क्लेन ज्यामिति

गणित में, क्लेन ज्यामिति एक प्रकार की ज्यामिति है, जो फेलिक्स क्लेन द्वारा अपने प्रभावशाली एर्लांगेन फलन के रूप में प्रेरित होती है और विशेष रूप से यह एक सजातीय समष्टि 'X' के रूप में होती है, जो लाई समूह G द्वारा X पर सकर्मक क्रिया के रूप में कार्य करता है और जो ज्यामिति के समरूपता समूह के रूप में कार्य करता है।

गणितीय पृष्ठभूमि और अभिप्रेरण के लिए एर्लांगेन फलन को चित्र द्वारा दर्शाया गया है।

औपचारिक परिभाषा

क्लेन ज्यामिति एक जोड़ी (G, H) के रूप में है, जहां G एक लाइ समूह है और H G का एक संवृत सेट लाई उपसमूह है जैसे कि (बाएं) कोसेट स्पेस G/H सेजुड़ा हुआ स्थान है और इस प्रकार समूह G को ज्यामिति का मुख्य समूह' कहा जाता है और G/H को ज्यामिति का क्षेत्र या शब्दावली के दुरुपयोग के द्वारा क्लेन ज्यामिति कहा जाता है

और इस प्रकार क्लेन ज्यामिति का क्षेत्र X = G/H का आयाम एक स्मूथ मैनिफोल्ड के रूप में होता है

dim X = dim G − dim H.

X द्वारा दिए गए G पर की एक प्राकृतिक चिकनी समूह क्रिया के रूप में होती है, जो इसके द्वारा दी गई है

g\cdot (aH)=(ga)H.

स्पष्ट रूप से यह क्रिया सकर्मक रूप में होती है (a = 1) जिसे कि X को G की क्रिया के लिए एक सजातीय समष्टि के रूप में मान सकते है और इस प्रकार इकाई कोसेट H ∈ X के स्टेबलाइजर H समूह सिद्धांत के रूप में होते है।

किसी भी संबद्ध स्मूथ मैनिफोल्ड X और एक लाई समूह G द्वारा X पर एक स्मूथ सकर्मक क्रिया को देखते है और इस प्रकार हम एक संबद्ध क्लेन ज्यामिति का निर्माण कर सकते हैं (G, H) आधार बिंदु x₀ पर स्थिर करके X में और H को x₀ का स्टेबलाइजर उपसमूह के रूप में G होते है। जो समूह H के आवश्यक रूप से G और एक्स का एक संवृत उपसमूह होता है, जो G/H के लिए स्वाभाविक रूप से भिन्न रूप में होता है।

दो क्लेन ज्यामिति (G₁, H₁) और (G₂, H₂) ज्यामितीय रूप से आइसोमॉर्फिक होता है। यदि कोई लाई समूह φ : G₁ → G₂ आइसोमोर्फिज्म है, तो φ(H₁) = H₂. विशेष रूप से यदि φ एक तत्व द्वारा संयुग्मन वर्ग है और इस प्रकार g ∈ G, हमने देखा कि (G, H) और (G, gHg⁻¹) आइसोमॉर्फिक हैं। एक सजातीय स्थान X से जुड़ी क्लेन ज्यामिति तब समरूपता तक अद्वितीय होती है अर्थात यह चुने गए आधार बिंदु x₀ से स्वतंत्र रूप में है।

बंडल विवरण

एक लाई समूह G और संवृत उपसमूह H को देखते हुए सही गुणन द्वारा दिए गए G पर H की प्राकृतिक समूह क्रिया होती है। यह क्रिया स्वतंत्र और उचित दोनों प्रकार की क्रिया है और इस प्रकार समूह सिद्धांत कक्षा G में H के बाएं सहसमुच्चय के रूप में होता है। कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि G में बाएँ कोसेट स्थान G/H पर एक चिकने सिद्धांत H बंडल की संरचना है।

H\to G\to G/H.

