सदिश गोलीय प्रसंवादी

गणित में, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स (वीएसएच) सदिश क्षेत्रों के उपयोग के लिए अदिश गोलाकार हार्मोनिक्स का विस्तार है। वीएसएच के घटक गोलाकार समन्वय प्रणाली में व्यक्त जटिल-मानित फलन हैं।

परिभाषा

वीएसएच को परिभाषित करने के लिए कई परिपाटी का उपयोग किया गया है। हम बैरेरा एट अल का अनुसरण करते हैं। एक अदिश गोलाकार हार्मोनिक Y_ℓm(θ, φ) दिया गया , हम तीन वीएसएच परिभाषित करते हैं:

• $\mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},$
• $\mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},$
• $\mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},$

जिसमें ${\hat {\mathbf {r} }}$ गोलाकार समन्वय प्रणाली में त्रिज्यीय दिशा के साथ इकाई सदिश है और $\mathbf {r}$ सदिश त्रिज्यीय दिशा के साथ त्रिज्या के समान मानदंड के साथ, अर्थात, $\mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}$। त्रिज्यीय कारकों को यह गारंटी देने के लिए सम्मिलित किया गया है कि वीएसएच की विमा सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स के समान हैं और वीएसएच त्रिज्यीय गोलाकार समन्वय पर निर्भर नहीं है।

गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करते समय इन नवीन सदिश क्षेत्रों का हित त्रिज्यीय निर्भरता को कोणीय से अलग करना है, ताकि एक सदिश क्षेत्र एक बहुध्रुव विस्तार

$$\mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)$$

को स्वीकार कर सके।

घटकों पर लेबल यह दर्शाते हैं कि $E_{\ell m}^{r}$ सदिश क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है, जबकि $E_{\ell m}^{(1)}$ और $E_{\ell m}^{(2)}$ अनुप्रस्थ घटक हैं (त्रिज्या सदिश $\mathbf {r}$ के संबंध में )।

मुख्य गुण

समरूपता

अदिश गोलाकार हार्मोनिक्स के जैसे, वीएसएच

$${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}$$

को संतुष्ट करता है जो स्वतंत्र फलनों की संख्या को लगभग आधा कर देता है। तारा जटिल संयुग्म को इंगित करता है।

लंबकोणीयता

वीएसएच प्रत्येक बिंदु $\mathbf {r}$ पर सामान्य त्रि-विमीय विधि से लांबिक फलन हैं :

$${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}$$

वे हिल्बर्ट समष्टि में भी लांबिक हैं:

$${\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}$$

एकल $\mathbf {r}$ पर एक अतिरिक्त परिणाम (बैरेरा एट अल, 1985 में रिपोर्ट नहीं किया गया) सभी $\ell ,m,\ell ',m'$,

$${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0\end{aligned}}$$

के लिए है।

सदिश बहुध्रुव आघूर्ण

लंबकोणीयता संबंध किसी को सदिश क्षेत्र के गोलाकार बहुध्रुव आघूर्ण को

$${\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega \end{aligned}}$$

के रूप में परिकलित करने की अनुमति देते हैं।

एक अदिश क्षेत्र की प्रवणता

एक अदिश क्षेत्र

$$\phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),$$

के बहुध्रुव विस्तार को देखते हुए, हम वीएसएच के संदर्भ में

$$\nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)$$

के रूप में इसकी प्रवणता व्यक्त कर सकते हैं।

विचलन

किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0\end{aligned}}$$

है।

अधिस्थापन द्वारा हम किसी भी सदिश क्षेत्र का विचलन प्राप्त करते हैं:

$$\nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.$$

हम देखते हैं कि Φ_ℓm पर घटक सदैव परिनालिकीय होता है।

कर्ल

किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

$${\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\end{aligned}}$$

है।

अध्यारोपण द्वारा हम किसी सदिश क्षेत्र का कर्ल (गणित) प्राप्त करते हैं:

$$\nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).$$

लाप्लासियन

लाप्लास प्रचालक $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ की क्रिया निम्नानुसार अलग होती है:

$$\Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},$$

जहां $\mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}$ और

$${\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}$$

यह भी ध्यान दें कि यह क्रिया सममित आव्यूह हो जाती है, अर्थात उचित सामान्यीकृत वीएसएच के लिए अप विकर्ण गुणांक ${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$ के बराबर हैं।

