सुसंगत शीफ

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में, सुसंगत ढेर शीफ (गणित) का एक वर्ग है जो अंतर्निहित स्थान के ज्यामितीय गुणों से निकटता से जुड़ा हुआ है। सुसंगत शीशों की परिभाषा इस ज्यामितीय जानकारी को संहिताबद्ध करने वाले छल्ले के एक समूह के संदर्भ में बनाई गई है।

सुसंगत ढेरों को वेक्टर बंडलों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। वेक्टर बंडलों के विपरीत, वे एक एबेलियन श्रेणी बनाते हैं, और इसलिए वे कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत), छवि (गणित), और cokernel लेने जैसे संचालन के तहत बंद हो जाते हैं। अर्ध-सुसंगत ढेर सुसंगत ढेरों का एक सामान्यीकरण है और इसमें अनंत रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त ढेर शामिल हैं।

सुसंगत शीफ कोहोलॉजी एक शक्तिशाली तकनीक है, विशेष रूप से किसी दिए गए सुसंगत शीफ के वर्गों का अध्ययन करने के लिए।

परिभाषाएँ

चक्राकार स्थान पर अर्ध-सुसंगत शीफ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक पुलिया है ${\mathcal {F}}$ का ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल का शीफ ​​जिसमें एक स्थानीय प्रस्तुति होती है, यानी हर बिंदु में $X$ एक खुला पड़ोस है $U$ जिसमें एक निश्चित क्रम होता है

${\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$

कुछ (संभवतः अनंत) सेट के लिए $I$ और $J$.

रिंग्ड स्पेस पर एक सुसंगत शीफ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक पुलिया है ${\mathcal {F}}$ निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करना:

1. ${\mathcal {F}}$ परिमित प्रकार का है ${\mathcal {O}}_{X}$, यानी हर बिंदु में $X$ एक खुला पड़ोस है $U$ में $X$ ऐसा है कि एक विशेषण आकारिकी है ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $n$;
2. किसी भी खुले सेट के लिए $U\subseteq X$, कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$, और कोई आकारिकी $\varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ का ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल, की गिरी $\varphi$ परिमित प्रकार का है।

(अर्ध-) सुसंगत ढेरों के बीच की आकृतियाँ उसी प्रकार की होती हैं जैसे कि ढेरों की आकृतियाँ ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल।

योजनाओं का मामला

कब $X$ एक योजना है, ऊपर दी गई सामान्य परिभाषाएँ अधिक स्पष्ट लोगों के बराबर हैं। एक पुलिया ${\mathcal {F}}$ का ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल अर्ध-सुसंगत है अगर और केवल अगर प्रत्येक खुले संबंध योजना पर $U=\operatorname {Spec} A$ प्रतिबंध ${\mathcal {F}}|_{U}$ शीफ के लिए आइसोमॉर्फिक है ${\tilde {M}}$ मॉड्यूल से मॉड्यूल से जुड़ा शीफ $M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ ऊपर $A$. कब $X$ स्थानीय रूप से नोथेरियन योजना है, ${\mathcal {F}}$ सुसंगत है अगर और केवल अगर यह अर्ध-सुसंगत और मॉड्यूल है $M$ उपरोक्त को अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के रूप में लिया जा सकता है।

एक affine योजना पर $U=\operatorname {Spec} A$, से श्रेणियों की समानता है $A$-मॉड्यूल को अर्ध-सुसंगत ढेरों के लिए, एक मॉड्यूल ले रहा है $M$ संबंधित पुलिया के लिए ${\tilde {M}}$. व्युत्क्रम तुल्यता अर्ध-सुसंगत शीफ लेती है ${\mathcal {F}}$ पर $U$ तक $A$-मापांक ${\mathcal {F}}(U)$ के वैश्विक वर्गों की ${\mathcal {F}}$.

यहाँ एक योजना पर अर्ध-सुसंगत ढेरों के कई और लक्षण हैं।

Theorem — Let $X$ be a scheme and ${\mathcal {F}}$ an ${\mathcal {O}}_{X}$-module on it. Then the following are equivalent.

• ${\mathcal {F}}$ is quasi-coherent.
• For each open affine subscheme $U$ of $X$, ${\mathcal {F}}|_{U}$ is isomorphic as an ${\mathcal {O}}_{U}$-module to the sheaf ${\tilde {M}}$ associated to some ${\mathcal {O}}(U)$-module $M$.
• There is an open affine cover $\{U_{\alpha }\}$ of $X$ such that for each $U_{\alpha }$ of the cover, ${\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}$ is isomorphic to the sheaf associated to some ${\mathcal {O}}(U_{\alpha })$-module.
• For each pair of open affine subschemes $V\subseteq U$ of $X$, the natural homomorphism

  ${\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}$

is an isomorphism.

• For each open affine subscheme $U=\operatorname {Spec} A$ of $X$ and each $f\in A$, writing $U_{f}$ for the open subscheme of $U$ where $f$ is not zero, the natural homomorphism

  ${\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})$

is an isomorphism. The homomorphism comes from the universal property of localization.