क्लेन ज्यामिति के प्रकार

प्रभावी ज्यामिति

G की क्रिया X = G/H के रूप में प्रभावी होने के लिए आवश्यक नहीं है। क्लेन ज्यामिति के कर्नेल को X पर G की क्रिया के कर्नेल के रूप में परिभाषित करके इस प्रकार दिखाया गया'है

K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.

कर्नेल K को G में H के कोर समूह के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है अर्थात H का सबसे बड़ा उपसमूह जो G में सामान्य उपसमूह के रूप में होता है। यह G के सभी सामान्य उपसमूहों द्वारा उत्पन्न समूह है जो H में स्थित होता है।

एक क्लेन ज्यामिति को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि K = 1 और स्थानीय रूप से प्रभावी होता है, यदि K असतत समूह के रूप में होते है। यदि (G, H) तब कर्नेल K के साथ एक क्लेन ज्यामिति है, तब (G/K, H/K) एक प्रभावी क्लेन ज्यामिति है जो प्रामाणिक रूप(G, H) से संबद्ध है।

ज्यामितीय रूप से उन्मुख ज्यामिति

एक क्लेन ज्यामिति (G, H) ज्यामितीय रूप से उन्मुख है यदि G कनेक्टेड स्पेस है। (इसका अर्थ नहीं है कि जी/एच एक उन्मुखता है)। यदि H जुड़ा हुआ है तो इसका मतलब है कि G भी जुड़ा हुआ है (ऐसा इसलिए है क्योंकि G/H जुड़ा हुआ माना जाता है, और G → G/H एक कंपन है)।

किसी भी क्लेन ज्यामिति को देखते हुए (G, H), एक ज्यामितीय रूप से उन्मुख ज्यामिति है जो प्रामाणिक रूप से जुड़ी हुई है (G, H) समान आधार स्थान G/H के साथ। यह ज्यामिति है (G₀, G₀ ∩ H) जहां जी₀ G का तत्समक घटक है। ध्यान दें कि G = G₀ H.

रिडक्टिव ज्यामिति

एक क्लेन ज्यामिति (G, H) को रिडक्टिव और G/H को रिडक्टिव सजातीय स्थान कहा जाता है यदि लाई बीजगणित ${\mathfrak {h}}$ of H में एक H-invariant पूरक है ${\mathfrak {g}}$ .

उदाहरण

निम्न तालिका में, मौलिक ज्यामिति का वर्णन है, जिसे क्लेन ज्यामिति के रूप में प्रतिरूपित किया गया है।

	Underlying space	Transformation group G	Subgroup H	Invariants
Projective geometry	Real projective space $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$	Projective group $\mathrm {PGL} (n+1)$	A subgroup $P$ fixing a flag $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$	Projective lines, cross-ratio
Conformal geometry on the sphere	Sphere $S^{n}$	Lorentz group of an $(n+2)$ -dimensional space $\mathrm {O} (n+1,1)$	A subgroup $P$ fixing a line in the null cone of the Minkowski metric	Generalized circles, angles
Hyperbolic geometry	Hyperbolic space $H(n)$ , modelled e.g. as time-like lines in the Minkowski space $\mathbb {R} ^{1,n}$	Orthochronous Lorentz group $\mathrm {O} (1,n)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)$	Lines, circles, distances, angles
Elliptic geometry	Elliptic space, modelled e.g. as the lines through the origin in Euclidean space $\mathbb {R} ^{n+1}$	$\mathrm {O} (n+1)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (1)$	Lines, circles, distances, angles
Spherical geometry	Sphere $S^{n}$	Orthogonal group $\mathrm {O} (n+1)$	Orthogonal group $\mathrm {O} (n)$	Lines (great circles), circles, distances of points, angles
Affine geometry	Affine space $A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}$	Affine group $\mathrm {Aff} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n)$	General linear group $\mathrm {GL} (n)$	Lines, quotient of surface areas of geometric shapes, center of mass of triangles
Euclidean geometry	Euclidean space $E(n)$	Euclidean group $\mathrm {Euc} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O} (n)$	Orthogonal group $\mathrm {O} (n)$	Distances of points, angles of vectors, areas