंगूठी की इकाइयों के समूह के रूप में वर्णित किया गया है। यहां इकाइयां मॉड्यूलर गुणक व्युत्क्रम वाले तत्वों को संदर्भित करती हैं, जो इस अंगूठी में, वास्तव में n के लिए समान हैं।

यह भागफल समूह, आमतौर पर निरूपित किया जाता है $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$, संख्या सिद्धांत में मौलिक है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफी, पूर्णांक गुणनखंडन और प्रारंभिक परीक्षण में किया जाता है। यह एबेलियन समूह है, परिमित समूह समूह जिसका क्रम यूलर के टोटेंट फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है: $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).$ प्राइम एन के लिए समूह चक्रीय समूह है और सामान्य रूप से संरचना का वर्णन करना आसान है, हालांकि प्राइम एन के लिए भी समूह के जनरेटिंग सेट को खोजने के लिए कोई सामान्य सूत्र ज्ञात नहीं है।

n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है, इस प्रकार s⁵⁶⁰ 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। झूठे गवाहों का उपसमूह इस मामले में उचित नहीं है;

समूह स्वयंसिद्ध

यह दिखाने के लिए सीधा अभ्यास है कि, गुणन के तहत, सर्वांगसमता वर्ग modulo n का समुच्चय जो एबेलियन समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए n के सहअभाज्य हैं।

वास्तव में, a, n का सहअभाज्य है यदि और केवल यदि gcd(a, n) = 1. समान सर्वांगसमता वर्ग में पूर्णांक a ≡ b (mod n) संतुष्ट करना gcd(a, n) = gcd(b, n), इसलिए एक n के लिए सहअभाज्य है यदि और केवल यदि दूसरा है। इस प्रकार सर्वांगसमता वर्ग modulo n की धारणा जो n के लिए सहअभाज्य है, अच्छी तरह से परिभाषित है।

तब से gcd(a, n) = 1 और gcd(b, n) = 1 तात्पर्य gcd(ab, n) = 1, कोप्राइम से n तक की कक्षाओं का सेट गुणन के तहत बंद है।

पूर्णांक गुणन सर्वांगसमता वर्गों का सम्मान करता है, अर्थात, a ≡ a' और b ≡ b' (mod n) तात्पर्य ab ≡ a'b' (mod n). इसका तात्पर्य है कि गुणन साहचर्य, क्रमविनिमेय है, और यह कि 1 का वर्ग अद्वितीय गुणक पहचान है।

अंत में, a दिया गया है, मॉड्यूल n का मॉड्यूलर गुणात्मक व्युत्क्रम पूर्णांक x संतोषजनक है ax ≡ 1 (mod n). यह ठीक तब मौजूद होता है जब a, n से सहअभाज्य होता है, क्योंकि उस स्थिति में gcd(a, n) = 1 और बेज़ाउट लेम्मा द्वारा पूर्णांक x और y संतोषजनक हैं ax + ny = 1. ध्यान दें कि समीकरण ax + ny = 1 का अर्थ है कि x, n का सहअभाज्य है, इसलिए गुणक व्युत्क्रम समूह से संबंधित है।

नोटेशन

जोड़ और गुणन के संचालन के साथ पूर्णांक मॉड्यूलो n का (सर्वांगसमता वर्ग) का सेट रिंग (गणित) है। यह निरूपित है $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$या $\mathbb {Z} /(n)$(संकेतन का तात्पर्य पूर्णांक मॉडुलो द आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) के भागफल वलय को लेने से है। $n\mathbb {Z}$ या $(n)$ n के गुणकों से मिलकर)। संख्या सिद्धांत के बाहर सरल अंकन $\mathbb {Z} _{n}$ अक्सर प्रयोग किया जाता है, हालांकि इसे पी-एडिक संख्या के साथ भ्रमित किया जा सकता हैp-adic पूर्णांक जब n अभाज्य संख्या है।

पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणात्मक समूह, जो इस रिंग में इकाइयों का समूह है, को (लेखक के आधार पर) लिखा जा सकता है। $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },$   $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$   $\mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),$   $\mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ (जर्मन इनहाइट के लिए, जो इकाई के रूप में अनुवादित है), $\mathbb {Z} _{n}^{*}$, या समान अंकन। यह लेख उपयोग करता है $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.$ अंकन $\mathrm {C} _{n}$ क्रम n के चक्रीय समूह को संदर्भित करता है। यह योग के तहत पूर्णांक मॉड्यूलो एन के समूह के लिए समूह समरूपता है। ध्यान दें कि $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ या $\mathbb {Z} _{n}$ अतिरिक्त के तहत समूह को भी संदर्भित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गुणक समूह $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ अभाज्य p के लिए चक्रीय है और इसलिए योज्य समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}$, लेकिन समरूपता स्पष्ट नहीं है।

संरचना

पूर्णांक मॉड्यूलो n के गुणक समूह का क्रम पूर्णांकों की संख्या है $\{0,1,\dots ,n-1\}$ कोप्राइम से n. यह यूलर के कुल कार्य द्वारा दिया गया है: $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)$ (sequence A000010 in the OEIS). प्राइम पी के लिए, $\varphi (p)=p-1$.

चक्रीय मामला

Main article: primitive root modulo n

समूह $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय समूह है यदि और केवल यदि n 1, 2, 4, p है^{कश्मीर} या 2p^k, जहाँ p विषम अभाज्य संख्या है और k > 0. n के अन्य सभी मानों के लिए समूह चक्रीय नहीं है। यह सर्वप्रथम कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा सिद्ध किया गया था। इसका मतलब है कि इन n के लिए:

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},$ कहाँ $\varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.$

परिभाषा के अनुसार, समूह चक्रीय है अगर और केवल अगर उसके पास समूह जी का जनरेटिंग सेट है (आकार एक के समूह {जी} का एक जनरेटिंग सेट), यानी शक्तियां $g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,$ n को सभी संभावित अवशेष modulo n coprime दें (पहला $\varphi (n)$ पॉवर्स $g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}$ प्रत्येक को ठीक एक बार दें)। का जनरेटर $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ प्रिमिटिव रूट मोडुलो n|प्रिमिटिव रूट मॉड्यूलो n कहलाता है। जनरेटर है तो हैं $\varphi (\varphi (n))$ उनमें से।

===2 === की शक्तियाँ मोडुलो 1 कोई भी दो पूर्णांक सर्वांगसम हैं, यानी, केवल सर्वांगसमता वर्ग है, [0], कोप्राइम टू 1. इसलिए, $(\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ के साथ तुच्छ समूह है φ(1) = 1 तत्व। इसकी तुच्छ प्रकृति के कारण, सर्वांगसमता मॉडुलो 1 के मामले को आम तौर पर अनदेखा कर दिया जाता है और कुछ लेखक प्रमेय बयानों में n = 1 के मामले को शामिल नहीं करना चुनते हैं।

मॉडुलो 2 केवल सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग है, [1], इसलिए $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ तुच्छ समूह है।

मॉडुलो 4 में दो परस्पर सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1] और [3], इसलिए $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},$ दो तत्वों के साथ चक्रीय समूह।

मॉडुलो 8 में चार सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1], [3], [5] और [7]। इनमें से प्रत्येक का वर्ग 1 है, इसलिए $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ क्लेन चार-समूह।

मोडुलो 16 में आठ सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] और [15]। $\{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ 2-मरोड़ उपसमूह है (यानी, प्रत्येक तत्व का वर्ग 1 है), इसलिए $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय नहीं है। 3 की शक्तियां, $\{1,3,9,11\}$ क्रम 4 का उपसमूह है, जैसा कि 5 की शक्तियाँ हैं, $\{1,5,9,13\}.$ इस प्रकार $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.$ 8 और 16 द्वारा दिखाया गया पैटर्न धारण करता है उच्च शक्तियों के लिए 2^{क</सुप>, k > 2: $\{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ 2-मरोड़ उपसमूह है (इसलिए $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय नहीं है) और 3 की शक्तियाँ क्रम के चक्रीय उपसमूह हैं 2k − 2, इसलिए $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.$}