गुण

एक मनमाने ढंग से चक्राकार स्थान पर अर्ध-सुसंगत ढेर आवश्यक रूप से एक एबेलियन श्रेणी नहीं बनाते हैं। दूसरी ओर, किसी भी योजना (गणित) पर अर्ध-सुसंगत ढेर एक एबेलियन श्रेणी बनाते हैं, और वे उस संदर्भ में अत्यंत उपयोगी होते हैं। किसी भी रिंग वाली जगह पर $X$, सुसंगत ढेर एक एबेलियन श्रेणी बनाते हैं, श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल। (अनुरूप रूप से, किसी भी रिंग पर सुसंगत मॉड्यूल की श्रेणी $A$ सभी श्रेणी की एक पूर्ण एबेलियन उपश्रेणी है $A$-मॉड्यूल्स।) इसलिए सुसंगत ढेरों के किसी भी मानचित्र की गिरी, छवि और कोकर्नेल सुसंगत हैं। दो सुसंगत ढेरों का सीधा योग सुसंगत है; अधिक आम तौर पर, ए ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल जो दो सुसंगत ढेरों के मॉड्यूल का विस्तार है, सुसंगत है। सुसंगत शीफ का एक सबमॉड्यूल सुसंगत है यदि यह परिमित प्रकार का है। एक सुसंगत शीफ हमेशा एक होता है ${\mathcal {O}}_{X}$परिमित प्रस्तुति का मॉड्यूल, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु $x$ में $X$ एक खुला पड़ोस है $U$ ऐसा प्रतिबंध ${\mathcal {F}}|_{U}$ का ${\mathcal {F}}$ को $U$ आकृतिवाद के कोकर्नेल के लिए आइसोमोर्फिक है ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}$ कुछ प्राकृतिक संख्याओं के लिए $n$ और $m$. अगर ${\mathcal {O}}_{X}$ सुसंगत है, फिर, इसके विपरीत, परिमित प्रस्तुति का प्रत्येक पुलिंदा ${\mathcal {O}}_{X}$ सुसंगत है।

अंगूठियों का पुलिंदा ${\mathcal {O}}_{X}$ इसे सुसंगत कहा जाता है यदि इसे सुसंगत रूप से स्वयं के ऊपर मॉड्यूल के एक समूह के रूप में माना जाता है। विशेष रूप से, ओका जुटना प्रमेय कहता है कि एक जटिल विश्लेषणात्मक स्थान पर होलोमोर्फिक कार्यों का पुलिंदा $X$ अंगूठियों का एक सुसंगत शीफ है। प्रमाण का मुख्य भाग मामला है $X=\mathbf {C} ^{n}$. इसी प्रकार, नोथेरियन योजना पर $X$, संरचना शीफ ${\mathcal {O}}_{X}$ अंगूठियों का एक सुसंगत शीफ है।

सुसंगत ढेरों का मूल निर्माण

• एक ${\mathcal {O}}_{X}$-मापांक ${\mathcal {F}}$ एक चक्राकार स्थान पर $X$ स्थानीय रूप से परिमित रैंक से मुक्त कहा जाता है, या एक सदिश बंडल, यदि प्रत्येक बिंदु में $X$ एक खुला पड़ोस है $U$ ऐसा प्रतिबंध ${\mathcal {F}}|_{U}$ की प्रतियों के परिमित प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$. अगर ${\mathcal {F}}$ समान पद से मुक्त है $n$ के हर बिंदु के पास $X$, फिर वेक्टर बंडल ${\mathcal {F}}$ कोटि का बताया गया है $n$.

वेक्टर इस शीफ-सैद्धांतिक अर्थ में एक योजना पर बंडल करता है $X$ एक योजना के रूप में अधिक ज्यामितीय तरीके से परिभाषित वेक्टर बंडलों के बराबर हैं $E$ मोर्फिज्म के साथ $\pi :E\to X$ और एक आवरण के साथ $X$ खुले सेटों द्वारा $U_{\alpha }$ दिए गए समरूपता के साथ $\pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }$ ऊपर $U_{\alpha }$ जैसे कि एक चौराहे पर दो समरूपताएं $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ एक रैखिक ऑटोमोर्फिज्म से भिन्न। (सादृश्य तुल्यता जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों के लिए भी लागू होती है।) उदाहरण के लिए, एक सदिश बंडल दिया गया है $E$ इस ज्यामितीय अर्थ में, संबंधित शीफ ${\mathcal {F}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है: एक खुले सेट पर $U$ का $X$, द ${\mathcal {O}}(U)$-मापांक ${\mathcal {F}}(U)$ आकृतिवाद के खंड (फाइबर बंडल) का सेट है $\pi ^{-1}(U)\to U$. वेक्टर बंडलों की शीफ-सैद्धांतिक व्याख्या का लाभ यह है कि वेक्टर बंडलों (स्थानीय रूप से नोएथेरियन योजना पर) सुसंगत ढेरों की एबेलियन श्रेणी में शामिल हैं।

