लेबेस्ग कवरिंग आयाम

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस के आयाम या टोपोलॉजिकल डायमेंशन को कवर करने वाला लेबेस्ग्यू स्पेस के डायमेंशन को परिभाषित करने के कई अलग-अलग तरीकों में से एक है। सामयिक अपरिवर्तनीय तरीका।

अनौपचारिक चर्चा

सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान के लिए, लेबेस्ग कवरिंग आयाम केवल साधारण यूक्लिडियन आयाम है: अंक के लिए शून्य, रेखाओं के लिए एक, विमानों के लिए दो, और इसी तरह। हालांकि, सभी टोपोलॉजिकल स्पेस में इस तरह का स्पष्ट आयाम नहीं होता है, और इसलिए ऐसे मामलों में एक सटीक परिभाषा की आवश्यकता होती है। जब अंतरिक्ष खुले सेटों द्वारा कवर किया जाता है तो क्या होता है इसकी जांच करके परिभाषा आगे बढ़ती है।

सामान्य तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स खुला ढक्कन हो सकता है, जिसमें कोई खुला सेट का संग्रह पा सकता है जैसे कि एक्स उनके संघ (सेट थ्योरी) के अंदर स्थित है। कवरिंग डायमेंशन सबसे छोटी संख्या n है जैसे कि हर कवर के लिए, एक शोधन (टोपोलॉजी) होता है जिसमें X में हर बिंदु n + 1 कवरिंग सेट से अधिक नहीं के चौराहे (सेट थ्योरी) में निहित होता है। यह नीचे दी गई औपचारिक परिभाषा का सार है। परिभाषा का लक्ष्य एक संख्या (एक पूर्णांक) प्रदान करना है जो स्थान का वर्णन करता है, और बदलता नहीं है क्योंकि स्थान लगातार विकृत होता है; अर्थात्, एक संख्या जो होमियोमोर्फिज्म के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

सामान्य विचार नीचे दिए गए आरेखों में चित्रित किया गया है, जो एक वृत्त और एक वर्ग के आवरण और परिशोधन को दर्शाता है।

Refinement of the cover of a circle

पहली छवि एक काली गोलाकार रेखा के रंगीन आवरण (शीर्ष पर) के शोधन (नीचे) को दिखाती है। ध्यान दें कि परिशोधन में, रेखा पर कोई बिंदु दो से अधिक सेटों में समाहित नहीं है, और यह भी कि कैसे सेट एक "श्रृंखला" बनाने के लिए एक दूसरे से जुड़ते हैं।

Refinement of the cover of a square

दूसरी छवि का शीर्ष आधा एक प्लानर आकार (अंधेरे) का एक कवर (रंगीन) दिखाता है, जहां आकार के सभी बिंदु कवर के सेट के एक से लेकर चारों तक कहीं भी समाहित होते हैं। नीचे यह दर्शाता है कि उक्त कवर को परिष्कृत करने का कोई भी प्रयास ऐसा है कि कोई भी बिंदु दो से अधिक सेटों में समाहित नहीं होगा - अंततः निर्धारित सीमाओं के चौराहे पर विफल हो जाता है। इस प्रकार, एक प्लानर आकार "वेबी" नहीं है: इसे "चेन" के साथ कवर नहीं किया जा सकता है। इसके बजाय, यह एक तरह से *मोटा* साबित होता है। अधिक सख्ती से कहें तो इसका सामयिक आयाम 1 से अधिक होना चाहिए।

औपचारिक परिभाषा

हेनरी लेबेस्ग्यू ने 1921 में कवरिंग डायमेंशन का अध्ययन करने के लिए बंद ईंटों का इस्तेमाल किया।

आयाम को कवर करने की पहली औपचारिक परिभाषा एडुआर्ड सीच द्वारा दी गई थी, जो हेनरी लेबेस्ग्यू के पहले के परिणाम पर आधारित थी।

एक आधुनिक परिभाषा इस प्रकार है। टोपोलॉजिकल स्पेस का खुला कवर X खुले सेट का परिवार है U_α ऐसा कि उनका मिलन संपूर्ण स्थान है, $\cup _{\alpha }$ U_α = X. एक खुले आवरण का क्रम या प्लाई ${\mathfrak {A}}$ = {U_α} सबसे छोटी संख्या है m (यदि यह मौजूद है) जिसके लिए अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु अधिक से अधिक संबंधित है m कवर में खुले सेट

एक विशेष मामले के रूप में, एक गैर-खाली टोपोलॉजिकल स्पेस शून्य-आयामी स्थान है। कवरिंग आयाम के संबंध में शून्य-आयामी यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक खुले आवरण में एक परिशोधन होता है जिसमें असंबद्ध सेट खुले सेट होते हैं ताकि अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु हो इस परिशोधन के ठीक एक खुले सेट में समाहित है।

खाली सेट में कवरिंग डायमेंशन -1 है: खाली सेट के किसी भी खुले कवर के लिए, खाली सेट का प्रत्येक बिंदु कवर के किसी भी तत्व में समाहित नहीं है, इसलिए किसी भी खुले कवर का क्रम 0 है।

उदाहरण

यूनिट सर्कल के किसी भी दिए गए खुले कवर में खुले (टोपोलॉजी) चापों के संग्रह से युक्त एक परिशोधन होगा। इस परिभाषा के अनुसार वृत्त का आयाम एक है, क्योंकि इस तरह के किसी भी आवरण को उस अवस्था में और परिष्कृत किया जा सकता है जहाँ वृत्त का एक बिंदु x अधिक से अधिक दो खुले चापों में समाहित है। यही है, चापों का जो भी संग्रह हम शुरू करते हैं, कुछ को छोड़ दिया या छोटा किया जा सकता है, जैसे कि शेष अभी भी सर्कल को कवर करता है लेकिन सरल ओवरलैप्स के साथ।

