अतार्किक प्रतीक

तर्क में, अभिव्यक्तियों को बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली औपचारिक भाषाओं में प्रतीक (औपचारिक) होते हैं, जिन्हें मोटे तौर पर [[तार्किक स्थिरांक]] और चर (गणित) में विभाजित किया जा सकता है। किसी भाषा के स्थिरांक को तार्किक स्थिरांक और गैर-तार्किक प्रतीकों (कभी-कभी तार्किक और गैर-तार्किक स्थिरांक भी कहा जाता है) में विभाजित किया जा सकता है।

प्रथम-क्रम तर्क की भाषा के गैर-तार्किक प्रतीकों में विधेय (गणितीय तर्क) और अलग-अलग स्थिरांक शामिल हैं। इनमें प्रतीक शामिल हैं, जो एक व्याख्या में, अलग-अलग स्थिरांक, चर (गणित), फ़ंक्शन (गणित), या विधेय (तर्क) के लिए खड़े हो सकते हैं। प्रथम-क्रम तर्क की एक भाषा वर्णमाला पर एक औपचारिक भाषा है जिसमें इसके गैर-तार्किक प्रतीक और इसके तार्किक स्थिरांक होते हैं। उत्तरार्द्ध में तार्किक संयोजक, परिमाणक (तर्क)तर्क) और चर शामिल हैं जो कथन (तर्क) के लिए खड़े हैं।

एक गैर-तार्किक प्रतीक में केवल अर्थ या शब्दार्थ सामग्री होती है जब इसे किसी व्याख्या (तर्क) के माध्यम से सौंपा जाता है। नतीजतन, एक गैर-तार्किक प्रतीक वाले एक वाक्य (गणितीय तर्क) में व्याख्या के अलावा अर्थ का अभाव होता है, इसलिए एक वाक्य को 'व्याख्या के तहत सही या गलत' कहा जाता है। इन अवधारणाओं को पहले क्रम के तर्क में परिभाषित और चर्चा की गई है। पहले क्रम के तर्क पर लेख, और विशेष रूप से पहले क्रम के तर्क # सिंटेक्स।

तार्किक स्थिरांक, इसके विपरीत, सभी व्याख्याओं में समान अर्थ रखते हैं। उनमें सत्य-कार्यात्मक संयोजकों के लिए प्रतीक शामिल हैं (जैसे कि और, या, नहीं, तात्पर्य, और तार्किक तुल्यता) और सभी के लिए क्वांटिफायर के प्रतीक और वहां मौजूद हैं।

समानता (गणित) प्रतीक को कभी-कभी गैर-तार्किक प्रतीक के रूप में और कभी-कभी तर्क के प्रतीक के रूप में माना जाता है। यदि इसे एक तार्किक प्रतीक के रूप में माना जाता है, तो वास्तविक समानता का उपयोग करते हुए समानता चिह्न की व्याख्या करने के लिए किसी भी व्याख्या की आवश्यकता होगी; यदि एक गैर-तार्किक प्रतीक के रूप में व्याख्या की जाती है, तो इसकी व्याख्या एक मनमाना तुल्यता संबंध द्वारा की जा सकती है।

हस्ताक्षर

Main article: signature (logic)

एक हस्ताक्षर गैर-तार्किक स्थिरांक का एक सेट है, जिसमें अतिरिक्त जानकारी के साथ-साथ प्रत्येक प्रतीक को एक निरंतर प्रतीक, या एक विशिष्ट arity n (एक प्राकृतिक संख्या), या एक विशिष्ट arity के एक संबंध प्रतीक के रूप में पहचानना है। अतिरिक्त जानकारी नियंत्रित करती है कि कैसे गैर-तार्किक प्रतीकों का उपयोग शब्दों और सूत्रों को बनाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए यदि f एक बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक है और c एक स्थिर प्रतीक है, तो f(x, c) एक पद है, लेकिन c(x, f) एक पद नहीं है। संबंध प्रतीकों का उपयोग शब्दों में नहीं किया जा सकता है, लेकिन उनका उपयोग एक या एक से अधिक शब्दों को एक परमाणु सूत्र में संयोजित करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए एक सिग्नेचर में एक बाइनरी फंक्शन सिंबल +, एक कॉन्स्टेंट सिंबल 0 और एक बाइनरी रिलेशन सिंबल < हो सकता है।

मॉडल

Main article: Structure (mathematical logic)

एक हस्ताक्षर पर संरचनाएं, जिसे मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, एक हस्ताक्षर के लिए औपचारिक शब्दार्थ (तर्क) प्रदान करता है और प्रथम-क्रम तर्क | उस पर प्रथम-क्रम भाषा।

एक हस्ताक्षर पर एक संरचना में एक सेट होता है $D,$ प्रवचन के डोमेन के रूप में जाना जाता है, साथ में गैर-तार्किक प्रतीकों के व्याख्या कार्य के साथ: प्रत्येक स्थिर प्रतीक की व्याख्या एक तत्व द्वारा की जाती है $D,$ और एक की व्याख्या $n$-एरी फंक्शन सिंबल एक है $n$-एरी फंक्शन ऑन $D;$ वह है, एक समारोह $D^{n}\to D$ से $n$डोमेन के कार्टेशियन उत्पाद को डोमेन में ही फोल्ड करें। प्रत्येक $n$-एरी रिलेशन सिंबल की व्याख्या a द्वारा की जाती है $n$डोमेन पर -ary संबंध; वह है, के एक सबसेट द्वारा $D^{n}.$ ऊपर उल्लिखित हस्ताक्षर पर संरचना का एक उदाहरण पूर्णांकों का क्रमबद्ध समूह है। इसका डोमेन सेट है $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$पूर्णांकों का। बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक $+$ जोड़ द्वारा व्याख्या की जाती है, निरंतर प्रतीक 0 को योगात्मक पहचान द्वारा, और द्विआधारी संबंध प्रतीक < से कम संबंध द्वारा।

अनौपचारिक शब्दार्थ

गणितीय संदर्भ के बाहर, अधिक अनौपचारिक व्याख्याओं के साथ काम करना अक्सर अधिक उपयुक्त होता है।

वर्णनात्मक संकेत

रुडोल्फ कार्नाप ने एक निश्चित प्रकार की व्याख्या (तर्क) के तहत एक औपचारिक प्रणाली के तार्किक और गैर-तार्किक प्रतीकों (जिसे उन्होंने वर्णनात्मक संकेत कहा) के बीच अंतर करने वाली एक शब्दावली पेश की, जिसे वे दुनिया में वर्णित करते हैं।

एक वर्णनात्मक संकेत को औपचारिक भाषा के किसी भी प्रतीक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दुनिया में चीजों या प्रक्रियाओं, या गुणों या चीजों के संबंधों को निर्दिष्ट करता है। यह तार्किक संकेतों के विपरीत है जो वस्तुओं की दुनिया में किसी भी चीज़ को निर्दिष्ट नहीं करते हैं। तार्किक संकेतों का उपयोग भाषा के तार्किक नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि अर्थ मनमाने ढंग से वर्णनात्मक संकेतों से जुड़ा होता है जब वे व्यक्तियों के दिए गए डोमेन पर लागू होते हैं।

यह भी देखें

• तार्किक स्थिरांक

संदर्भ

Notes

• Hinman, P. (2005), Fundamentals of Mathematical Logic, A K Peters, ISBN 978-1-56881-262-5

बाहरी संबंध

• Semantics section in Classical Logic (an entry of Stanford Encyclopedia of Philosophy)