• स्थानीय रूप से मुक्त ढेर मानक से सुसज्जित हैं ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल संचालन, लेकिन ये स्थानीय रूप से मुक्त ढेरों को वापस देते हैं।
• होने देना $X=\operatorname {Spec} (R)$, $R$ एक नोथेरियन अंगूठी। फिर वेक्टर बंडल चालू $X$ वास्तव में ठीक से उत्पन्न प्रक्षेपी मॉड्यूल से जुड़े शीशे हैं $R$, या (समतुल्य रूप से) बारीक रूप से उत्पन्न फ्लैट मॉड्यूल पर $R$.
• होने देना $X=\operatorname {Proj} (R)$, $R$ एक नोथेरियन $\mathbb {N}$-ग्रेडेड रिंग, नोथेरियन रिंग के ऊपर एक प्रक्षेपण योजना हो $R_{0}$. फिर प्रत्येक $\mathbb {Z}$-श्रेणीबद्ध $R$-मापांक $M$ एक अर्ध-सुसंगत शीफ निर्धारित करता है ${\mathcal {F}}$ पर $X$ ऐसा है कि ${\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}$ से संबंधित शीफ है $R[f^{-1}]_{0}$-मापांक $M[f^{-1}]_{0}$, कहाँ $f$ का समांगी तत्व है $R$ सकारात्मक डिग्री और $\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}$ वह ठिकाना है जहाँ $f$ गायब नहीं होता।

• उदाहरण के लिए, प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n$, होने देना $R(n)$ वर्गीकृत को निरूपित करें $R$-मॉड्यूल द्वारा दिया गया $R(n)_{l}=R_{n+l}$. फिर प्रत्येक $R(n)$ अर्ध-सुसंगत शीफ निर्धारित करता है ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ पर $X$. अगर $R$ के रूप में उत्पन्न होता है $R_{0}$-बीजगणित द्वारा $R_{1}$, तब ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ एक लाइन बंडल (इनवर्टिबल शीफ) ऑन है $X$ और ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ है $n$-वें टेंसर की शक्ति ${\mathcal {O}}_{X}(1)$. विशेष रूप से, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ प्रोजेक्टिव पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल कहा जाता है $n$-अंतरिक्ष।

• एक सुसंगत शीफ का एक सरल उदाहरण $\mathbb {P} ^{2}$ जो एक वेक्टर बंडल नहीं है, कोकरनेल द्वारा निम्नलिखित क्रम में दिया गया है

${\mathcal {O}}(1)\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)} {\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0$

यह है क्योंकि ${\mathcal {E}}$ दो बहुपदों के लुप्त होने वाले स्थान तक सीमित द्वि-आयामी फाइबर हैं, और कहीं-कहीं एक-आयामी फाइबर हैं।

• आदर्श शीफ: यदि $Z$ स्थानीय रूप से नोएथेरियन योजना की एक बंद उपयोजना है $X$, पुलिया ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ गायब होने वाले सभी नियमित कार्यों में से $Z$ सुसंगत है। इसी तरह अगर $Z$ एक जटिल विश्लेषणात्मक स्थान का एक बंद विश्लेषणात्मक उप-क्षेत्र है $X$, आदर्श शेफ ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ सुसंगत है।

• संरचना शीफ ${\mathcal {O}}_{Z}$ एक बंद उपयोजना $Z$ स्थानीय रूप से नोथेरियन योजना की $X$ एक सुसंगत शीफ के रूप में देखा जा सकता है $X$. सटीक होने के लिए, यह प्रत्यक्ष छवि शीफ है $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$, कहाँ $i:Z\to X$ समावेशन है। इसी तरह एक जटिल विश्लेषणात्मक स्थान के एक बंद विश्लेषणात्मक उप-स्थान के लिए। पुलिया $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ खुले सेट में बिंदुओं पर आयाम शून्य का फाइबर (नीचे परिभाषित) है $X-Z$, और बिंदुओं पर आयाम 1 का फाइबर $Z$. सुसंगत ढेरों का एक संक्षिप्त सटीक क्रम है $X$:

$0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.$

• रेखीय बीजगणित के अधिकांश संचालन सुसंगत ढेरों को संरक्षित करते हैं। विशेष रूप से, सुसंगत ढेरों के लिए ${\mathcal {F}}$ और ${\mathcal {G}}$ एक चक्राकार स्थान पर $X$, टेंसर उत्पाद शीफ ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ और पुला होम ${\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$ सुसंगत हैं।
• एक अर्ध-सुसंगत शीफ का एक सरल गैर-उदाहरण शून्य फ़ैक्टर द्वारा विस्तार द्वारा दिया जाता है। उदाहरण के लिए विचार करें $i_{!}{\mathcal {O}}_{X}$ के लिए

$X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}])\xrightarrow {i} \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y$

चूंकि इस शीफ में गैर-तुच्छ डंठल हैं, लेकिन शून्य वैश्विक खंड हैं, यह अर्ध-सुसंगत शीफ नहीं हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक एफ़िन योजना पर अर्ध-सुसंगत ढेर अंतर्निहित अंगूठी पर मॉड्यूल की श्रेणी के बराबर होते हैं, और संयोजन वैश्विक वर्गों को लेने से आता है।

