ओ-न्यूनतम सिद्धांत
गणितीय तर्क में, और अधिक विशेष रूप से मॉडल सिद्धांत में, एक अनंत संरचना (गणितीय तर्क) (एम, <, ...) जो < द्वारा कुल आदेश है, को 'ओ-न्यूनतम संरचना' कहा जाता है यदि और केवल यदि प्रत्येक निश्चित सेट सबसेट X ⊆ M (M से लिए गए मापदंडों के साथ) अंतराल (गणित) और बिंदुओं का एक परिमित संघ (सेट सिद्धांत) है।
ओ-न्यूनतम को क्वांटिफायर उन्मूलन का कमजोर रूप माना जा सकता है। एक संरचना एम ओ-न्यूनतम है अगर और केवल अगर प्रत्येक सूत्र (तर्क) एम में एक मुक्त चर और पैरामीटर के साथ क्वांटिफायर मुक्त सूत्र के बराबर है, जिसमें केवल ऑर्डरिंग शामिल है, एम में पैरामीटर के साथ भी। यह दृढ़ता से न्यूनतम के अनुरूप है सिद्धांत संरचनाएं, जो समानता के बिल्कुल समान गुण हैं।
एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) टी एक 'ओ-न्यूनतम सिद्धांत' है यदि टी का प्रत्येक मॉडल सिद्धांत ओ-न्यूनतम है। यह ज्ञात है कि एक ओ-न्यूनतम संरचना का पूर्ण सिद्धांत टी एक ओ-न्यूनतम सिद्धांत है।[1] यह परिणाम उल्लेखनीय है क्योंकि, इसके विपरीत, एक न्यूनतम संरचना के पूर्ण सिद्धांत को दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत होने की आवश्यकता नहीं है, अर्थात, प्राथमिक रूप से समतुल्य संरचना हो सकती है जो न्यूनतम नहीं है।
सेट-सैद्धांतिक परिभाषा
मॉडल सिद्धांत के सहारा के बिना ओ-न्यूनतम संरचनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। यहां हम एक सेट-सैद्धांतिक तरीके से एक गैर-खाली सेट M पर एक संरचना को परिभाषित करते हैं, एक अनुक्रम S= (S) के रूप मेंn), n = 0,1,2,... जैसे कि
- एसn एम के सबसेट का एक बूलियन बीजगणित (संरचना) हैएन
- अगर ए ∈ एसn तो M × A और A ×M S में हैंn+1
- सेट {(एक्स1,...,एक्सn) ∈ एमn : x1= एक्सn} S में हैn
- अगर ए ∈ एसn+1 और π : एमn+1 → Mn पहले n निर्देशांकों पर प्रक्षेपण मानचित्र है, फिर π(A) ∈ Sn.
यदि एम के पास अंत बिंदुओं के बिना एक घने रैखिक क्रम है, < कहें, तो एम पर एक संरचना एस को ओ-न्यूनतम कहा जाता है यदि यह अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है
<ओल प्रारंभ = 5>
मॉडल सैद्धांतिक परिभाषा
ओ-न्यूनतम संरचनाएं मॉडल सिद्धांत में उत्पन्न हुईं और इसलिए मॉडल सिद्धांत की भाषा का उपयोग करते हुए एक सरल - लेकिन समतुल्य - परिभाषा है।[2] विशेष रूप से यदि एल बाइनरी रिलेशन सहित एक भाषा है <, और (एम, <, ...) एक एल-संरचना है जहां < को घने रैखिक क्रम के सिद्धांतों को पूरा करने के लिए व्याख्या की जाती है,[3] तब (M,<,...) को ओ-न्यूनतम संरचना कहा जाता है यदि किसी निश्चित सेट X ⊆ M के लिए निश्चित रूप से कई खुले अंतराल हैं I1,..., मैंr M ∪ {±∞} और एक परिमित समुच्चय X में0 ऐसा है कि
उदाहरण
ओ-न्यूनतम सिद्धांतों के उदाहरण हैं:
- केवल क्रम के साथ भाषा में सघन रेखीय क्रम का पूरा सिद्धांत।
- आरसीएफ, वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत।[4]
- प्रतिबंधित विश्लेषणात्मक कार्यों के साथ वास्तविक संख्या का पूरा सिद्धांत जोड़ा गया (अर्थात [0,1] के पड़ोस पर विश्लेषणात्मक कार्यn, [0,1] तक सीमितएन; ध्यान दें कि अप्रतिबंधित साइन फ़ंक्शन में असीमित रूप से कई जड़ें होती हैं, और इसलिए इसे ओ-न्यूनतम संरचना में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।)
- विल्की के प्रमेय द्वारा घातीय कार्य के प्रतीक के साथ वास्तविक क्षेत्र का पूरा सिद्धांत। अधिक आम तौर पर, Pfaffian कार्यों के साथ वास्तविक संख्याओं का पूरा सिद्धांत जोड़ा गया।
- पिछले दो उदाहरणों को जोड़ा जा सकता है: वास्तविक क्षेत्र (जैसे प्रतिबंधित विश्लेषणात्मक कार्यों के साथ वास्तविक क्षेत्र) के किसी भी ओ-न्यूनतम विस्तार को देखते हुए, कोई भी इसके Pfaffian समापन को परिभाषित कर सकता है, जो फिर से एक ओ-न्यूनतम संरचना है।[5] (किसी संरचना का Pfaffian संवरण, विशेष रूप से, Pfaffian श्रृंखलाओं के अंतर्गत बंद होता है, जहाँ बहुपदों के स्थान पर मनमाने ढंग से निश्चित कार्यों का उपयोग किया जाता है।)
RCF के मामले में, परिभाषित करने योग्य सेट अर्ध-बीजगणितीय सेट हैं। इस प्रकार ओ-न्यूनतम संरचनाओं और सिद्धांतों का अध्ययन वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति का सामान्यीकरण करता है। वर्तमान अनुसंधान की एक प्रमुख पंक्ति वास्तविक आदेशित क्षेत्र के विस्तार की खोज पर आधारित है जो ओ-न्यूनतम हैं। आवेदन की व्यापकता के बावजूद, ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित सेट की ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ दिखा सकता है। एक सेल अपघटन प्रमेय है,[6] हस्लर व्हिटनी और जीन लुइस वेर्डियर स्तरीकरण (गणित) प्रमेय और आयाम और यूलर विशेषता की एक अच्छी धारणा।
