संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति

संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति कम्प्यूटेशनल गणित का एक क्षेत्र है, विशेष रूप से कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति, जो बहुपद समीकरणों की प्रणाली के समाधान का अध्ययन और हेरफेर करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण से विधियों का उपयोग करता है।

होमोटॉपी निरंतरता

See also: System of polynomial equations § Homotopy continuation method

संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली प्राथमिक कम्प्यूटेशनल विधि होमोटॉपी निरंतरता है, जिसमें दो बहुपद प्रणालियों के बीच एक होमोटोपी बनती है, और एक के पृथक समाधान (अंक) दूसरे के लिए जारी रहते हैं। यह संख्यात्मक निरंतरता की अधिक सामान्य पद्धति का एक विशेषज्ञता है।

होने देना $z$ सिस्टम के चर का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंकन के दुरुपयोग से, और परिवेश रिक्त स्थान के स्पेक्ट्रम को सुविधाजनक बनाने के लिए जिस पर कोई प्रणाली को हल कर सकता है, हम सदिश संकेतन का उपयोग नहीं करते हैं $z$. इसी तरह बहुपद प्रणालियों के लिए $f$ और $g$.

वर्तमान कैनोनिकल नोटेशन स्टार्ट सिस्टम को कॉल करता है $g$, और लक्ष्य प्रणाली, यानी, हल करने की प्रणाली, $f$. एक बहुत ही सामान्य समरूपता, सीधी-रेखा समरूपता, के बीच $f$ और $g$ है

$$H(z,t)=(1-t)f(z)+tg(z).$$

उपरोक्त होमोटॉपी में, एक पथ चर को शुरू करता है $t_{\text{start}}=1$ और की ओर जारी है $t_{\text{end}}=0$. एक और आम विकल्प से भागना है $0$ को $1$. सिद्धांत रूप में, चुनाव पूरी तरह से मनमाना है। व्यवहार में, होमोटॉपी निरंतरता का उपयोग करके एकवचन समाधान की गणना के लिए एंडगेम विधियों के संबंध में, लक्ष्य समय है $0$ महत्वपूर्ण रूप से विश्लेषण को आसान बना सकता है, इसलिए यह परिप्रेक्ष्य यहां लिया गया है। प्रारंभ और लक्ष्य समय की पसंद के बावजूद, $H$ इस प्रकार तैयार किया जाना चाहिए $H(z,t_{\text{start}})=g(z)$, और $H(z,t_{\text{end}})=f(z)$.

एक में एक विकल्प है $g(z)$, शामिल

• एकता की जड़ें
• कुल डिग्री
• बहुफलकीय
• बहु-सजातीय

और इनसे परे, विशिष्ट प्रारंभ प्रणालियाँ जो की संरचना को बारीकी से दर्शाती हैं $f$ विशेष प्रणालियों के लिए गठित किया जा सकता है। स्टार्ट सिस्टम का चुनाव इसे हल करने में लगने वाले कम्प्यूटेशनल समय को प्रभावित करता है $f$, इसमें जिन्हें बनाना आसान है (जैसे कि कुल डिग्री) ट्रैक करने के लिए पथों की संख्या अधिक होती है, और जो महत्वपूर्ण प्रयास करते हैं (जैसे कि बहुफलकीय विधि) बहुत तेज होते हैं। वर्तमान में भविष्यवाणी करने का कोई अच्छा तरीका नहीं है जिससे हल करने में सबसे तेज समय लगेगा।

वास्तविक निरंतरता आमतौर पर भविष्यवक्ता-सुधारक विधियों का उपयोग करके कार्यान्वित की गई अतिरिक्त सुविधाओं के साथ की जाती है। भविष्यवाणी एक मानक सामान्य अंतर समीकरण पूर्वसूचक पद्धति का उपयोग करके की जाती है, जैसे कि रनगे-कुट्टा, और सुधार अक्सर न्यूटन-रफसन पुनरावृत्ति का उपयोग करता है।

क्योंकि $f$ और $g$ बहुपद हैं, इस संदर्भ में होमोटॉपी निरंतरता सैद्धांतिक रूप से सभी समाधानों की गणना करने की गारंटी है $f$, बर्टिनी के प्रमेय के कारण | बर्टिनी की प्रमेय। हालाँकि, यह गारंटी हमेशा व्यवहार में प्राप्त नहीं होती है, आधुनिक कंप्यूटर की सीमाओं से उत्पन्न होने वाले मुद्दों के कारण, सबसे अधिक परिमित परिशुद्धता। अर्थात्, प्रायिकता प्रमाणित ट्रैकिंग विधियों का उपयोग किए बिना, इस सिद्धांत के अंतर्निहित प्रायिकता-1 तर्क की ताकत के बावजूद, कुछ पथ विभिन्न कारणों से पूरी तरह से ट्रैक करने में विफल हो सकते हैं।

गवाह सेट

एक गवाह सेट

$W$ एक डेटा संरचना है जिसका उपयोग बीजगणितीय विविधता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। एक समान विविधता के लिए साक्षी सेट में जानकारी के तीन टुकड़े होते हैं। सूचना का पहला भाग समीकरणों की एक प्रणाली है $F$. ये समीकरण बीजगणितीय विविधता को परिभाषित करते हैं ${\mathbf {V} }(F)$ जिसका अध्ययन किया जा रहा है। सूचना का दूसरा भाग एक रेखीय स्थान है ${\mathcal {L}}$. का आयाम ${\mathcal {L}}$ का विधान है ${\mathbf {V} }(F)$, और प्रतिच्छेद करने के लिए चुना गया ${\mathbf {V} }(F)$ अनुप्रस्थ। जानकारी का तीसरा भाग चौराहे पर बिंदुओं की सूची है ${\mathcal {L}}\cap {\mathbf {V} }(F)$. इस प्रतिच्छेदन में बहुत से बिंदु हैं और अंकों की संख्या बीजगणितीय विविधता की डिग्री है ${\mathbf {V} }(F)$. इस प्रकार, गवाह सेट पहले दो प्रश्नों के उत्तर को कूटबद्ध करता है जो एक बीजगणितीय विविधता के बारे में पूछता है: आयाम क्या है, और डिग्री क्या है? गवाह सेट भी एक संख्यात्मक अपघटन योग्य अपघटन, घटक सदस्यता परीक्षण और घटक नमूनाकरण करने की अनुमति देते हैं। यह गवाह सेट को बीजगणितीय विविधता का एक अच्छा विवरण बनाता है।

प्रमाणन

संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामितीय विधियों का उपयोग करके गणना की गई बहुपद प्रणालियों के समाधान संख्यात्मक प्रमाणन हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि अनुमानित समाधान सही है। यह कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, या तो प्रमाणित ट्रैकर का उपयोग करके प्राथमिकता, या पोस्टरियोरी यह दिखाकर कि बिंदु न्यूटन की विधि के अभिसरण के बेसिन में है।

सॉफ्टवेयर

कई सॉफ्टवेयर पैकेज संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति के सैद्धांतिक निकाय के अंशों को लागू करते हैं। इनमें वर्णानुक्रम में शामिल हैं:

• अल्फा प्रमाणित* बर्टिनी * होम4पीएस
• HomotopyContinuation.jl
• खुश (होमोटोपी ट्रैकिंग का मुख्य कार्यान्वयन और NumericalAlgebraicGeometryपैकेट)
• पीएचसीपैक

बाहरी संबंध

• Bertini home page
• Hom4PS-3
• HomotopyContinuation.jl

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