सामान्य समग्र संख्या

परिमित एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा, समूह $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ प्राइम पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों के समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है।

अधिक विशेष रूप से, चीनी शेष प्रमेय कहते हैं कि अगर $\;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;$ फिर अंगूठी $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ इसके प्रत्येक प्रमुख शक्ति कारकों के अनुरूप छल्लों के छल्लों का उत्पाद है:

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;$

इसी प्रकार, इकाइयों का समूह $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ प्रत्येक प्रमुख शक्ति कारकों के अनुरूप समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है:

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.$

प्रत्येक विषम प्रधान शक्ति के लिए $p^{k}$ संबंधित कारक $(\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ क्रम का चक्रीय समूह है $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}$, जो प्राइम-पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों में आगे बढ़ सकता है। 2 कारक की शक्तियों के लिए $(\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ k = 0, 1, 2 तक चक्रीय नहीं है, लेकिन ऊपर वर्णित अनुसार चक्रीय समूहों में कारक हैं।

समूह का क्रम $\varphi (n)$ प्रत्यक्ष उत्पाद में चक्रीय समूहों के आदेशों का उत्पाद है। समूह के समूह का प्रतिपादक, जो कि चक्रीय समूहों में आदेशों का सबसे कम सामान्य गुणक है, कारमाइकल समारोह द्वारा दिया जाता है $\lambda (n)$ (sequence A002322 in the OEIS). दूसरे शब्दों में, $\lambda (n)$ सबसे छोटी संख्या है जैसे प्रत्येक के लिए n के लिए एक coprime, $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ रखती है। यह बांटता है $\varphi (n)$ और इसके बराबर है अगर और केवल अगर समूह चक्रीय है।

झूठे गवाहों का उपसमूह

यदि n संमिश्र है, तो गुणात्मक समूह का उपसमूह मौजूद होता है, जिसे झूठे गवाहों का समूह कहा जाता है, जिसमें तत्व, जब सत्ता में आ जाते हैं n − 1, 1 modulo n के सर्वांगसम हैं। (चूंकि अवशेष 1 जब किसी भी शक्ति के लिए उठाया जाता है तो 1 मॉड्यूलो एन के अनुरूप होता है, ऐसे तत्वों का सेट खाली नहीं होता है।) फर्मेट के लिटिल प्रमेय के कारण कोई कह सकता है कि इस तरह के अवशेष झूठे सकारात्मक हैं या एन की प्रारंभिकता के लिए झूठे गवाह हैं। नंबर 2 इस मूल प्रारंभिक जाँच में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अवशेष है, इसलिए 341 = 11 × 31 2 से प्रसिद्ध है³⁴⁰ 1 मॉड्यूल 341 के अनुरूप है, और 341 सबसे छोटी ऐसी समग्र संख्या है (2 के संबंध में)। 341 के लिए, झूठे गवाहों के उपसमूह में 100 अवशेष होते हैं और ऐसा ही 300 तत्व गुणात्मक समूह मॉड 341 के अंदर इंडेक्स 3 का होता है।

उदाहरण

एन = 9

झूठे गवाहों के गैर-तुच्छ उपसमूह के साथ सबसे छोटा उदाहरण है 9 = 3 × 3. 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 के लिए 6 अवशेष सहअभाज्य हैं। चूँकि 8 सर्वांगसम है −1 modulo 9, यह 8 का अनुसरण करता है⁸ 1 सापेक्ष 9 के अनुरूप है। इसलिए 1 और 8 9 की प्राथमिकता के लिए गलत सकारात्मक हैं (चूंकि 9 वास्तव में अभाज्य नहीं है)। वास्तव में ये केवल एक ही हैं, इसलिए उपसमूह {1,8} झूठे गवाहों का उपसमूह है। वही तर्क यह दर्शाता है n − 1 किसी भी विषम सम्मिश्र n के लिए झूठा गवाह है।

एन = 91

n = 91 (= 7 × 13) के लिए, हैं $\varphi (91)=72$ अवशेष 91 के अनुरूप हैं, उनमें से आधे (यानी, उनमें से 36) 91 के झूठे गवाह हैं, अर्थात् 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82, 87, 88, और 90, क्योंकि इन मूल्यों के लिए एक्स, एक्स⁹⁰ 1 मॉड 91 के अनुरूप है।