कार्यात्मकता

होने देना $f:X\to Y$ चक्राकार रिक्त स्थान का एक रूपवाद हो (उदाहरण के लिए, योजनाओं का एक रूपवाद)। अगर ${\mathcal {F}}$ पर एक अर्ध-सुसंगत शीफ है $Y$, फिर उलटा छवि शीफ ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल (या पुलबैक) $f^{*}{\mathcal {F}}$ पर अर्ध-सुसंगत है $X$. योजनाओं के एक morphism के लिए $f:X\to Y$ और एक सुसंगत शीफ ${\mathcal {F}}$ पर $Y$पुलबैक $f^{*}{\mathcal {F}}$ पूर्ण सामान्यता में सुसंगत नहीं है (उदाहरण के लिए, $f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}$, जो सुसंगत नहीं हो सकता है), लेकिन सुसंगत ढेरों के पुलबैक सुसंगत हैं यदि $X$ स्थानीय रूप से नोथेरियन है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला वेक्टर बंडल का पुलबैक है, जो एक वेक्टर बंडल है।

अगर $f:X\to Y$ स्कीम थ्योरी की अर्ध-कॉम्पैक्ट शब्दावली है#पृथक और उचित आकारिकी|योजनाओं की अर्ध-पृथक आकारिकी और ${\mathcal {F}}$ पर एक अर्ध-सुसंगत शीफ है $X$, फिर डायरेक्ट इमेज शीफ़ (या पुशफ़ॉरवर्ड) $f_{*}{\mathcal {F}}$ पर अर्ध-सुसंगत है $Y$.

सुसंगत शीफ की प्रत्यक्ष छवि अक्सर सुसंगत नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र (गणित) के लिए $k$, होने देना $X$ एफ़िन लाइन खत्म हो $k$, और रूपवाद पर विचार करें $f:X\to \operatorname {Spec} (k)$; फिर प्रत्यक्ष छवि $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ पुलिया चालू है $\operatorname {Spec} (k)$ बहुपद अंगूठी से संबंधित $k[x]$, जो सुसंगत नहीं है क्योंकि $k[x]$ के रूप में अनंत आयाम है $k$-सदिश स्थल। दूसरी ओर, एक उचित आकृतिवाद के तहत सुसंगत शीफ की प्रत्यक्ष छवि सुसंगत है, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी # कॉहोलॉजी की परिमित-आयामीता द्वारा।

सुसंगत ढेरों का स्थानीय व्यवहार

सुसंगत ढेरों की एक महत्वपूर्ण विशेषता ${\mathcal {F}}$ यह है कि के गुण ${\mathcal {F}}$ एक बिंदु पर $x$ के व्यवहार पर नियंत्रण रखें ${\mathcal {F}}$ के पड़ोस में $x$, एक मनमाना शीफ ​​के लिए इससे कहीं अधिक सच होगा। उदाहरण के लिए, नाकायमा की लेम्मा कहती है (ज्यामितीय भाषा में) कि यदि ${\mathcal {F}}$ एक योजना पर एक सुसंगत शीफ है $X$, फिर फाइबर ${\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)$ का $F$ एक बिंदु पर $x$ (अवशेष क्षेत्र पर एक सदिश स्थान $k(x)$) शून्य है अगर और केवल अगर पूला ${\mathcal {F}}$ के कुछ खुले पड़ोस पर शून्य है $x$. एक संबंधित तथ्य यह है कि एक सुसंगत शीफ के तंतुओं का आयाम अर्ध-निरंतरता|ऊपरी-अर्ध-अर्ध-निरंतर है। इस प्रकार एक सुसंगत शीफ का एक खुले सेट पर निरंतर रैंक होता है, जबकि रैंक कम-आयामी बंद उपसमुच्चय पर कूद सकता है।

उसी भावना में: एक सुसंगत शीफ ${\mathcal {F}}$ एक योजना पर $X$ एक वेक्टर बंडल है अगर और केवल अगर यह एक पूले का डंठल है ${\mathcal {F}}_{x}$ स्थानीय रिंग पर एक मुफ्त मॉड्यूल है ${\mathcal {O}}_{X,x}$ हर बिंदु के लिए $x$ में $X$. एक सामान्य योजना पर, कोई यह निर्धारित नहीं कर सकता है कि एक सुसंगत शीफ केवल अपने तंतुओं से एक सदिश बंडल है (इसके डंठल के विपरीत)। एक कम योजना पर स्थानीय रूप से नोथेरियन योजना, हालांकि, एक सुसंगत शीफ एक सदिश बंडल है यदि और केवल यदि इसकी रैंक स्थानीय रूप से स्थिर है।

वेक्टर बंडलों के उदाहरण

योजनाओं के एक morphism के लिए $X\to Y$, होने देना $\Delta :X\to X\times _{Y}X$ विकर्ण morphism हो, जो एक बंद विसर्जन है $X$ अलग योजना खत्म हो गई है $Y$. होने देना ${\mathcal {I}}$ के आदर्श शेफ बनें $X$ में $X\times _{Y}X$. तत्पश्चात् काहलर अंतर का पूला $\Omega _{X/Y}^{1}$ पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\Delta ^{*}{\mathcal {I}}$ का ${\mathcal {I}}$ को $X$. इस शीफ के खंड कहलाते हैं विभेदक रूप|1-रूपों पर $X$ ऊपर $Y$, और उन्हें स्थानीय रूप से लिखा जा सकता है $X$ परिमित रकम के रूप में $\textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}$ नियमित कार्यों के लिए $f_{j}$ और $g_{j}$. अगर $X$ एक क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का है $k$, तब $\Omega _{X/k}^{1}$ एक सुसंगत शीफ है $X$.