इसी तरह, द्वि-आयामी विमान (गणित) में यूनिट डिस्क के किसी भी खुले आवरण को परिष्कृत किया जा सकता है ताकि डिस्क का कोई भी बिंदु तीन से अधिक खुले सेटों में समाहित न हो, जबकि दो सामान्य रूप से पर्याप्त नहीं हैं। डिस्क का आवरण आयाम इस प्रकार दो है।

अधिक आम तौर पर, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस $\mathbb {E} ^{n}$ आवरण आयाम n है।

गुण

• होमोमॉर्फिक रिक्त स्थान का आवरण आयाम समान होता है। यही है, कवरिंग डायमेंशन एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है।
• एक सामान्य स्थान X का आवरण आयाम है $\leq n$ अगर और केवल अगर एक्स के किसी भी बंद उपसमुच्चय ए के लिए, यदि $f:A\rightarrow S^{n}$ निरंतर है, तो का विस्तार है $f$ को $g:X\rightarrow S^{n}$. यहाँ, $S^{n}$ n-sphere|n-विम क्षेत्र है।
• 'रंगीन आयाम पर ऑस्ट्रैंड की प्रमेय।' अगर X एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस है और ${\mathfrak {A}}$ = {U_α} स्थानीय रूप से परिमित आवरण है X क्रम ≤ n + 1, फिर, प्रत्येक 1 ≤ के लिए i ≤ n + 1, जोड़ीदार असंयुक्त खुले सेटों का एक परिवार मौजूद है ${\mathfrak {B}}$_i = {V_i,α} सिकुड़ना ${\mathfrak {A}}$, अर्थात। V_i,α ⊆ U_α, और एक साथ कवर करना X.

आयाम की अन्य धारणाओं से संबंध

• एक पैराकॉम्पैक्ट स्पेस के लिए X, कवरिंग आयाम को समान रूप से न्यूनतम मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है n, ऐसा है कि हर खुला कवर ${\mathfrak {A}}$ का X (किसी भी आकार का) में खुला परिशोधन है ${\mathfrak {B}}$ आदेश के साथ n + 1. विशेष रूप से, यह सभी मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए लागू होता है।
• लेबेस्ग कवरिंग प्रमेय। Lebesgue कवरिंग डायमेंशन एक परिमित सरल जटिल के affine डाइमेंशन के साथ मेल खाता है।
• एक सामान्य स्थान का आवरण आयाम बड़े आगमनात्मक आयाम से कम या उसके बराबर होता है।
• पैराकॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस स्पेस का कवरिंग डायमेंशन $X$ इसके कोहोलॉजिकल आयाम से बड़ा या बराबर है (शेफ (गणित) के अर्थ में), यानी एक के पास है $H^{i}(X,A)=0$ हर पूले के लिए $A$ एबेलियन समूहों पर $X$ और हर $i$ के आवरण आयाम से बड़ा $X$.
• एक मीट्रिक स्थान में, एक कवर की बहुलता की धारणा को मजबूत कर सकता है: एक कवर हैr- अनेकता n + 1 यदि हर r-गेंद अधिकतम के साथ प्रतिच्छेद करती है n + 1 कवर में सेट करता है। यह विचार स्पर्शोन्मुख आयाम की परिभाषाओं की ओर ले जाता है और अंतरिक्ष के असौद-नागाटा आयाम: स्पर्शोन्मुख आयाम वाला स्थान n है n-बड़े पैमाने पर आयामी, और असौद-नागाटा आयाम के साथ एक स्थान n है n-हर पैमाने पर आयामी।

यह भी देखें

• कैराथियोडोरी का विस्तार प्रमेय
• ज्यामितीय सेट कवर समस्या
• आयाम सिद्धांत
• मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस
• बिंदु-परिमित संग्रह

संदर्भ

• Edgar, Gerald A. (2008). "Topological Dimension". Measure, topology, and fractal geometry. Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.). Springer-Verlag. pp. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4. MR 2356043.
• Engelking, Ryszard (1978). Dimension theory (PDF). North-Holland Mathematical Library. Vol. 19. Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3. MR 0482697.
• Godement, Roger (1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (in français). Vol. III. Paris: Hermann. MR 0102797.
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Dimension Theory. Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press. MR 0006493.
• Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. MR 3728284.
• Ostrand, Phillip A. (1971). "Covering dimension in general spaces". General Topology and Appl. 1 (3): 209–221. MR 0288741.

अग्रिम पठन

ऐतिहासिक

• कार्ल मेन्जर, जनरल स्पेसेस एंड कार्टेसियन स्पेसेस, (1926) एम्स्टर्डम एकेडमी ऑफ साइंसेज के लिए संचार। क्लासिक्स ऑन फ्रैक्टल्स में पुनर्मुद्रित अंग्रेजी अनुवाद, जेराल्ड ए एडगर, संपादक, एडिसन-वेस्ले (1993) ISBN 0-201-58701-7
• कार्ल मेन्जर, डायमेंशन थ्योरी, (1928) बी.जी. टेबनेर पब्लिशर्स, लीपज़िग।

आधुनिक

• Pears, Alan R. (1975). सामान्य स्थान का आयाम सिद्धांत. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8. MR 0394604.
• वी. वी. फेडोरचुक, द फंडामेंटल ऑफ़ डायमेंशन थ्योरी, एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथेमेटिकल साइंसेज, वॉल्यूम 17, जनरल टोपोलॉजी I, (1993) ए. वी. अर्खांगेल'स्की और एलएस पोंट्रीगिन (एड्स), स्प्रिंगर-वर्लाग, बर्लिन ISBN 3-540-18178-4.

बाहरी संबंध

• "Lebesgue dimension", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]