एन = 561

n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है, इस प्रकार s⁵⁶⁰ 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। झूठे गवाहों का उपसमूह इस मामले में उचित नहीं है; यह गुणनात्मक इकाइयों मॉड्यूलो 561 का संपूर्ण समूह है, जिसमें 320 अवशेष शामिल हैं।

उदाहरण

यह तालिका चक्रीय अपघटन को दर्शाती है $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ और n ≤ 128 के लिए समूह का जनरेटिंग सेट। अपघटन और जनरेटिंग सेट अद्वितीय नहीं हैं; उदाहरण के लिए,

$\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }&\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{6}\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{3}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{12}\cong (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /13\mathbb {Z} )^{\times }\\&\cong (\mathbb {Z} /52\mathbb {Z} )^{\times }\end{aligned}}$ (लेकिन $\not \cong \mathrm {C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\times \mathrm {C} _{3}$). नीचे दी गई तालिका सबसे छोटी अपघटन सूचीबद्ध करती है (उनमें से, लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहले चुना जाता है - यह गारंटी देता है कि आइसोमोर्फिक समूह समान अपघटन के साथ सूचीबद्ध हैं)। जनरेटिंग सेट को जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है, और एन के लिए आदिम रूट के साथ, सबसे छोटा आदिम रूट मॉड्यूलो एन सूचीबद्ध होता है।

उदाहरण के लिए, ले लो $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$. तब $\varphi (20)=8$ इसका अर्थ है कि समूह का क्रम 8 है (अर्थात, 20 से कम 8 संख्याएँ हैं और इसका सहअभाज्य है); $\lambda (20)=4$ इसका मतलब है कि प्रत्येक तत्व का क्रम 4 को विभाजित करता है, अर्थात, 20 से किसी भी संख्या की चौथी शक्ति 1 (मॉड 20) के अनुरूप है। सेट {3,19} समूह उत्पन्न करता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ स्वरूप का है 3^a × 19^b (जहाँ a 0, 1, 2, या 3 है, क्योंकि तत्व 3 का क्रम 4 है, और इसी तरह b 0 या 1 है, क्योंकि तत्व 19 का क्रम 2 है)।

सबसे छोटा प्रिमिटिव रूट मॉड n हैं (0 यदि कोई रूट मौजूद नहीं है)

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2 , 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3 , 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0 , 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... (sequence A046145 in the OEIS)

मॉड एन के न्यूनतम जनरेटिंग सेट में तत्वों की संख्या है

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1 , 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1 , 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2 , 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... (sequence A046072 in the OEIS)