अगर $X$ सुचारू योजना खत्म हो गई है $k$, तब $\Omega ^{1}$ (अर्थ $\Omega _{X/k}^{1}$) एक वेक्टर बंडल ओवर है $X$, का कोटिस्पर्शी बंडल कहलाता है $X$. फिर स्पर्शरेखा बंडल $TX$ दोहरी बंडल के रूप में परिभाषित किया गया है $(\Omega ^{1})^{*}$. के लिए $X$ अधिक चिकना $k$ आयाम का $n$ हर जगह, स्पर्शरेखा बंडल का रैंक होता है $n$.

अगर $Y$ एक चिकनी योजना की एक चिकनी बंद उपयोजना है $X$ ऊपर $k$, तो वेक्टर बंडलों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम चालू होता है $Y$:

$0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,$

जिसका उपयोग सामान्य बंडल की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है $N_{Y/X}$ को $Y$ में $X$.

एक चिकनी योजना के लिए $X$ एक मैदान के ऊपर $k$ और एक प्राकृतिक संख्या $i$, वेक्टर बंडल $\Omega ^{i}$ डिफरेंशियल फॉर्म का|आई-फॉर्म्स ऑन $X$ के रूप में परिभाषित किया गया है $i$-कोटिस्पर्शी बंडल की बाहरी शक्ति, $\Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}$. एक चिकनी बीजगणितीय विविधता के लिए $X$ आयाम का $n$ ऊपर $k$, विहित बंडल $K_{X}$ मतलब लाइन बंडल $\Omega ^{n}$. इस प्रकार विहित बंडल के खंड वॉल्यूम रूपों के बीजगणित-ज्यामितीय एनालॉग हैं $X$. उदाहरण के लिए, एफाइन स्पेस के कैननिकल बंडल का एक सेक्शन $\mathbb {A} ^{n}$ ऊपर $k$ रूप में लिखा जा सकता है

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},$

कहाँ $f$ में गुणांकों वाला एक बहुपद है $k$.

होने देना $R$ एक क्रमविनिमेय अंगूठी हो और $n$ एक प्राकृतिक संख्या। प्रत्येक पूर्णांक के लिए $j$प्रोजेक्टिव स्पेस पर लाइन बंडल का एक महत्वपूर्ण उदाहरण है $\mathbb {P} ^{n}$ ऊपर $R$, बुलाया ${\mathcal {O}}(j)$. इसे परिभाषित करने के लिए, के रूपवाद पर विचार करें $R$-योजनाएं

$\pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}$

द्वारा निर्देशांक में दिया गया $(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]$. (अर्थात, प्रोजेक्टिव स्पेस को एफ़िन स्पेस के 1-डायमेंशनल लीनियर सबस्पेस के स्पेस के रूप में सोचते हुए, एफ़िन स्पेस में एक नॉनज़रो पॉइंट को उस लाइन पर भेजें, जो इसे फैलाती है।) फिर का एक सेक्शन ${\mathcal {O}}(j)$ एक खुले उपसमुच्चय पर $U$ का $\mathbb {P} ^{n}$ एक नियमित कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $f$ पर $\pi ^{-1}(U)$ वह डिग्री का सजातीय है $j$, मतलब है कि

$f(ax)=a^{j}f(x)$

पर नियमित कार्यों के रूप में ($\mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)$. सभी पूर्णांकों के लिए $i$ और $j$, एक समरूपता है ${\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)$ लाइन बंडलों पर $\mathbb {P} ^{n}$.

विशेष रूप से, प्रत्येक सजातीय बहुपद में $x_{0},\ldots ,x_{n}$ डिग्री का $j$ ऊपर $R$ के वैश्विक खंड के रूप में देखा जा सकता है ${\mathcal {O}}(j)$ ऊपर $\mathbb {P} ^{n}$. ध्यान दें कि प्रोजेक्टिव स्पेस के प्रत्येक बंद उप-योजना को सजातीय बहुपदों के कुछ संग्रह के शून्य सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, इसलिए लाइन बंडलों के कुछ वर्गों के शून्य सेट के रूप में ${\mathcal {O}}(j)$. यह एफ़िन स्पेस के सरल मामले के विपरीत है, जहां एक बंद उपयोजना नियमित कार्यों के कुछ संग्रह का शून्य सेट है। प्रोजेक्टिव स्पेस पर नियमित कार्य $\mathbb {P} ^{n}$ ऊपर $R$ केवल स्थिरांक हैं (रिंग $R$), और इसलिए लाइन बंडलों के साथ काम करना आवश्यक है ${\mathcal {O}}(j)$.