उदाहरण

$\mathbf {\Psi } _{1m}$

$\mathbf {\Psi } _{2m}$

$\mathbf {\Psi } _{3m}$

$\mathbf {\Phi } _{1m}$

$\mathbf {\Phi } _{2m}$

$\mathbf {\Phi } _{3m}$

Visualizations of the real parts of $\ell =1,2,3$ VSHs. Click to expand.

पहला सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स

• $\ell =0$.
  $${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}$$
• $\ell =1$.
  $${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}$$
  $${\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}$$
  $${\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}$$
• $\ell =2$.
  $${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}$$
  $${\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}$$
  $${\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}$$

सममिति संबंधों को लागू करके m के ऋणात्मक मानों के लिए व्यंजक प्राप्त किए जाते हैं।

अनुप्रयोग

विद्युतगतिकी

वीएसएच बहुध्रुव विकिरण क्षेत्रों के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय बहुध्रुव कोणीय आवृत्ति $\omega$ और जटिल विमा

$${\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}$$

के साथ एक दोलन धारा के कारण होता है, और संबंधित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र,

$${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\end{aligned}}$$

के रूप में लिखे जा सकते हैं।

मैक्सवेल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, गॉस का नियम स्वचालित रूप से

$$\nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0$$

संतुष्ट हो जाता है, जबकि फैराडे का नियम

$$\nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}\end{cases}}$$

के रूप में अलग हो जाता है।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस के नियम का अर्थ है

$$\nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,$$

और एम्पीयर-मैक्सवेल का समीकरण

$$\nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E$$

देता है।

इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय में रूपांतरित हो गए हैं।

वैकल्पिक परिभाषा

चुंबकीय और विद्युत सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स का कोणीय भाग। लाल और हरे तीर क्षेत्र की दिशा दिखाते हैं। अदिश फलन उत्पन्न करना भी प्रस्तुत किया जाता है, केवल पहले तीन ऑर्डर दिखाए जाते हैं (द्विध्रुवीय, चौगुनी, ऑक्टोपोल)।

कई अनुप्रयोगों में, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स को गोलाकार निर्देशांक में सदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल के मौलिक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

इस स्थिति में, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स अदिश फलन द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो तरंगसदिश $\mathbf {k}$ के साथ अदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल हैं I

$${\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}$$

यहाँ $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं, और $z_{n}({k}r)$ कोई भी गोलाकार बेसेल फलन हैं।

सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स

$\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}$

चुंबकीय हार्मोनिक्स

$\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)$

इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स

$\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}$

यहां हम हार्मोनिक्स वास्तविक-मानित कोणीय भाग का उपयोग करते हैं, जहां $m\geq 0$, लेकिन जटिल फलनों को उसी प्रकार पेश किया जा सकता है।

आइए हम संकेतन का परिचय दें $\rho =kr$। घटक रूप में सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स को इस प्रकार लिखा जाता है:

$${\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$$

चुंबकीय हार्मोनिक्स के लिए कोई त्रिज्यीय भाग नहीं है। इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स के लिए, त्रिज्यीय भाग कोणीय और बड़े के लिए तेज़ी से घटता है $\rho$ उपेक्षित किया जा सकता है। हम यह भी देख सकते हैं कि विद्युत और चुंबकीय हार्मोनिक्स के लिए ध्रुवीय और अज़ीमुथल इकाई वैक्टर के क्रमपरिवर्तन तक कोणीय भाग समान होते हैं, इसलिए बड़े के लिए $\rho$ इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक हार्मोनिक्स वैक्टर एक दूसरे के मान और लंबवत के बराबर हैं।

अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स:

$${\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$$

ओर्थोगोनलिटी

हेल्महोल्ट्ज़ सदिश समीकरण के हल निम्नलिखित लंबकोणीयता संबंधों का पालन करते हैं:

$${\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),$$