साधारण फलन

वास्तविक विश्लेषण के गणित के क्षेत्र में, एक साधारण फ़ंक्शन एक वास्तविक संख्या (या जटिल संख्या) है - वास्तविक रेखा के एक सबसेट पर एक समारोह की ओर कदम बढ़ाएं के समान मूल्यांकित फ़ंक्शन। सरल कार्य पर्याप्त रूप से अच्छे हैं कि उनका उपयोग करने से गणितीय तर्क, सिद्धांत और प्रमाण आसान हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, सरल कार्य केवल सीमित संख्या में मान प्राप्त करते हैं। कुछ लेखकों को मापने योग्य कार्य होने के लिए सरल कार्यों की भी आवश्यकता होती है; जैसा कि व्यवहार में उपयोग किया जाता है, वे हमेशा होते हैं।

एक साधारण फ़ंक्शन का एक मूल उदाहरण आधे खुले अंतराल [1, 9) पर फर्श समारोह है, जिसका केवल मान {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} है। एक अधिक उन्नत उदाहरण वास्तविक रेखा पर डिरिचलेट समारोह है, जो मान 1 लेता है यदि x परिमेय है और अन्यथा 0 है। (इस प्रकार सरल कार्य के सरल का तकनीकी अर्थ कुछ हद तक सामान्य भाषा के साथ है।) सभी चरण कार्य सरल हैं।

अभिन्न के सिद्धांतों के विकास में सरल कार्यों का उपयोग पहले चरण के रूप में किया जाता है, जैसे कि लेबेस्ग इंटीग्रल, क्योंकि एक साधारण फ़ंक्शन के लिए एकीकरण को परिभाषित करना आसान है और सरल कार्यों के अनुक्रमों द्वारा अधिक सामान्य कार्यों को अनुमानित करना भी आसान है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक साधारण फलन मापने योग्य समुच्चयों के सूचक फलनों का परिमित रेखीय संयोजन होता है। अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए (X, Σ) एक सिग्मा-बीजगणित है। चलो ए₁, ..., ए_n ∈ Σ असंयुक्त मापने योग्य समुच्चयों का एक क्रम हो, और मान लीजिए a₁, ..., ए_n वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं का एक क्रम हो। एक साधारण कार्य एक कार्य है $f:X\to \mathbb {C}$ फार्म का

$f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),$

कहाँ ${\mathbf {1} }_{A}$ सेट ए का सूचक कार्य है।

सरल कार्यों के गुण

दो साधारण फलनों का योग, अंतर और गुणनफल फिर से साधारण फलन होते हैं, और स्थिरांक से गुणा करने से साधारण फलन सरल रहता है; इसलिए यह अनुसरण करता है कि किसी दिए गए मापने योग्य स्थान पर सभी साधारण कार्यों का संग्रह एक क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणित बनाता है $\mathbb {C}$.

सरल कार्यों का एकीकरण

यदि एक माप (गणित) μ को अंतरिक्ष (X, Σ) पर परिभाषित किया गया है, तो μ के संबंध में f का Lebesgue अभिन्न अंग है

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),$

यदि सभी योग परिमित हैं।

लेबेसेग एकीकरण से संबंध

सरल कार्यों के उपरोक्त अभिन्न को कार्यों के एक अधिक सामान्य वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि लेबेस्ग इंटीग्रल को परिभाषित किया गया है। यह विस्तार निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है।

प्रमेय। कोई भी गैर-नकारात्मक मापने योग्य कार्य $f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}$ गैर-नकारात्मक सरल कार्यों के एक मोनोटोनिक बढ़ते क्रम की बिंदुवार सीमा है।

यह बयान में निहित है कि सह-डोमेन में सिग्मा-बीजगणित $\mathbb {R} ^{+}$ बोरेल σ-बीजगणित का प्रतिबंध है ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ को $\mathbb {R} ^{+}$. प्रमाण निम्नानुसार आगे बढ़ता है। होने देना $f$ माप स्थान पर परिभाषित एक गैर-नकारात्मक औसत दर्जे का कार्य हो $(X,\Sigma ,\mu )$. प्रत्येक के लिए $n\in \mathbb {N}$, के सह-डोमेन को उप-विभाजित करें $f$ में $2^{2n}+1$ अंतराल, $2^{2n}$ जिनमें लम्बाई है $2^{-n}$. यानी प्रत्येक के लिए $n$, परिभाषित करना

$I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)$ के लिए $k=1,2,\ldots ,2^{2n}$, और $I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )$,

जो अलग हैं और गैर-नकारात्मक वास्तविक रेखा को कवर करते हैं ($\mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N}$).

अब सेट को परिभाषित करें

$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,$ के लिए $k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,$

जो मापने योग्य हैं ($A_{n,k}\in \Sigma$) क्योंकि $f$ मापने योग्य माना जाता है।

फिर सरल कार्यों का बढ़ता क्रम

$f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}$ बिंदुवार अभिसरण करता है $f$ जैसा $n\to \infty$. ध्यान दें कि कब $f$ घिरा हुआ है, अभिसरण एकसमान है।

यह भी देखें

Bochner औसत दर्जे का समारोह

संदर्भ

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.