जीन पियरे सेरे ने प्रोजेक्टिव स्पेस पर सभी सुसंगत शेवों का बीजगणितीय विवरण दिया, जो एफ़िन स्पेस के लिए क्या होता है उससे कहीं अधिक सूक्ष्म है। अर्थात्, चलो $R$ एक नोथेरियन वलय (उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र) हो, और बहुपद वलय पर विचार करें $S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ प्रत्येक के साथ एक वर्गीकृत अंगूठी के रूप में $x_{i}$ डिग्री होने के बाद 1. फिर हर अंतिम रूप से उत्पन्न श्रेणीबद्ध $S$-मापांक $M$ एक प्रोजेक्ट कंस्ट्रक्शन है#श्रेणीबद्ध मॉड्यूल सुसंगत शीफ से जुड़ा शीफ ${\tilde {M}}$ पर $\mathbb {P} ^{n}$ ऊपर $R$. हर सुसंगत शीफ ऑन $\mathbb {P} ^{n}$ इस तरह से एक अंतिम रूप से उत्पन्न ग्रेड से उत्पन्न होता है $S$-मापांक $M$. (उदाहरण के लिए, लाइन बंडल ${\mathcal {O}}(j)$ से संबंधित शीफ है $S$-मापांक $S$ इसकी ग्रेडिंग के साथ कम किया गया $j$।) लेकिन $S$-मापांक $M$ जो एक दिए गए सुसंगत शीफ को उत्पन्न करता है $\mathbb {P} ^{n}$ अद्वितीय नहीं है; यह केवल बदलने के लिए अद्वितीय है $M$ ग्रेडेड मॉड्यूल द्वारा जो केवल सूक्ष्म रूप से कई डिग्री में गैर-शून्य हैं। अधिक सटीक रूप से, सुसंगत ढेरों की एबेलियन श्रेणी $\mathbb {P} ^{n}$ अंतिम रूप से उत्पन्न ग्रेडेड की श्रेणी की एक एबेलियन श्रेणी का भागफल है $S$मॉड्यूल के Serre उपश्रेणी द्वारा मॉड्यूल जो केवल सूक्ष्म रूप से कई डिग्री में गैर-शून्य हैं। प्रक्षेपी स्थान का स्पर्शरेखा बंडल $\mathbb {P} ^{n}$ एक मैदान के ऊपर $k$ लाइन बंडल के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है ${\mathcal {O}}(1)$. अर्थात्, एक छोटा सटीक क्रम है, यूलर अनुक्रम:

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.$

यह इस प्रकार है कि विहित बंडल $K_{\mathbb {P} ^{n}}$ (स्पर्शरेखा बंडल के निर्धारक रेखा बंडल की दोहरी) के लिए समरूपी है ${\mathcal {O}}(-n-1)$. यह बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक मौलिक गणना है। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि विहित बंडल पर्याप्त लाइन बंडल का ऋणात्मक गुणक है ${\mathcal {O}}(1)$ इसका मतलब है कि प्रोजेक्टिव स्पेस एक फ़ानो किस्म है। जटिल संख्याओं पर, इसका मतलब है कि प्रोजेक्टिव स्पेस में सकारात्मक रिक्की वक्रता वाला काहलर मीट्रिक है।

हाइपरसफेस पर वेक्टर बंडल

एक चिकनी डिग्री पर विचार करें-$d$ ऊनविम पृष्ठ $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित $f$ डिग्री का $d$. फिर, एक सटीक क्रम होता है

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0$

जहां दूसरा नक्शा अंतर रूपों का पुलबैक है, और पहला नक्शा भेजता है

$\phi \mapsto d(f\cdot \phi )$

ध्यान दें कि यह क्रम हमें बताता है ${\mathcal {O}}(-d)$ का सामान्य शीफ है $X$ में $\mathbb {P} ^{n}$. इसे दोहरा करने से सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है

$0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0$

इस तरह ${\mathcal {O}}(d)$ का सामान्य बंडल है $X$ में $\mathbb {P} ^{n}$. यदि हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि एक सटीक क्रम दिया गया है

$0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0$

रैंकों के साथ वेक्टर बंडलों की $r_{1}$,$r_{2}$,$r_{3}$, एक समरूपता है

$\Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}$

लाइन बंडलों की, तो हम देखते हैं कि समरूपता है

$i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)$

दिखा रहा है

$\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)$

सेरे निर्माण और वेक्टर बंडल

रैंक 2 वेक्टर बंडलों के निर्माण के लिए एक उपयोगी तकनीक सेरे निर्माण है^{पृष्ठ 3} जो रैंक 2 वेक्टर बंडलों के बीच एक पत्राचार स्थापित करता है ${\mathcal {E}}$ एक चिकनी प्रक्षेप्य विविधता पर $X$ और कोडिमेंशन 2 उप-किस्में $Y$ एक निश्चित का उपयोग करना ${\text{Ext}}^{1}$-समूह पर गणना की गई $X$. यह लाइन बंडल पर एक कोहोलॉजिकल स्थिति द्वारा दिया गया है $\wedge ^{2}{\mathcal {E}}$ (नीचे देखें)।

एक दिशा में पत्राचार इस प्रकार दिया गया है: एक खंड के लिए $s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})$ हम लुप्त हो रहे ठिकाने को जोड़ सकते हैं $V(s)\subset X$. अगर $V(s)$ एक कोडिमेंशन 2 सबवैरायटी है, तो