इसके अलावा, ओ-न्यूनतम संरचना में लगातार अलग-अलग परिभाषित करने योग्य कार्य Łojasiewicz असमानता के सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं,[7] एक संपत्ति जिसका उपयोग कुछ गैर-चिकनी अनुकूलन विधियों के अभिसरण की गारंटी के लिए किया गया है, जैसे कि स्टोकेस्टिक सबग्रेडिएंट विधि (कुछ हल्के अनुमानों के तहत)।[8][9][10]
यह भी देखें
- सेमियलजेब्रिक सेट
- वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति
- अत्यधिक न्यूनतम सिद्धांत
- कमजोर ओ-न्यूनतम संरचना
- सी-न्यूनतम सिद्धांत
- टेम टोपोलॉजी
टिप्पणियाँ
- ↑ Knight, Pillay and Steinhorn (1986), Pillay and Steinhorn (1988).
- ↑ Marker (2002) p.81
- ↑ The condition that the interpretation of < be dense is not strictly necessary, but it is known that discrete orders lead to essentially trivial o-minimal structures, see, for example, MR0899083 and MR0943306.
- ↑ Marker (2002) p.99
- ↑ Patrick Speisseger, Pfaffian sets and o-minimality, in: Lecture notes on o-minimal structures and real analytic geometry, C. Miller, J.-P. Rolin, and P. Speissegger (eds.), Fields Institute Communications vol. 62, 2012, pp. 179–218. doi:10.1007/978-1-4614-4042-0_5
- ↑ Marker (2002) p.103
- ↑ Kurdyka, Krzysztof (1998). "ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित कार्यों के ढाल पर". Annales de l'Institut Fourier. 48 (3): 769–783. doi:10.5802/aif.1638. ISSN 0373-0956.
- ↑ Davis, Damek; Drusvyatskiy, Dmitriy; Kakade, Sham; Lee, Jason D. (2020). "स्टोचैस्टिक सबग्रेडिएंट मेथड टेम फंक्शन्स पर कन्वर्ज करता है". Foundations of Computational Mathematics (in English). 20 (1): 119–154. arXiv:1804.07795. doi:10.1007/s10208-018-09409-5. ISSN 1615-3375. S2CID 5025719.
- ↑ Garrigos, Guillaume (2015-11-02). वश में अनुकूलन, और बहुउद्देश्यीय समस्याओं के लिए वंश गतिशील प्रणाली और एल्गोरिदम (PhD thesis) (in English). Université Montpellier ; Universidad técnica Federico Santa María (Valparaiso, Chili).
- ↑ Ioffe, A. D. (2009). "वश अनुकूलन के लिए एक निमंत्रण". SIAM Journal on Optimization (in English). 19 (4): 1894–1917. doi:10.1137/080722059. ISSN 1052-6234.
संदर्भ
- van den Dries, Lou (1998). Tame Topology and o-minimal Structures. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 248. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045.
- Marker, David (2000). "Review of "Tame Topology and o-minimal Structures"" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 37 (3): 351–357. doi:10.1090/S0273-0979-00-00866-1.
- Marker, David (2002). Model theory: An introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 217. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034.
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definable Sets in Ordered Structures I" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 295 (2): 565–592. doi:10.2307/2000052. JSTOR 2000052. Zbl 0662.03023.
- Knight, Julia; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definable Sets in Ordered Structures II". Transactions of the American Mathematical Society. 295 (2): 593–605. doi:10.2307/2000053. JSTOR 2000053. Zbl 0662.03024.
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). "Definable Sets in Ordered Structures III". Transactions of the American Mathematical Society. 309 (2): 469–476. doi:10.2307/2000920. JSTOR 2000920. Zbl 0707.03024.
- Wilkie, A.J. (1996). "Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 9 (4): 1051–1095. doi:10.1090/S0894-0347-96-00216-0.
- Denef, J.; van den Dries, L. (1989). "p-adic and real subanalytic sets". Annals of Mathematics. 128 (1): 79–138. doi:10.2307/1971463. JSTOR 1971463.