Group structure of (Z/nZ)^×

$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Generating set		$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Generating set		$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Generating set		$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Generating set
1	C1	1	1	0		33	C2×C10	20	10	2, 10		65	C4×C12	48	12	2, 12		97	C96	96	96	5
2	C1	1	1	1		34	C16	16	16	3		66	C2×C10	20	10	5, 7		98	C42	42	42	3
3	C2	2	2	2		35	C2×C12	24	12	2, 6		67	C66	66	66	2		99	C2×C30	60	30	2, 5
4	C2	2	2	3		36	C2×C6	12	6	5, 19		68	C2×C16	32	16	3, 67		100	C2×C20	40	20	3, 99
5	C4	4	4	2		37	C36	36	36	2		69	C2×C22	44	22	2, 68		101	C100	100	100	2
6	C2	2	2	5		38	C18	18	18	3		70	C2×C12	24	12	3, 69		102	C2×C16	32	16	5, 101
7	C6	6	6	3		39	C2×C12	24	12	2, 38		71	C70	70	70	7		103	C102	102	102	5
8	C2×C2	4	2	3, 5		40	C2×C2×C4	16	4	3, 11, 39		72	C2×C2×C6	24	6	5, 17, 19		104	C2×C2×C12	48	12	3, 5, 103
9	C6	6	6	2		41	C40	40	40	6		73	C72	72	72	5		105	C2×C2×C12	48	12	2, 29, 41
10	C4	4	4	3		42	C2×C6	12	6	5, 13		74	C36	36	36	5		106	C52	52	52	3
11	C10	10	10	2		43	C42	42	42	3		75	C2×C20	40	20	2, 74		107	C106	106	106	2
12	C2×C2	4	2	5, 7		44	C2×C10	20	10	3, 43		76	C2×C18	36	18	3, 37		108	C2×C18	36	18	5, 107
13	C12	12	12	2		45	C2×C12	24	12	2, 44		77	C2×C30	60	30	2, 76		109	C108	108	108	6
14	C6	6	6	3		46	C22	22	22	5		78	C2×C12	24	12	5, 7		110	C2×C20	40	20	3, 109
15	C2×C4	8	4	2, 14		47	C46	46	46	5		79	C78	78	78	3		111	C2×C36	72	36	2, 110
16	C2×C4	8	4	3, 15		48	C2×C2×C4	16	4	5, 7, 47		80	C2×C4×C4	32	4	3, 7, 79		112	C2×C2×C12	48	12	3, 5, 111
17	C16	16	16	3		49	C42	42	42	3		81	C54	54	54	2		113	C112	112	112	3
18	C6	6	6	5		50	C20	20	20	3		82	C40	40	40	7		114	C2×C18	36	18	5, 37
19	C18	18	18	2		51	C2×C16	32	16	5, 50		83	C82	82	82	2		115	C2×C44	88	44	2, 114
20	C2×C4	8	4	3, 19		52	C2×C12	24	12	7, 51		84	C2×C2×C6	24	6	5, 11, 13		116	C2×C28	56	28	3, 115
21	C2×C6	12	6	2, 20		53	C52	52	52	2		85	C4×C16	64	16	2, 3		117	C6×C12	72	12	2, 17
22	C10	10	10	7		54	C18	18	18	5		86	C42	42	42	3		118	C58	58	58	11
23	C22	22	22	5		55	C2×C20	40	20	2, 21		87	C2×C28	56	28	2, 86		119	C2×C48	96	48	3, 118
24	C2×C2×C2	8	2	5, 7, 13		56	C2×C2×C6	24	6	3, 13, 29		88	C2×C2×C10	40	10	3, 5, 7		120	C2×C2×C2×C4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C20	20	20	2		57	C2×C18	36	18	2, 20		89	C88	88	88	3		121	C110	110	110	2
26	C12	12	12	7		58	C28	28	28	3		90	C2×C12	24	12	7, 11		122	C60	60	60	7
27	C18	18	18	2		59	C58	58	58	2		91	C6×C12	72	12	2, 3		123	C2×C40	80	40	7, 83
28	C2×C6	12	6	3, 13		60	C2×C2×C4	16	4	7, 11, 19		92	C2×C22	44	22	3, 91		124	C2×C30	60	30	3, 61
29	C28	28	28	2		61	C60	60	60	2		93	C2×C30	60	30	11, 61		125	C100	100	100	2
30	C2×C4	8	4	7, 11		62	C30	30	30	3		94	C46	46	46	5		126	C6×C6	36	6	5, 13
31	C30	30	30	3		63	C6×C6	36	6	2, 5		95	C2×C36	72	36	2, 94		127	C126	126	126	3
32	C2×C8	16	8	3, 31		64	C2×C16	32	16	3, 63		96	C2×C2×C8	32	8	5, 17, 31		128	C2×C32	64	32	3, 127

यह भी देखें

• लेनस्ट्रा अण्डाकार वक्र गुणनखंड

संदर्भ

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Gauss's Ciceronian Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithmeticae (English translation, Second, corrected edition), translated by Clarke, Arthur A., New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (German translation, Second edition), translated by Maser, H., New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0191-3
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
• Vinogradov, I. M. (2003), "§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES", Elements of Number Theory, Mineola, NY: Dover Publications, pp. 105–121, ISBN 978-0-486-49530-9

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Modulo Multiplication Group". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Primitive Root". MathWorld.
• Web-based tool to interactively compute group tables by John Jones