1. यह एक स्थानीय पूर्ण चौराहा है, जिसका अर्थ है कि यदि हम एक affine चार्ट लेते हैं $U_{i}\subset X$ तब $s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})$ एक समारोह के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}$, कहाँ $s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))$ और $V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})$
2. लाइन बंडल $\omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}$ विहित बंडल के लिए आइसोमोर्फिक है $\omega _{V(s)}$ पर $V(s)$

दूसरी दिशा में, कोडिमेंशन 2 सबवैरायटी के लिए $Y\subset X$ और एक लाइन बंडल ${\mathcal {L}}\to X$ ऐसा है कि

1. $H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0$
2. $\omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}$

एक कैनोनिकल समरूपता <ब्लॉकक्वोट> है${\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})$जो कोडिमेंशन को शामिल करने के संबंध में कार्यात्मक है $2$ उप-किस्में। इसके अलावा, बाईं ओर दिया गया कोई भी समरूपता दाईं ओर विस्तार के बीच में स्थानीय रूप से मुक्त शीफ से मेल खाती है। यानी के लिए $s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})$ जो एक समरूपता है, वहां एक स्थानीय रूप से मुक्त शीफ है ${\mathcal {E}}$ रैंक 2 का जो एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम <ब्लॉककोट> में फिट बैठता है$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0$इस सदिश बंडल को कोहोमोलॉजिकल इनवेरिएंट का उपयोग करके आगे अध्ययन किया जा सकता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि यह स्थिर है या नहीं। यह कई विशिष्ट मामलों में वेक्टर बंडलों के मोडुली का अध्ययन करने का आधार बनाता है, जैसे एबेलियन किस्म परऔर K3 सतहों।

चेर्न वर्ग और बीजगणितीय के-सिद्धांत

एक वेक्टर बंडल $E$ चिकनी किस्म पर $X$ एक मैदान के ऊपर चर्न की चाउ रिंग में कक्षाएं हैं $X$, $c_{i}(E)$ में $CH^{i}(X)$ के लिए $i\geq 0$. ये टोपोलॉजी में चेर्न कक्षाओं के समान औपचारिक गुणों को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी संक्षिप्त सटीक अनुक्रम के लिए

$0\to A\to B\to C\to 0$

वेक्टर बंडलों की $X$, की चेर्न कक्षाएं $B$ द्वारा दिए गए हैं

$c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).$

यह इस प्रकार है कि वेक्टर बंडल की चेर्न कक्षाएं $E$ के वर्ग पर ही निर्भर है $E$ ग्रोथेंडिक समूह में $K_{0}(X)$. परिभाषा के अनुसार, एक योजना के लिए $X$, $K_{0}(X)$ सदिश बंडलों के समरूपता वर्गों के सेट पर मुक्त एबेलियन समूह का भागफल है $X$ उस संबंध से $[B]=[A]+[C]$ ऊपर के रूप में किसी भी संक्षिप्त सटीक अनुक्रम के लिए। यद्यपि $K_{0}(X)$ सामान्य रूप से गणना करना कठिन है, बीजगणितीय K-सिद्धांत इसके अध्ययन के लिए कई उपकरण प्रदान करता है, जिसमें संबंधित समूहों का अनुक्रम भी शामिल है $K_{i}(X)$ पूर्णांकों के लिए $i>0$.

एक प्रकार समूह है $G_{0}(X)$ (या $K_{0}'(X)$), सुसंगत ढेरों का ग्रोथेंडिक समूह $X$. (टोपोलॉजिकल शब्दों में, जी-थ्योरी में योजनाओं के लिए बोरेल-मूर कोहोलॉजी सिद्धांत के औपचारिक गुण हैं, जबकि के-थ्योरी संबंधित कोहोलॉजी थ्योरी है।) प्राकृतिक समरूपतावाद $K_{0}(X)\to G_{0}(X)$ एक समरूपता है अगर $X$ एक नियमित योजना से अलग की गई नोएदरियन योजना है, जिसका उपयोग करते हुए उस मामले में वेक्टर बंडलों द्वारा प्रत्येक सुसंगत शीफ का एक परिमित रिज़ॉल्यूशन (बीजगणित) होता है। उदाहरण के लिए, यह एक क्षेत्र में एक चिकनी विविधता पर सुसंगत शीफ के चेर्न वर्गों की परिभाषा देता है।

अधिक आम तौर पर, एक नोथेरियन योजना $X$ कहा जाता है कि प्रत्येक सुसंगत शीफ पर संकल्प संपत्ति होती है $X$ पर कुछ सदिश बंडल से प्रक्षेपण है $X$. उदाहरण के लिए, नोथेरियन रिंग पर प्रत्येक अर्ध-प्रक्षेपी योजना में संकल्प संपत्ति होती है।

संकल्प संपत्ति के अनुप्रयोग

चूंकि संकल्प संपत्ति बताती है कि एक सुसंगत शीफ ${\mathcal {E}}$ वेक्टर बंडलों के परिसर के लिए व्युत्पन्न श्रेणी में एक नोथेरियन योजना अर्ध-आइसोमॉर्फिक है:${\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}$ हम कुल चेर्न वर्ग की गणना कर सकते हैं ${\mathcal {E}}$ साथ

$c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}$

उदाहरण के लिए, यह सूत्र उप-योजना का प्रतिनिधित्व करने वाले पूले के चेर्न वर्गों को खोजने के लिए उपयोगी है $X$. अगर हम प्रोजेक्टिव स्कीम लेते हैं $Z$ आदर्श से जुड़ा हुआ है $(xy,xz)\subset \mathbb {C} [x,y,z,w]$, तब

$c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}$

चूंकि संकल्प है

$0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0$

ऊपर $\mathbb {CP} ^{3}$.

बंडल समरूपता बनाम शीफ समरूपता

जब सदिश बंडल और परिमित स्थिर रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त ढेरों का परस्पर उपयोग किया जाता है, बंडल होमोमोर्फिज्म और शीफ होमोमोर्फिज्म के बीच अंतर करने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए। विशेष रूप से, दिए गए वेक्टर बंडल $p:E\to X,\,q:F\to X$, परिभाषा के अनुसार, एक बंडल समरूपता $\varphi :E\to F$ एक योजना morphism खत्म हो गया है $X$ (अर्थात।, $p=q\circ \varphi$) ऐसा है कि, प्रत्येक ज्यामितीय बिंदु के लिए $x$ में $X$, $\varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)$ रैंक से स्वतंत्र एक रेखीय नक्शा है $x$. इस प्रकार, यह शीफ समरूपता को प्रेरित करता है ${\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ संबंधित स्थानीय मुक्त के बीच लगातार रैंक की ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल (दोहरे वर्गों के ढेर)। लेकिन एक हो सकता है ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल समरूपता जो इस तरह से उत्पन्न नहीं होती है; अर्थात्, जिनके पास निरंतर रैंक नहीं है।

विशेष रूप से, एक उपबंडल $E\subset F$ एक उपशीर्षक है (अर्थात, ${\mathcal {E}}$ का एक उपशीर्षक है ${\mathcal {F}}$). लेकिन बातचीत विफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, एक प्रभावी कार्टियर भाजक के लिए $D$ पर $X$, ${\mathcal {O}}_{X}(-D)\subset {\mathcal {O}}_{X}$ एक सबशेफ है, लेकिन आमतौर पर एक सबबंडल नहीं है (चूंकि किसी भी लाइन बंडल में केवल दो सबबंडल होते हैं)।

अर्ध-सुसंगत ढेरों की श्रेणी

किसी निश्चित योजना पर अर्ध-सुसंगत ढेर एक एबेलियन श्रेणी बनाते हैं। ऑफर गब्बर ने दिखाया कि, वास्तव में, किसी भी योजना पर अर्ध-सुसंगत ढेर एक विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करने वाली एबेलियन श्रेणी, ग्रोथेंडिक श्रेणी का निर्माण करते हैं। एक अर्ध-कॉम्पैक्ट अर्ध-पृथक योजना $X$ (जैसे कि एक क्षेत्र में एक बीजगणितीय विविधता) पर अर्ध-सुसंगत ढेरों की एबेलियन श्रेणी द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक निर्धारित किया जाता है $X$रोसेनबर्ग द्वारा, पियरे गेब्रियल के परिणाम का सामान्यीकरण।

सुसंगत कोहोलॉजी

Main article: Coherent sheaf cohomology

बीजगणितीय ज्यामिति में मूलभूत तकनीकी उपकरण सुसंगत ढेरों का कोहोलॉजी सिद्धांत है। हालांकि इसे केवल 1950 के दशक में पेश किया गया था, बीजगणितीय ज्यामिति की कई पुरानी तकनीकों को सुसंगत ढेरों पर लागू शेफ कोहोलॉजी की भाषा द्वारा स्पष्ट किया गया है। मोटे तौर पर, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी को विशिष्ट गुणों वाले कार्यों के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में देखा जा सकता है; लाइन बंडलों या अधिक सामान्य ढेरों के अनुभागों को सामान्यीकृत कार्यों के रूप में देखा जा सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी भी एक मूलभूत भूमिका निभाती है।

सुसंगत शीफ कोहोलॉजी के मुख्य परिणामों में कोहोलॉजी की परिमित-आयामीता पर परिणाम हैं, विभिन्न मामलों में कोहोलॉजी के लुप्त होने के परिणाम, द्वैत प्रमेय जैसे कि सेरे द्वैत, टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति के बीच संबंध जैसे हॉज सिद्धांत, और यूलर विशेषताओं के सूत्र हैं। रीमैन-रोच प्रमेय जैसे सुसंगत ढेरों की।

यह भी देखें

• पिकार्ड समूह
• भाजक (बीजीय ज्यामिति)
• प्रतिवर्त शीफ
• उद्धरण योजना
• मुड़ा हुआ शीरा
• अनिवार्य रूप से परिमित वेक्टर बंडल
• प्रमुख भागों का बंडल
• गेब्रियल-रोसेनबर्ग पुनर्निर्माण प्रमेय
• छद्म सुसंगत शीफ
• एक बीजगणितीय ढेर पर अर्ध-सुसंगत शीफ

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project
• Part V of Vakil, Ravi, The Rising Sea